1、第一部分专题突破破译命题密码 第 2 课时 平面向量高考对本部分考查主要从以下方面进行：(1)平面向量的基本定理及基本运算，即向量的有关概念，加、减法的几何意义，线性表示以及坐标运算等(2)平面向量的数量积的基本运算及其应用，这也是历年高考命题的热点.高考题型突破 题型一 平面向量的概念及线性运算(1)在平面向量的化简或运算中，要根据平面向量基本定理选好基底，变形要有方向不能盲目转化；(2)在用三角形加法法则时要保证“首尾相接”，结果向量是第一个向量的起点指向最后一个向量终点所在的向量；在用三角形减法法则时要保证“同起点”，结果向量的方向是指向被减向量(1)已知 a、b 是不共线的向量，ABa
2、b，ACab(、R)，当A、B、C 三点共线时，的取值不可能为()A1 B0C1 D2(2)(2017江苏卷)如图，在同一个平面内，向量OA，OB，OC 的模分别为 1,1，2，OA 与OC 的夹角为，且 tan 7，OB 与OC 的夹角为 45.若OC mOA nOB(m，nR)，则 mn_.解析：(1)由ABab，ACab(、R)及 A、B、C 三点共线得，ABtAC，所以 abt(ab)tatb，即t，1t，所以 1，故 0.(2)法一：以 O 为坐标原点，OA 所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系，则 A(1,0)，由 tan 7，0，2，得 sin 75 2，cos 15 2，设 C
3、(xC，yC)，B(xB，yB)，则 xC|OC|cos 2 15 215，yC|OC|sin 2 75 275，即 C15，75.又 cos(45)15 2 12 75 2 1235，sin(45)75 2 12 15 2 1245，则 xB|OB|cos(45)35，yB|OB|sin(45)45，即 B35，45，由OC mOA nOB，可得15m35n，7545n，解得m54，n74，所以 mn54743.法二：由 tan 7，0，2，得 sin 75 2，cos 15 2，则 cos(45)15 2 12 75 2 1235，OB OC 1 2 22 1，OA OC 1 2 15 2
4、15，OA OB 1135 35，由OC mOA nOB，得OC OA mOA 2nOB OA，即15m35n，同理可得OC OB mOA OB nOB 2，即 135mn，联立，解得m54，n74，所以 mn54743.答案：(1)B(2)31.平面向量的线性运算技巧(1)对于平面向量的线性运算问题，要尽可能转化到三角形或平行四边形中，灵活运用三角形法则、平行四边形法则，紧密结合图形的几何性质进行运算(2)在证明两向量平行时，若已知两向量的坐标形式，常利用坐标运算来判断；若两向量不是以坐标形式呈现的，常利用共线向量定理(当 b0 时，ab存在唯一实数，使得 ab)来判断2警示 证明三点共线问
5、题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.变式训练1已知向量 a(1,2)，b(3，m)，mR，则“m6”是“a(ab)”的()A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件解析：由题意得 ab(2,2m)，由 a(ab)，得1(2m)22，解得 m6，当 m6 时，a(1,2)，ab(2，4)，所以 a(ab)，则“m6”是“a(ab)”的充要条件，故选 A.答案：A2设 D，E，F 分别是ABC 的三边 BC，CA，AB 上的点，且DC 2BD，CE2EA，AF2FB，则AD BECF与BC()A反向平行B
6、同向平行C互相垂直D既不平行也不垂直解析：由题意得AD ABBD AB13BC，BEBAAEBA13AC，CFCBBFCB13BA，因此AD BECFCB13(BCACAB)CB23BC13BC，故AD BECF与BC反向平行答案：A题型二 平面向量的数量积1数量积的两种运算形式：ab|a|b|cos；若 a(x1，y1)，b(x2，y2)时，abx1x2y1y2.2平面向量的三个性质(1)若 a(x，y)，则|a|aa x2y2.(2)若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|x2x12y2y12.(3)若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，为 a 与 b 的夹角，则 cos ab
7、|a|b|x1x2y1y2x21y21 x22y22.(1)(2017全国卷)已知ABC 是边长为 2 的等边三角形，P 为平面 ABC内一点，则PA(PBPC)的最小值为()A2 B32C43D1(2)(2017山东卷)已知 e1，e2 是互相垂直的单位向量若 3e1e2 与 e1e2 的夹角为 60，则实数 的值是_图解析：(1)法一：(解析法)建立坐标系如图所示，则 A，B，C 三点的坐标分别为 A(0，3)，B(1,0)，C(1,0)设 P 点的坐标为(x，y)，则PA(x，3y)，PB(1x，y)，PC(1x，y)，PA(PBPC)(x，3y)(2x，2y)2(x2y2 3y)2x2
8、y 32234 234 32.当且仅当 x0，y 32 时，PA(PBPC)取最小值，最小值为32.故选 B.法二：(几何法)如图所示，PBPC2PD(D 为 BC 的中点)，则PA(PBPC)2PAPD.要使PAPD 最小，则PA与PD 方向相反，即点 P 在线段 AD 上，则(2PAPD)min2|PA|PD|，问题转化为求|PA|PD|的最大值又|PA|PD|AD|2 32 3，|PA|PD|PA|PD|2232234，PA(PBPC)min(2PAPD)min23432.故选 B.图(2)由题意不妨设 e1(1,0)，e2(0,1)，则 3e1e2(3，1)，e1e2(1，)根据向量的
9、夹角公式得 cos 60 3，11，2 1232 1212，所以 3 12，解得 33.答案：(1)B(2)331.求解几何图形中的数量积问题策略(1)对向量的分解转化成已知向量的数量积计算是基本方法(2)建立合理的平面直角坐标系，把数量积的计算转化成坐标运算，这是一种较为简捷的方法2警示 两个向量夹角的范围是0，在使用平面向量解决问题时要特别注意两个向量夹角可能是 0 或 的情况，如已知两个向量的夹角为钝角时，不单纯就是其数量积小于零，还要求不能反向共线.变式训练1(2017梅州一模)已知向量 a(1,3)，b(1，t)，若(a2b)a，则|b|()A.2B 5C2 2D4解析：因为 a(1
10、,3)，b(1，t)，所以 a2b(3,32t)因为(a2b)a，所以(a2b)a0，即(1)(3)3(32t)0，即 t2，所以 b(1,2)，所以|b|1222 5.答案：B2在 RtABC 中，CACB3，M，N 是斜边 AB 上的两个动点，且 MN2，则CM CN 的取值范围为()A.2，52B2,4C3,6D4,6解析：记 MN 的中点为 E，则有CM CN 2CE，CM CN 14(CM CN)2(CM CN)2CE 214MN 2CE 212.又|CE|的最小值等于点 C 到 AB 的距离，即3 22，故CM CN 的最小值为3 222124.当点 M 与点 A(或 B)重合时，
11、|CE|达到最大，|CE|的最大值为3 222 22132，因此CM CN 的取值范围是4,6答案：D3(2017广东省五校协作第一次诊断考试)已知向量 a(1，3)，b(3，m)，且 b 在 a 上的投影为 3，则向量 a 与 b 的夹角为_解析：因为 ab3 3m，|a|132，|b|9m2，由|b|cosa，b3 可得|b|ab|a|b|3，故3 3m23，解得 m 3，故|b|932 3，故 cosa，b 32 3 32，故a，b6，即向量 a 与 b 的夹角为6.答案：6微专题 平面向量与其他知识的交汇 交汇创新平面向量具有代数形式与几何形式的“双重型”，常与三角函数、解三角形、平面
12、解析几何、函数、不等式等知识交汇命题，平面向量的“位置”为：一是作为解决问题的工具，二是通过运算作为命题条件如图 1，四边形 OABC 是边长为 1 的正方形，点 D 满足OD 2OA，点P 为BCD 内(含边界)的动点，设OP OA OC(，R)，则当 2 取得最大值时，OP 在CD 方向上的投影为_ 解析：以 O 为原点，OA，OC 所在直线分别为 x 轴，y 轴建立如图 2 所示的平面直角坐标系，则OC(0,1)，OA(1,0)，OD(2,0)，设 P(x，y)，则OP(x，y)，由OP OA OC，得(x，y)(1,0)(0,1)(，)，所以x，y，所以 2x2y.设 zx2y，则 y
13、12xz2，所以z2是直线 y12xz2在 y 轴上的截距，由图 2 易知，当该直线经过点 B(1,1)时，在 y 轴上的截距最大，即 2 取得最大值，此时OP(1,1)，又CD(2，1)，所以OP 在CD 方向上的投影为OP CD|CD|215 55.答案：55 建立适当的平面直角坐标系，利用平面向量知识将其转化为线性规划问题是求解的关键其中熟练掌握平面向量的坐标运算及准确把握投影的概念是正确求解的前提.变式训练1已知向量 a(sin，2)，b(1，cos)，且 ab，则 2sin 2cos2 的值为()A1 B2C.95D3解析：由已知可得，absin 2cos 0，则 tan 2，所以
14、2sin 2cos24sin cos cos24sin cos cos2sin2cos24tan 1tan21 814195.故选 C.答案：C2设向量 a(a1，a2)，b(b1，b2)，定义一种向量积 ab(a1b1，a2b2)已知向量 m2，12，n3，0，点 P(x，y)在 ysin x 的图象上运动，Q 是函数 yf(x)图象上的点，且满足OQ mOP n(O 为坐标原点)，则函数 f(x)的值域是_解析：设 Q(c，d)，由新的运算可得OQ mOP n2x，12sin x 3，0 2x3，12sin x，由c2x3，d12sin x，消去 x 得 d12sin12c6，所以 f(x)12sin12x6，易知 f(x)的值域是12，12.答案：12，12高考专题集训 点击进入WORD链接谢谢观看！