1、第八章习题课A组素养自测一、选择题1分别在两个平行平面内的两条直线间的位置关系不可能为(B)A平行B相交C异面D垂直解析因为两平行平面没有公共点，所以两直线没有公共点，所以两直线不可能相交.2已知PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，C为圆上异于A，B两点的任一点，则下列关系不正确的是(C)APABCBBC平面PACCACPBDPCBC解析由PA平面ACBPABC，故A不符合题意；由BCPA，BCAC，PAACA，可得BC平面PAC，所以BCPC，故B、D不符合题意；ACPB显然不成立，故C符合题意.3在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB和BC上的点，若AEEBCFFB12，则对角线AC和
2、平面DEF的位置关系是(A)A平行B相交C在平面内D不能确定解析如图，由得ACEF.又因为EF平面DEF，AC平面DEF，所以AC平面DEF.4设a，b是两条不同的直线，是两个不同的平面，则的一个充分条件是(D)A存在一条直线a，a，aB存在一条直线a，a，aC存在两条平行直线a，b，a，b，a，bD存在两条异面直线a，b，a，b，a，b解析对于选项A，若存在一条直线a，a，a，则或与相交，不符合题意；同理，选项B、C也不符合题意；对于选项D，可以通过平移把两条异面直线平移到一个平面中，成为相交直线，则有，所以选项D的内容是的一个充分条件，故选D5(多选题)如图，透明塑料制成的长方体容器ABC
3、DA1B1C1D1内灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面四个命题：没有水的部分始终呈棱柱形；水面EFGH所在四边形的面积为定值；棱A1D1始终与水面所在平面平行；当容器倾斜如图所示时，BEBF是定值.其中正确的命题是(ACD)ABCD解析由题图，显然是正确的，是错误的；对于，A1D1BC，BCFG，A1D1FG且A1D1平面EFGH，FG平面EFGH，A1D1平面EFGH(水面).是正确的；对于，水是定量的(定体积V)，SBEFBCV，即BEBFBCV.BEBF(定值)，即是正确的，故选ACD二、填空题6如图，已知BAC90，PC平面ABC，则在AB
4、C，PAC的边所在的直线中，与PC垂直的直线有_3_个；与AP垂直的直线有_1_个.解析PC平面ABC，PC垂直于直线AB，BC，AC.ABAC，ABPC，ACPCC，AB平面PAC，又AP平面PAC，ABAP，与AP垂直的直线是AB.7设，是三个平面，a，b是两条不同直线，有下列三个条件：a，b；a，b；b，a.如果命题“a，b，且_，则ab”为真命题，则可以在横线处填入的条件是_或_(填序号).解析由面面平行的性质定理可知，正确；当b，a时，a和b在同一平面内，且没有公共点，所以平行，正确.故应填入的条件为或.8在直三棱柱ABCA1B1C1中，平面与棱AB，AC，A1C1，A1B1分别交于
5、点E，F，G，H，且直线AA1平面.有下列三个命题：四边形EFGH是平行四边形；平面平面BCC1B1；平面平面BCFE.其中正确命题的序号是_.解析如图所示，因为AA1平面，平面平面AA1B1BEH，所以AA1EH.同理AA1GF，所以EHGF，又ABCA1B1C1是直三棱柱，易知EHGFAA1，所以四边形EFGH是平行四边形，故正确；若平面平面BB1C1C，由平面平面A1B1C1GH，平面BCC1B1平面A1B1C1B1C1，知GHB1C1，而GHB1C1不一定成立，故错误；由AA1平面BCFE，结合AA1EH知EH平面BCFE，又EH平面，所以平面平面BCFE，故正确.三、解答题9如图，在
6、圆锥PO中，AB是O的直径，C是上的点，D为AC的中点.证明：平面POD平面PAC.证明如图，连接OC，因为OAOC，D是AC的中点，所以ACOD.又PO底面ABC，AC底面ABC，所以ACPO.因为OD，PO是平面POD内的两条相交直线，所以AC平面POD.又AC平面PAC，所以平面POD平面PAC.10如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1DA1F，A1C1A1B1求证：(1)直线DE平面A1C1F；(2)平面B1DE平面A1C1F.证明(1)在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACA1C1，在ABC中，因为D，E分别为AB，BC的中点，
7、所以DEAC，于是DEA1C1，又因为DE平面A1C1F，A1C1平面A1C1F，所以直线DE平面A1C1F.(2)在直三棱柱ABCA1B1C1中，AA1平面A1B1C1，因为A1C1平面A1B1C1，所以AA1A1C1，又因为A1C1A1B1，A1B1AA1A1，AA1平面ABB1A1，A1B1平面ABB1A1，所以A1C1平面ABB1A1，因为B1D平面ABB1A1，所以A1C1B1D.又因为B1DA1F，A1C1A1FA1，A1C1平面A1C1F，A1F平面A1C1F，所以B1D平面A1C1F，因为直线B1D平面B1DE，所以平面B1DE平面A1C1F.B组素养提升一、选择题1已知m，n
8、是两条不同的直线，是两个不同的平面，且n，则下列叙述正确的是(C)A若mn，m，则B若，m，则mnC若mn，m，则D若，mn，则m解析对于A，两个平面内各一条直线互相平行，不能保证两个平面互相平行，A错误；对于B，分别在两个互相平行的平面内的两条直线不能保证相互平行，B错误；对于C，两条平行线中的一条垂直于一个平面，可得另一条也垂直于这个平面，于是内有一条直线垂直于，故，C正确；对于D，m垂直于内的一条直线，不能保证m垂直于，故不能得到m垂直于，D错误.2在长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1AD2AB.若E，F分别为线段A1D1，CC1的中点，则直线EF与平面ADD1A1所成角的正弦值为
9、(C)ABCD解析取DD1的中点G，连接EG、FG、EC1，易知FEG为直线EF与平面ADD1A1所成的角，设ABa，则AA1AD2a，在ED1C1中可求出EC1a，在EFC1中可求出EFa，所以在EFG中，sinFEG，故选C3如图，在正四面体PABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，则下面四个结论不成立的是(D)ABC平面PDFBDF平面PAEC平面PDF平面PAED平面PDE平面ABC解析因为BCDF，DF平面PDF，BC平面PDF，所以BC平面PDF，故选项A正确.在正四面体PABC中，AEBC，PEBC，AEPEE，所以BC平面PAE，又DFBC，则DF平面PAE，从而平面
10、PDF平面PAE.因此选项B、C均正确.4如图所示，四边形ABCD中，ABADCD1，BD，BDCD.将四边形ABCD沿对角线BD折成四面体ABCD，使平面ABD平面BCD，则下列结论正确的是(B)AACBDBBAC90CCA与平面ABD所成的角为30D四面体ABCD的体积为解析因为平面ABD平面BCD，BDCD，所以CD平面ABD，所以CDBA.由勾股定理，得ADBA.又因为CDADD，所以BA平面ACD，所以BAC90.二、填空题5已知直线l平面，垂足为A，直线PAl，则AP与平面的位置关系是_AP_.解析设AP与l确定的平面为.假设AP，不妨设AM，AP与AM不重合，如图所示.因为l，A
11、M，所以lAM.又APl，所以在平面内，过点A有两条直线垂直于l，这与在同一平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直矛盾，所以假设不成立.所以AP.6如图所示，等边三角形ABC的边长为4，D为BC的中点，沿AD把ADC折叠到ADC处，使二面角BADC为60，则折叠后二面角ABCD的正切值为_2_.解析易知BDC即二面角BADC的平面角，有BDC60，所以BDC为等边三角形.取BC的中点M，连接DM，AM，则易知DMBC，AMBC，所以二面角ABCD的平面角即AMD.在等边三角形ABC中，易知AD2，在等边三角形BDC中，易知DM，所以tanAMD2三、解答题7(江苏高考题)如图所示，在三棱锥
12、PABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点.已知PAAC，PA6，BC8，DF5求证：(1)直线PA平面DEF；(2)平面BDE平面ABC.证明(1)因为D，E分别为棱PC，AC的中点，所以DEPA.又PA平面DEF，DE平面DEF，所以直线PA平面DEF.(2)因为D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，PA6，BC8，所以DEPA，DEPA3，EFBC4又因为DF5，所以DF2DE2EF2所以DEF90.即DEEF.又PAAC，DEPA，所以DEAC.因为ACEFE，AC平面ABC，EF平面ABC，所以DE平面ABC.又DE平面BDE，所以平面BDE平面ABC.8如图，在四棱锥
13、PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD为菱形，E为CD的中点.(1)求证：BD平面PAC；(2)若ABC60，求证：平面PAB平面PAE；(3)棱PB上是否存在点F，使得CF平面PAE？说明理由.解析(1)证明：因为PA平面ABCD，所以PABD.因为底面ABCD为菱形，所以BDAC.又PAACA，所以BD平面PAC.(2)证明：因为PA平面ABCD，AE平面ABCD，所以PAAE.因为底面ABCD为菱形，ABC60，且E为CD的中点，所以AECD.所以ABAE.又ABPAA，所以AE平面PAB.因为AE平面PAE，所以平面PAB平面PAE.(3)棱PB上存在点F，使得CF平面PAE.取PB的中点F，PA的中点G，连接CF，FG，EG，则FGAB，且FGAB.因为底面ABCD为菱形，且E为CD的中点，所以CEAB，且CEAB.所以FGCE，且FGCE.所以四边形CEGF为平行四边形.所以CFEG.因为CF平面PAE，EG平面PAE，所以CF平面PAE.