1、2016年北京市坤博英才高考数学猜题卷（理科）一选择题（共题，每小题5分）1已知递增等差数列an，满足a22+16=a62，3a3+a5=0，Sn是前n项和，则S9=（）A16B20C27D402已知双曲线C：=1的左右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且|OP|=2，且|PF1|=2|PF2|，则PF1F2的面积为（）A66B64C48D323已知定义在R上的奇函数f（x）满足：当x0时，f（x）=xsinx，若不等式f（4t）f（2mt2+m）对任意实数t恒成立，则实数m的取值范围是（）A（，）B（，0）C（，0）（，+）D（，）（，+）4已知函数f（x）=Asin（2x+）+k
2、（A0，k0）的最大值为4，最小值为2，且f（x0）=2，则f（x0+）=（）A1B2C3D45已知等差数列an的前n项和为Sn，若S5=20，a7=4a3，则S10=（）A110B115C120D1256下列函数中，既是奇函数，又在（0，1）上单调递增的为（）Ay=x3+1By=ln|x|Cy=x+Dy=x+sinx二填空题（共题，每小题5分）7在2016年4月23日“世界读书日”到来之际，某单位对本单位全部200名员工平均每天的读书世界进行了调查，得到如图所示的频率分布直方图，根据该频率分步直方图，估计该单位每天平均读书时间在1.5，2.5）之间的员工人数为8已知函数f（tan）=sin2
3、+cos2，则函数f（x）的值域为9已知变量x，y满足，若z=2x+3y的最大值为m，最小值为n，则m=10已知的展开式中含x4项的系数为30，则正实数a的值为三解答题（每题12分）11已知抛物线C：y2=2px（p0）的焦点为F，过F作直线l与抛物线交于点A（x1，y1），B（x2，y2），O为坐标原点，若|AB|=4p，且OAOB，且=9（1）求抛物线C的方程；（2）若直线l：y=x+m与抛物线C相切于点E，与圆（x+2）2+（y）2=4交于点F，G，求12等腰梯形ABCD中，ABCD，AD=BC=2，AB=2CD=4，过C，D分别作AB的垂线，垂足分别为E，F，将BCE，ADF分别沿CE
4、，DF向上翻折到BCE，ADF，使得两个三角形所在平面分别与平面ABCD垂直连接AA，AB，BB（1）求证：AD平面CBB；（2）求几何体AADBBC的体积；（3）求面AAD与面BBC所成角的余弦值13已知椭圆C： +=1（ab0）的离心率为，直线x+y=2与以原点为圆心，以椭圆C的短半轴长为半径的圆相切（1）求椭圆C的标准方程；（2）设椭圆C的左、右焦点分别为F1，F2，直线l1过点F1且与椭圆C的长轴垂直，动直线l2与直线l1垂直，垂足为P，线段PF2的垂直平分线与直线l2交于点M，记M的轨迹为曲线D，设曲线D与x轴交于点Q，不同的两个动点R，S在曲线D上，且满足=5（i）求证：直线RS恒
5、过定点；（ii）当直线RS与x轴正半轴相交时，求QRS的面积的取值范围14已知函数f（x）=，数列an满足a1=1，an+1=f（an）（1）求数列an的通项公式；（2）（理）设bn=anan+1，数列bn的前n项和为Sn，若Sn对一切正整数n都成立，求最小的正整数m的值（2）（文）设bn=2n，数列bn的前n项和为Sn，求Sn2016年北京市坤博英才高考数学猜题卷（理科）参考答案与试题解析一选择题（共题，每小题5分）1已知递增等差数列an，满足a22+16=a62，3a3+a5=0，Sn是前n项和，则S9=（）A16B20C27D40【考点】等差数列的前n项和【分析】利用等差数列的通项公式及
6、其前n项和公式，【解答】解：设等差数列an的首项为a1，公差为d，因为，3a3+a5=0，所以，解得或，因为数列an是递增数列，所以，所以故选：C2已知双曲线C：=1的左右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且|OP|=2，且|PF1|=2|PF2|，则PF1F2的面积为（）A66B64C48D32【考点】双曲线的简单性质【分析】根据双曲线的性质判断F1PF2为直角三角形，结合三角形的面积公式进行求解即可【解答】解：由条件可知，双曲线的焦距为，由，故F1PF2为直角三角形，由条件及双曲线的定义可得，解之得，故PF1F2的面积为故选：B3已知定义在R上的奇函数f（x）满足：当x0时，f（
7、x）=xsinx，若不等式f（4t）f（2mt2+m）对任意实数t恒成立，则实数m的取值范围是（）A（，）B（，0）C（，0）（，+）D（，）（，+）【考点】函数恒成立问题【分析】根据函数的单调性问题转化为2mt2+4t+m0，通过讨论m的范围，得到关于m的不等式，求出m的范围即可【解答】解：由f（x）=xsinx，可得f（x）=1cosx0，故f（x）在0，+）上单调递增，再由奇函数的性质可知，f（x）在R上单调递增，由f（4t）f（2mt2+m），可得4t2mt2+m，即2mt2+4t+m0，当m=0时，不等式不恒成立；当m0时，根据条件可得，解之得，综上，m（，），故选：A4已知函数f（
8、x）=Asin（2x+）+k（A0，k0）的最大值为4，最小值为2，且f（x0）=2，则f（x0+）=（）A1B2C3D4【考点】正弦函数的图象【分析】由函数最值列式求得A，k的值，由f（x0）=2，得到sin（2x0+）=1，则cos（2x0+）=0，写出f（x0+），结合诱导公式求值【解答】解：由条件可得，解之得，故f（x）=sin（2x+）+3由f（x0）=2 可得sin（2x0+）+3=2，sin（2x0+）=1，则cos（2x0+）=0则f（x0+）=sin（2x0+）+3=cos（2x0+）+3=3，故选：C5已知等差数列an的前n项和为Sn，若S5=20，a7=4a3，则S10=
9、（）A110B115C120D125【考点】等差数列的前n项和【分析】利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出【解答】解：S5=20，a7=4a3，解得a1=2，d=3，故S10=210+115，故选：B6下列函数中，既是奇函数，又在（0，1）上单调递增的为（）Ay=x3+1By=ln|x|Cy=x+Dy=x+sinx【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断【分析】根据奇函数、偶函数的定义，基本不等式，根据函数图象判断函数单调性的方法，函数单调性的定义，以及一次函数和正弦函数的单调性即可判断每个选项的正误，从而找出正确选项【解答】解：Ay=x3+1为非奇非偶函数，该选项错误；By
10、=ln|x|是偶函数，该选项错误；C.在（0，1）上单调递减，该选项错误；Dy=x+sinx为奇函数；y=x和y=sinx在（0，1）上都单调递增；y=x+sinx在（0，1）上单调递增，该选项正确故选D二填空题（共题，每小题5分）7在2016年4月23日“世界读书日”到来之际，某单位对本单位全部200名员工平均每天的读书世界进行了调查，得到如图所示的频率分布直方图，根据该频率分步直方图，估计该单位每天平均读书时间在1.5，2.5）之间的员工人数为50【考点】频率分布直方图【分析】由频率分布直方图可知，算出1.5，2.5）之间的频率，即可求出单位每天平均读书时间在1.5，2.5）之间的员工人数
11、【解答】解：根据频率分步直方图可知，每天平均读书时间在1.5，2.5）之间的频率为：1（0.20+0.70+0.50+0.10）0.5=0.25，故每天平均读书时间在1.5，2.5）之间的人数为2000.25=50人故答案为：508已知函数f（tan）=sin2+cos2，则函数f（x）的值域为，【考点】三角函数中的恒等变换应用【分析】由三角恒等变换化简f（x），然后转化为关于x的方程【解答】解：f（tan）=sin2+cos2=2sincos+cos2sin2=，（y+1）x22x+y1=0，当，即y=1成立；当y+10时，=（2）24（y+1）（y1）0，可得，且y+10，综上所述，可得函
12、数的值域为9已知变量x，y满足，若z=2x+3y的最大值为m，最小值为n，则m=【考点】简单线性规划【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值和最小值，进行计算即可【解答】解：不等式组表示的平面区域如图中ABC（包括边界），由图可知，由z=2x+3y，得y=，平移直线y=，由图象可知当直线y=经过点A时，z取得最大值由，解得A（3，4）所以目标函数的最大值为z=23+34=18即m=18当直线y=经过点B时，z取得最小值由，解得B（1，0）所以目标函数的最小值为z=21+30=2即n=2所以m=3，故答案为：310已知的展开式中含x4项的系数为30，则正实数
13、a的值为1【考点】二项式定理【分析】把所给的二项式展开，观察分析求得展开式中含x4项的系数，再根据此系数等于 30，求得得正数a的值【解答】解：已知=（1+x2）（+），故展开式中含x4项的系数为a2+=30，a2+=2，解得正数a=1，故答案为 1三解答题（每题12分）11已知抛物线C：y2=2px（p0）的焦点为F，过F作直线l与抛物线交于点A（x1，y1），B（x2，y2），O为坐标原点，若|AB|=4p，且OAOB，且=9（1）求抛物线C的方程；（2）若直线l：y=x+m与抛物线C相切于点E，与圆（x+2）2+（y）2=4交于点F，G，求【考点】抛物线的简单性质【分析】（1）设A（x1
14、，y1），B（x2，y2），则x1+x2=3p，根据OAOB得出x1x2+y1y2=0，代入=9解出p；（2）联立方程组消元，令=0解出m，得出直线l的方程和E点坐标，与圆方程联立得出F，G的坐标关系，代入向量的数量积公式计算即可【解答】解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），则|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p=4p，x1+x2=3p，OAOB，即x1x2+y1y2=0，解得p=3，抛物线C的方程为y2=6x（2）联立方程组，消元得，x2+（2m6）x+m2=0，=（2m6）24m2=0，解之得，解得，故切点E的坐标为（，3）直线l的方程为y=x+联立方程组，得2x2+6x
15、+1=0，设F（x3，y3），G（x4，y4），则x3+x4=3，x3x4=，y3+y4=（x3+x4）+3=0， =（x4，y43），=（x3）（x4）+（y33）（y43）=x3x4（x3+x4）+y3y43（y3+y4）+=（3）+0+=12等腰梯形ABCD中，ABCD，AD=BC=2，AB=2CD=4，过C，D分别作AB的垂线，垂足分别为E，F，将BCE，ADF分别沿CE，DF向上翻折到BCE，ADF，使得两个三角形所在平面分别与平面ABCD垂直连接AA，AB，BB（1）求证：AD平面CBB；（2）求几何体AADBBC的体积；（3）求面AAD与面BBC所成角的余弦值【考点】直线与平面所
16、成的角；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定【分析】（1）证明AFBE，于是有ABEFCD，故而四边形四边形ABCD是平行四边形，得出ADBC，从而得出AD平面CBB；（2）将几何体分解成两个三棱锥和一个三棱柱，于是几何体的体积为VAADF+VBBCE+VBCEADF；（3）以F为原点建立坐标系，分别求出平面AAD与面BBC的法向量，则cos即为所求【解答】证明：（1）平面BCE平面ABCD，平面BCE平面ABCD=CE，BECE，BE平面ABCD，同理可得AF平面ABCD，AFBE，又AF=BE，四边形ABEF是矩形，ABEF，AB=EF，又CDEF，CD=EF，ABCD，AB=CD
17、四边形ABCD是平行四边形，ADBC，又AD平面CBB，BC平面CBB，AD平面CBB（2）BE=BE=AF=AF=（ABCD）=1，CE=DF=，EF=CD=2，VAADF=VBBCE=VBCEADF=SBCEEF=几何体AADBBC的体积为VAADF+VBBCE+VBCEADF=+=（3）以F为原点，以FB，FD，FA为坐标轴建立空间直角坐标系Fxyz，如图所示：则，B（3，0，0），B（2，0，1），C（2，0），设平面BBC的法向量为=（x，y，z），则，令y=1得=（，1，）同理可得平面AAD的法向量为=（，1，）cos=面AAD与面BBC所成的角的余弦值为13已知椭圆C： +=1（
18、ab0）的离心率为，直线x+y=2与以原点为圆心，以椭圆C的短半轴长为半径的圆相切（1）求椭圆C的标准方程；（2）设椭圆C的左、右焦点分别为F1，F2，直线l1过点F1且与椭圆C的长轴垂直，动直线l2与直线l1垂直，垂足为P，线段PF2的垂直平分线与直线l2交于点M，记M的轨迹为曲线D，设曲线D与x轴交于点Q，不同的两个动点R，S在曲线D上，且满足=5（i）求证：直线RS恒过定点；（ii）当直线RS与x轴正半轴相交时，求QRS的面积的取值范围【考点】椭圆的简单性质【分析】（1）由直线x+y=2与以原点为圆心，以椭圆C的短半轴长为半径的圆相切可得=b，又，a2=b2+c2，联立解出即可得出（2）
19、（i）依题意得MP=MF2，M的轨迹是抛物线，其方程为y2=4x，其与x轴的交点为原点，即Q（0，0）可设RS的方程为x=my+n，与抛物线方程联立得y24my4n=0，设R（x1，y1），S（x2，y2），把根与系数的关系代入，整理化简即可得出（ii）利用三角形面积计算公式、函数的性质即可得出【解答】解：（1）直线x+y=2与以原点为圆心，以椭圆C的短半轴长为半径的圆相切=b，可得b=又，a2=b2+c2，联立解得a=，c=1椭圆C的标准方程为+=1（2）（i）证明：依题意得MP=MF2，M到定直线l1：x=1的距离等于其到定点F2（1，0）的距离，M的轨迹是抛物线，其方程为y2=4x，其与
20、x轴的交点为原点，即Q（0，0）显然RS的斜率不为0，设RS的方程为x=my+n，与抛物线方程联立得y24my4n=0，设R（x1，y1），S（x2，y2），则y1+y2=4m，y1y2=4n，=16（m2+n）0，x1x2+y1y2=5，即，4n（m2+1）4m2n+n2=5，化为n24n5=0，解得n=5或1，当n=5时，适合0；当n=1时，存在m使得0RS的方程为x=my+4或x=my1，RS恒过定点（5，0）或（1，0）（ii）由（i）得RQS的面积为，当且仅当m=0时取等号RQS的面积的取值范围是14已知函数f（x）=，数列an满足a1=1，an+1=f（an）（1）求数列an的通项
21、公式；（2）（理）设bn=anan+1，数列bn的前n项和为Sn，若Sn对一切正整数n都成立，求最小的正整数m的值（2）（文）设bn=2n，数列bn的前n项和为Sn，求Sn【考点】数列的求和；数列递推式【分析】（1）求出an+1=，两边取倒数，由等比数列的通项公式可得；（2）（理）求得bn=anan+1=（），由数列的求和方法：裂项相消求和，以及不等式恒成立思想，可得m的范围，进而得到最小值；（2）（文）求得bn=2n=2n=（3n1）2n1，运用数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，化简整理，即可得到所求和【解答】解：（1）an+1=f（an）=，取倒数，可得=+，则=+（n1）=，即有an=；（2）（理）bn=anan+1=（），前n项和为Sn=（1+）=（1），令，解得m2018，可得m的最小值为2019；（2）（文）bn=2n=2n=（3n1）2n1，可得Sn=220+521+（3n1）2n1，2得2Sn=221+522+（3n1）2n，得Sn=2+3（21+22+2n1）（3n1）2n=2+3（3n1）2n，化简可得Sn=（3n4）2n+42016年7月30日