1、20212022学年度第一学期高三年级期中抽测数学试题注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（ ）A.B.C.D.2.在复平面内，复数（i是虚数单位）对应的点位于（ ）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象
2、限3.的展开式中的常数项为（ ）A.15 B.60 C.80 D.1604.在气象观测中，用降水量表示下雨天气中雨量的大小.降水量的测量方法是从天空降落到地面上的雨水，在未蒸发、渗透、流失的情况下，在水平面上积聚的雨水深度.降水量以mm为单位，一般取一位小数.现某地10分钟的降雨量为13.1mm，小王在此地此时间段内用底面半径为5cm的圆柱型量筒收集的雨水体积约为（其中）（ ）A.B.C.D.5.从正方体的8个顶点中任取3个构成三角形，则所得三角形是正三角形的概率是（ ）A.B.C.D.6.若平面向量，两两的夹角相等，且，则（ ）A.3 B.或 C.3或6 D.或67.已知圆和两点，若圆上存在
3、点，使得，则实数的取值范围为（ ）A.B.C.D.8.，则（ ）A.B.C.D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.已知为坐标原点，抛物线的焦点为，过的直线与交，两点，则（ ）A.的最小值为2 B.以为直径的圆与直线相切C.D.10.已知函数的最小正周期为，则（ ）A.B.的最大值为3C.在区间上单调增D.将的图象向左平移个单位长度后所得函数的图象关于轴对称11.已知函数是定义在上的奇函数，当时，则下列说法正确的是（ ）A.曲线在点处的切线方程为B.不等式的解集为C.若关于的方程有6个
4、实根，则D.，都有12.截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过适当的截角，即截去四面体的四个顶点处的小棱锥所得的多面体.如图，将棱长为3的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面得到所有棱长均为1的截角四面体，则（ ）A.平面 B.直线与所成的角为60C.该截角四面体的表面积为 D.该截角四面体的外接球半径为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知随机变量服从正态分布，若，则的值为_.14.已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上且满足，则的离心率的值为_.15.已知，则的值为_.16.剪纸是一种镂空艺术，是中国汉族最古老的民间艺术之一.如图，一圆形纸片，直径，需要剪去菱形
5、，可以经过两次对折、沿裁剪、展开后得到.若，要使镂空的菱形面积最大，则菱形的边长_cm.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10分）在中，角，所对的边分别为，且满足.（1）求角；（2）若，为边的中点，且，求的面积.18.（12分）已知等差数列的前项和满足是等差数列，且.（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，求数列的前20项和.19.（12分）为了庆祝中国共产党第二十次全国代表大会胜利召开，某校组织了一次党史知识竞赛.已知知识竞赛中有甲、乙、丙三个问题，规则如下：（1）学生可以自主选择这三个问题的答题顺序，三个问题是否答对相互独立；（2）每答对
6、一个问题可以获取本题所对应的荣誉积分，并继续回答下一个问题，答错则不可获取本题所对应的荣誉积分，且停止答题.已知学生答对甲、乙、丙三个问题的概率及答对时获得的相应荣誉积分如下表.问题甲乙丙答对的概率0.80.5答对获取的荣誉积分100200300（1）若，求学生按“甲、乙、丙”的顺序答题并最终恰好获得300荣誉积分的概率；（2）针对以下两种答题顺序：丙、乙、甲；乙、丙、甲，当满足什么条件时，学生按顺序答题最后所得荣誉积分的期望较高?20.（12分）如图，在四面体中，.（1）证明：平面平面；（2）若为的中点，求二面角的余弦值.21.（12分）已知为坐标原点，点在双曲线上，直线交于，两点.（1）若
7、直线过的右焦点，且斜率为，求的面积；（2）若直线，与轴分别相交于，两点，且，证明：直线过定点.22.（12分）已知函数，.，分别为函数，的导函数.（1）讨论函数的单调性；（2）证明：当时，存在实数，同时满足，.20222023学年度高三年级第一学期期中抽测答案一、选择题：1.C2.A3.B4.D5.B6.C7.D8.C二、选择题：9.BC10.ACD11.AC12.BCD三、填空题：13.0.314.15.16.四、解答题：17.（1）由余弦定理得，即，所以，又因为，所以.（2）在中，由余弦定理知，同理，在中，因为，所以，可得，由余弦定理，即，所以，所以由三角形面积公式得，.18.（1）因为是
8、等差数列，所以，所以，又是等差数列，所以，即，整理得，所以，所以的公差为，此时，则有，符合题意，故数列的通项公式为.（2）由（1）知，所以.19.（1）设“学生按甲、乙、丙的顺序答题并最终恰好获得300荣誉积分”为事件，则.答：学生按“甲、乙、丙”的顺序答题并最终恰好获得300荣誉积分的概率为0.28.（2）设顺序答题最后所得的荣誉积分为，按顺序答题最后所得的荣誉积分为，则的所有可能取值为0，300，500，600，的所有可能取值为0，200，500，600.，所以.，所以.解得.故当时，学生按顺序答题最后所得荣誉积分的期望较高.20.（1）取中点，由可知，在中，由可知，所以是二面角的平面角，
9、在中，所以是直角三角形，因此，在中，所以，所以，故平面平面.（2）由（1）可知，两两互相垂直，以为正交基底建立空间直角坐标系，则，所以，设平面的法向量为，则即取，则，所以平面的一个法向量为，又平面的一个法向量为，所以.由图形可知，二面角的余弦值为.21.（1）将点代入的方程，得，解得，所以的方程为.直线的方程为，联立整理得，解得，不妨设，则，点到直线的距离为，所以的面积为.（2）当直线的斜率存在时，设方程为，联立整理得，设，则即，直线的方程为，则，同理，由可知，即，即，整理得，则，整理得，即.当时，直线，恒过点，不符合题意；当时，直线，恒过点.当直线的斜率不存在时，可设，则，即，此时直线不与相交，不符合题意.综上所述，直线过定点.22.（1），当时，函数在上单调增；当时，函数在上单调减；，函数在上单调增.综上所述，当时，函数在上单调增；当时，函数在上单调减，在上单调增.（2），由，可知，所以在上单调增，又因为，所以函数在内存在一个零点，设为，则，即，又因为，所以，即成立.对两边同时取对数，得，因此.故存在，同时满足，.