1、2.4.2 抛物线的简单几何性质目标定位重点难点1.掌握抛物线的几何性质2.能运用抛物线的几何性质解决与抛物线有关的问题重点：抛物线的几何性质难点：抛物线的几何性质的应用抛物线的几何性质类型 y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)图象类型y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)焦点_准线_范围x0，yR x0，yR_对称轴_顶点_离心率_开口方向向右向左向上向下Fp2，0Fp2，0F0，p2F0，p2xp2xp2yp2yp2y0，xRy0，xRx轴y轴原点(0,0)e11已知抛物线 y22px(p0)的准线与圆(x3)2y216
2、 相切，则 p 的值为()A.12B1C2D4【答案】C【解析】抛物线的准线 xp2与圆(x3)2y216 相切于点(1,0)，p21，即 p2.2设抛物线 y28x 的焦点为 F，准线为 l，P 为抛物线上一点，PAl，A 为垂足，如果直线 AF 的斜率为 3，则|PF|()A4 3B8 C8 3D16【答案】B【解析】如图，由题意得 PAx 轴，AFH60，则PAF60.又|PA|PF|，所以PAF 是等边三角形所以|PA|AF|HF|cosAFH4cos 608.3抛物线y22px(p0)的焦点为F，P为抛物线上一点，则以线段PF为直径的圆与y轴的位置关系为()A相交B相离C相切D不确定
3、【答案】C【解析】|PF|xPp2，半径 r|PF|2 xP2 p4.又线段 PF的中点的横坐标为12xPp2 r，即 PF 的中点到 y 轴的距离等于该圆的半径故该圆与 y 轴相切.4.(2020年广西桂林模拟)已知抛物线ypx2(其中p为常数)过点A(1,3)，则抛物线的焦点到准线的距离等于 .【答案】16【解析】由抛物线 ypx2(其中 p 为常数)过点 A(1,3)，可得p3，则抛物线的标准方程为 x213y，则抛物线的焦点到准线的距离等于16.【例1】过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦，称为抛物线的通径求顶点在原点且通径长为8的抛物线的方程，并指出它的焦点坐标和准线方程【解题探究】焦点
4、位置不确定，须分四种情况讨论抛物线的简单几何性质的应用【解析】当焦点在 x 轴正半轴上时，设方程为 y22px(p0)，令 xp2，得 yp，故通径长为 2p.则 2p8，y28x，焦点坐标为(2,0)，准线方程为 x2.当焦点在 x 轴负半轴上时，设方程为 y22px(p0)，由题意得 2p8，y28x，焦点坐标为(2,0)，准线方程为x2.当焦点在 y 轴正半轴上时，设方程为 x22py(p0)，由题意得 2p8，x28y，焦点坐标为(0,2)，准线方程为 y2.当焦点在 y 轴负半轴上时，设方程为 x22py(p0)，由题意得 2p8，x28y，焦点坐标为(0，2)，准线方程为 y2.在
5、四种标准方程下，抛物线的通径长都为2p，这是标准方程中系数2p的一种几何意义对于抛物线标准方程的四种形式及其对应的性质的比较、辨析、应用要做到准确熟练，特别是开口方向、焦点坐标、准线方程等1(2019 年江西景德镇期末)已知 A，B 是抛物线 y22px(p0)上不同的两点，O 为坐标原点，若|OA|OB|，且AOB 的垂心恰是此抛物线的焦点 F，则直线 AB 的方程为()Axp2 Bx5p2Cyp2 Dy5p2【答案】B【解析】如图所示，设 A(x0，y0)，由题意可知 B(x0，y0)又点 Fp2，0 是AOB 的垂 心，则 AF OB，kAFkOB 1.即y0 x0p2y0 x0 1.y
6、20 x0 x0p2.又 y202px0，x02pp25p2.直线 AB 的方程为 x5p2.【例2】求过点P(0,1)且与抛物线y22x只有一个公共点的直线方程【解题探究】分类讨论斜率存在情况，画草图找解题思路直线与抛物线的位置关系【解析】(1)若直线斜率不存在，则过 P(0,1)的直线方程为x0.直线 x0 与抛物线只有一个公共点(2)若直线斜率存在，设为 k，则过 P(0,1)的直线方程为 ykx1.由方程组ykx1，y22x，消元得k2x22(k1)x10.当 k0 时，得x12，y1，即直线 y1 与抛物线只有一个公共点当 k0 时，若直线与抛物线只有一个公共点，则 4(k1)24k
7、20.k12.直线方程为 y12x1.综上所述，所求直线方程为 x0 或 y1 或 y12x1.若直线与抛物线相切，则直线与抛物线只有一个公共点；若直线与抛物线只有一个公共点，则直线与抛物线不一定是相切，也可能是平行于对称轴.2已知抛物线y26x，过点P(4,1)作一直线与抛物线交于P1，P2两点且使线段P1P2恰好被点P平分，求P1，P2所在的直线方程及|P1P2|.【解析】设直线上任意一点坐标为(x，y)，弦两端点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)P1，P2 在抛物线上，y216x1，y226x2.两式相减，得(y1y2)(y1y2)6(x1x2)y1y22，ky1y2x1x26y1
8、y23.直线的方程为 y13(x4)，即 3xy110.由y26x，y3x11，得 y22y220，y1y22，y1y222.|P1P2|11k2 y1y22119 224222 2303.不会用抛物线的定义致误【示例】已知直线 l 经过抛物线 y22px(p0)的焦点 F 且与抛物线交于 P，Q 两点，由 P，Q 分别向准线引垂线 PK，QS，垂足分别为 K，S，如果|PF|a，|QF|b，M 为 KS 的中点，则|MF|的值为()AabB12(ab)CabD ab【错解】先求出 M 点的坐标后，用两点间的距离公式求|MF|，由于计算中变量较多，关系复杂，从而无法算出最后结果【错因分析】不会
9、用抛物线的定义【正解】如图，根据抛物线的定义，有|PF|PK|，|QF|QS|，结合 PKQS，可得KFS 为直角三角形，故要求的是直角三角形斜边上的中线长在直角梯形 PKSQ 中，容易求得|KS|ab2ab2 2ab.故|FM|12|KS|ab.故选 D.【警示】重视抛物线的定义在解题中的作用，利用定义实现点到焦点的距离与点到准线的距离的转化，可方便快速地解决问题解决圆锥曲线的几何性质问题要注重数形结合思想方法的应用数形结合思想其实是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来使抽象思维与形象思维结合通过对图形的认识，数形的转化，使问题化难为易，化抽象为具体1过抛物线y24x的焦点作直线交抛物线于A
10、(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若x1x26，那么|AB|等于()A10B8C6D4【答案】B【解析】|AB|x1x2p628.故选B.2.(2020 年福建龙岩模拟)若直线 AB 与抛物线 y24x 交于A，B 两点，且 ABx 轴，|AB|4 2，则抛物线的焦点到直线AB 的距离为()A.1B.2C.3D.5【答案】A【解析】由|AB|4 2及 ABx 轴，不妨设点 A 的纵坐标为 2 2，代入 y24x 得点 A 的横坐标为 2，从而直线 AB 的方程为 x2.又 y24x 的焦点为(1,0)，所以抛物线的焦点到直线AB 的距离为 211.故选 A.3过抛物线 y24x 的焦点 F
11、 的直线交该抛物线于 A，B两点，O 为坐标原点若|AF|3，则AOB 的面积为()A 22 B 2 C3 22 D2 2【答案】C【解析】由题意设 A(x1，y1)，B(x2，y2)(y10，y20)，如图所示，|AF|x113，x12，y12 2.直线 AB 过 F(1,0)设 AB 的方程为 x1ty，由y24x，x1ty，消去 x，得 y24ty40.y1y24，y2 2.SAOB121|y1y2|3 22.4抛物线y24x与直线axy2a20有且只有一个交点，则实数a的值为_【答案】0【解析】直线axy2a20过定点(2,2)，而点(2,2)在抛物线内，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线有且只有一个交点a0.