1、1.2.1几个常用函数的导数1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)课时演练促提升A组1.若f(x)=,则f(-1)=() A.0B.-C.3D.解析:f(x)=()=()=,f(-1)=.答案:D2.函数y=在点P处的切线斜率为-4,则P的坐标为()A.B.C.D.解析:y=-,令-=-4,得x=,P的坐标为.答案:C3.函数f(x)=x2,g(x)=ln x,若f(x)-g(x)=1,则x=()A.-B.1C.-或1D.或1解析:f(x)=2x,g(x)=,2x-=1.2x2-x-1=0,解得x=1或x=-.又g(x)有意义时,x0,所求x=1.答案:B4.函数f(x)=x3
2、的斜率等于1的切线有()A.1条B.2条C.3条D.不确定解析:f(x)=3x2,设切点为(x0,y0),则3=1,得x0=,即在点和点处的切线的斜率为1.答案:B5.设正弦曲线y=sin x上一点P,以点P为切点的切线为直线l,则直线l的倾斜角的范围是()A.B.0,)C.D.解析:(sin x)=cos x,又kl=cos x,-1kl1,直线l的倾斜角的范围是.答案:A6.设函数f(x)=logax,f(1)=-1,则a=.解析:f(x)=,f(1)=-1.ln a=-1.a=.答案:7.直线y=e2x+b是曲线y=ex的一条切线,则b=.解析:y=ex,设切点为(x0,y0),则=e2
3、.x0=2,y0=e2.又y0=e2x0+b,b=-e2x0+y0=-2e2+e2=-e2.答案:-e28.求下列函数的导数:(1)y=;(2)y=;(3)y=-2sin;(4)y=log2x2-log2x.解:(1)y=()=()=.(2)y=(x-4)=-4x-4-1=-4x-5=-.(3)y=-2sin=2sin=2sincos=sin x,y=(sin x)=cos x.(4)y=log2x2-log2x=log2x,y=(log2x)=.9.求过曲线y=sin x上点P且与过这点的切线垂直的直线方程.解:y=sin x,y=cos x,曲线在点P处的切线斜率是:y=cos.过点P且与
4、切线垂直的直线的斜率为-,故所求的直线方程为y-=-,即2x+y-=0.B组1.已知直线y=kx是曲线y=ln x的切线,则k=()A.eB.-eC.D.-解析:设切点为(x0,y0),则由y=,得=k,又y0=kx0,y0=ln x0,从而联立解得y0=1,x0=e,k=.答案:C2.设f0(x)=sin x,f1(x)=f0(x),f2(x)=f1(x),fn+1(x)=fn(x),nN,则f2 015(x)等于()A.sin xB.-sin xC.cos xD.-cos x解析:f0(x)=sin x,f1(x)=f0(x)=cos x,f2(x)=f1(x)=-sin x,f3(x)=
5、f2(x)=-cos x,f4(x)=f3(x)=sin x,fn(x)的值具有周期性,且周期为4.f2 015(x)=f3(x)=-cos x.答案:D3.设曲线y=xn+1(xN*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn,则log2x1+log2x2+log2x3=.解析:曲线y=xn+1(nN*)在点(1,1)处的切线斜率k=y|x=1=(n+1)1n=n+1,则在点(1,1)处的切线方程为y-1=(n+1)(x-1),令y=0,得xn=,所以log2x1+log2x2+log2x3=log2+log2+log2=log2=log2=-2.答案:-24.设直线l1与曲线y=相切
6、于点P,直线l2过P且垂直于l1,若l2交x轴于Q点,又作PK垂直x轴于K,求线段KQ的长.解:如图,设直线l1的斜率为k1,直线l2的斜率为k2,点P的坐标为(x0,y0),由题意知x00,则k1=y,由l2与l1垂直,知l2的斜率k2=-2.于是l2:y-y0=-2(x-x0),令y=0,则-y0=-2(x-x0),将y0=代入上式,得xQ=+x0,易得xK=x0.|KQ|=|xQ-xK|=.5.如图,已知双曲线y=,A为其在第一象限分支上的一点,试判断过点A能否作一条直线与第三象限的分支相切?若能,求出这条直线的方程;若不能,请说明理由.解:假设能作.设切点坐标为(x0,y0),则切线方程为y-y0=-(x-x0).又y0=,且切线过点,=-(2-x0),2x0-=4-2x0,-4x0+4=0,x0=2,切点坐标为,过点A只能作一条直线与曲线y=在第一象限分支相切,不能作一条直线与第三象限的分支相切.