1、高考资源网（） 您身边的高考专家规范解答集训(六)函数、导数、不等式(建议用时：60分钟)1(2019洛阳模拟)已知函数f(x)ex(x22xa)(其中aR，a为常数，e为自然对数的底数)(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)设曲线yf(x)在(a，f(a)处的切线为l，当a1,3时，求直线l在y轴上截距的取值范围解(1)f(x)ex(x22xa)ex(2x2)ex(x2a2)，当a2时，f(x)0恒成立，函数f(x)在区间(，)上单调递增；当a2时，f(x)0x22ax或x，函数f(x)在区间(，)，(，)上单调递增，在区间(，)上单调递减(2)f(a)ea(a2a)，f(a)ea(a2a2
2、)，所以直线l的方程为yea(a2a)ea(a2a2)(xa)令x0，得截距bea(a3a)，记g(a)ea(a3a)(1a3)，则g(a)ea(a33a2a1)，记h(a)a33a2a1(1a3)，则h(a)3a26a10(1a3)，所以h(a)在1,3上单调递减，所以h(a)h(1)20，所以g(a)0)，得4x2mx10(x0)若m0，此时4x2mx10(x0)恒成立；若m0，有m2160，即00)，若m0，则x(0，m)时，F(x)0，故F(x)，F(x)随x的变化如表，x(0，m)m(m，)F(x)0F(x)极小值F(x)minF(m)m2ln m0，即m1，故0m1；若m0，则当x
3、时，F(x)取得最小值，F(x)minFm2ln0，即ln0，2em0，根据题意，此时可以不予考虑；若m0，则F(x)x20恒成立由m0为g(x)f(x)恒成立时m取到的最大值，知m01.当mm01时，f(x)ln x2x2x1，f(1)2，即切点为(1,2)，又f(x)4x1，f(1)4，所以切线的斜率为4，故所求的切线方程为y4x2.3已知函数f(x)ax22(a1)x2ln x，a(0，)(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若a4，证明：对任意的x2，都有f(x)ex(x1)axln x成立(其中e为自然对数的底数，e2.718 28)解(1)f(x)的定义域为(0，)，f(x)2ax
4、2(a1)，当a(0,1)时，f(x)在(0,1)和上单调递增，在上单调递减；当a1时，f(x)在(0，)上单调递增；当a(1，)时，f(x)在和(1，)上单调递增，在上单调递减(2)当a4时，即证4x26x3ln xex(x1)，x2，设g(x)4x26x3ln xex(x1)(x2)，则g(x)8x6xex.令h(x)8x6xex，则h(x)8(x1)ex8(x1)ex83e20，h(x)在2，)上单调递减，h(x)8x6xexh(2)1662e22e20，即g(x)0在2，)上恒成立，g(x)在2，)上单调递减，g(x)4x26x3ln xex(x1)g(2)16123ln 2e243e
5、27e20，原不等式恒成立4已知函数f(x)x2(a1)xaln x.(1)当a1时，讨论函数f(x)的单调性；(2)若不等式f(x)(a1)xxa1e对于任意xe1，e成立，求正实数a的取值范围解(1)函数f(x)的定义域为(0，)，f(x)x(a1).若0a1，则当0x1时，f(x)0，f(x)单调递增；当ax1时，f(x)0，f(x)单调递减若a0，则当0x1时，f(x)1时，f(x)0，f(x)单调递增综上所述，当a0时，函数f(x)在(1，)上单调递增，在(0,1)上单调递减；当0a1时，函数f(x)在(a,1)上单调递减，在(0，a)和(1，)上单调递增(2)原题等价于对任意x，有
6、aln xxae1成立，设g(x)aln xxa，x，则g(x)maxe1.g(x)axa1，令g(x)0，得0x0，得x1.函数g(x)在上单调递减，在(1，e上单调递增，g(x)max为gaea与g(e)aea中的较大者设h(a)g(e)geaea2a(a0)，则h(a)eaea2220，h(a)在(0，)上单调递增，故h(a)h(0)0，g(e)g，从而g(x)maxg(e)aea.aeae1，即eaae10.设(a)eaae1(a0)，则(a)ea10，(a)在(0，)上单调递增又(1)0，满足eaae10的a的取值范围为(，1a0，a的取值范围为(0,15已知函数f(x)x3x2ax
7、2的图象过点A.(1)求函数f(x)的单调增区间；(2)若函数g(x)f(x)2m3有3个零点，求m的取值范围解(1)因为函数f(x)x3x2ax2的图象过点A，所以4a4a2，解得a2，即f(x)x3x22x2，所以f(x)x2x2.由f(x)0，得x2.所以函数f(x)的单调增区间是(，1)，(2，)(2)由(1)知f(x)极大值f(1)22，f(x)极小值f(2)242，由数形结合(图略)，可知要使函数g(x)f(x)2m3有三个零点，则2m3，解得m.所以m的取值范围为.6(2019开封模拟)已知函数f(x)aln xx22x.(1)当a4时，求函数f(x)的单调区间；(2)若函数yf(x)有两个极值点x1，x2，且x1x2，求证：0，解得x2，f(x)的单调递增区间为(2，)，令f(x)0，解得0x2，f(x)的单调递减区间为(0,2)f(x)的单调递增区间为(2，)，单调递减区间为(0,2)(2)f(x)，x(0，)，设g(x)2x22xa，若f(x)有两个极值点x1，x2，则g(x)0在(0，)上有两个不同的根x1，x2，可得0a，a2x2(1x2)，又0x1x2，x21，x212x2ln x2，设h(x)x12xln x，x1，h(x)2ln x0，h(x)在上单调递减，h(x)h2ln ln 2，ln 2.- 7 - 版权所有高考资源网
