1、第八章习题课1如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，M，N分别是AB，PC的中点，PAADa.(1)求证：MN平面PAD；(2)求证：MN平面PCD.题图答图解析(1)如图，取CD的中点E，连接NE，ME.E，M，N分别是CD，AB，PC的中点，NEPD，EMDA，平面NEM平面PDA，MN平面PAD.(2)PA平面ABCD，CDPA.底面ABCD是矩形，CDAD，又PAADA，CD平面PAD，CDPD.ENPD，ENCD，又CDEM，EMENE，CD平面ENM，MNCD.PM MC，N是PC的中点，MNPC.又CDPCC，MN平面PCD.2如图，已知斜三棱柱A
2、BCA1B1C1中，底面ABC是等边三角形，侧面BB1C1C是菱形，B1BC60.(1)求证：BC AB1；(2)若ABa，AB1a，求三棱锥CABB1的体积.题图答图解析(1)证明：取BC的中点O，连接AO，B1O，如图.侧面BB1C1C是菱形，且B1BC60，B1BC为等边三角形，B1OBC.又ABC是等边三角形，AOBC，又B1OAOO，B1O，AO平面AOB1，BC平面AOB1，而AB1平面AOB1，BCAB1(2)由(1)知OABC，OB1BC，ABC和BB1C是全等的等边三角形，OAOB1，ABa，OAOB1a，AB1a，ABOA2OB，OB1OA，OB1BC，又OABCO，OA，
3、BC平面ABC，OB1平面ABC，VCABB1VB1ABCSABCOB1aaa.3如图，把等腰直角三角形ABC沿斜边AB旋转至ABD的位置，使CDAC.(1)求证：平面ABD平面ABC.(2)求二面角CBDA的余弦值.解析(1)证明：由已知条件，知ADCDBD.如图，取AB中点O，连接DO，ABD是等腰直角三角形，DOAB，且DOAD.连接CO，同理COAB，且COAC.ADAC，CODOAC.CDAC，CO2DO2CD2，CDO为等腰直角三角形，且CODO.ABCOO，DOAB，DO平面ABC.DO平面ABD，平面ABD平面ABC.(2)解：取BD的中点E，连接CE，OE.BCD为等边三角形，CEBD.又BOD为等腰直角三角形，OEBD.OEC为二面角CBDA的平面角.由(1)可证得OC平面ABD，OCOE.COE为直角三角形.设BCb，则CEb，OEb，cosOEC，即二面角CBDA的余弦值为.
