1、3 集合的基本运算3.1 交集与并集基础认知自主学习 1交集与并集的概念与表示交集并集定义由既属于集合A又属于集合B的_组成的集合,叫作A与B的交集,记作AB,读作“A交B”.由属于集合A或属于集合B的_所组成的集合,叫作A与B的并集,记作AB,读作“A并B”.符号表示AB=_AB=_Venn图所有元素所有元素x|xA且xBx|xA或xB 如何理解ABx|xA或xB中，联结词“或”的意义？提示：AB仍是一个集合，由所有属于A或属于B的元素组成“或”的数学内涵的形象图示如下：xA或xB2交集的性质(1)AB BA，AAA；(2)AB A，AB B；(3)若两集合A与B无公共元素，则AB，A；(4
2、)A B ABA，B A ABB.(是等价号，表示互相推出)(5)交集的运算律：A(BC)(AB)C.3并集的性质(1)ABBA，AAA；(2)A AB，B AB；(3)AA；(4)A B ABB；B AABA.(5)并集的运算律：A(BC)(AB)C.如果NZ，如何计算NZ与NZ?提示：由于NZ，所以NZN，NZZ.1辨析记忆(对的打“”，错的打“”)(1)若 AB，则 A或 B.()提示：若AB，则A，B可能都是非空集合(2)若 AB，则 A且 B.()提示：若AB ，则A 且B .假设A，B中有一个不是空集，则AB，与条件矛盾 (3)若 ABA，则 ABB.()提示：若ABA，则A B，
3、所以ABB.2已知集合Ax|x10，B0，1，2，则AB()A0 B1 C1，2 D0，1，2【解析】选C.Ax|x1，则AB1，23已知集合A1，2，3,B2，3，4，则AB_，AB_【解析】因为集合A1，2，3，B2，3，4，则AB2，3，AB1，2，3，4答案：2，3 1，2，3，44(教材例题改编)设AxN|x5，Bx|x是12的正约数，则AB_；AB_【解析】A0，1，2，3，4，B1，2，3，4，6，12故AB1，2，3，4；AB0，1，2，3，4，6，12答案：1，2，3，4 0，1，2，3，4，6，12能力形成合作探究类型一 集合的交集与并集运算(数学运算)【典例】1.(202
4、0新高考全国卷)设集合 Ax|1x3，Bx|2x4，则 AB()Ax|2x3 Bx|2x3Cx|1x4 Dx|1x4【思路导引】找出两个集合的公共元素，即得两个集合的交集【解析】选C.因为A1，3，B(2，4)，所以AB1，4).2已知集合AxZ|x|2,BxN|x22x30，求AB，AB.【思路导引】先分别化简两个集合，利用列举法表示，再进行交集与并集的运算【解析】因为集合AxZ|x|22，1，0，1，2,B xN|x22x301，所以AB1，AB2，1，0，1，2 求集合交集、并集的两种题型及解法(1)有限集：一般需把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集的定义分别求出，也可借助Ve
5、nn图(2)无限集：若集合是实数集的子集，一般先把集合分别表示在数轴上，然后利用交集、并集的定义去求解，这样处理比较形象直观，但要注意端点值1(2020北京高考)已知集合A1，0，1，2，Bx|0 x3，则AB()A1，0，1 B0，1C1，1，2 D1，2【解析】选D.画数轴，或者逐个检验集合A中元素是否属于B，易得AB1，22(2021新高考卷)设集合Ax|2x4，B2，3，4，5，则AB()A2 B2，3 C3，4 D2，3，4【解析】选B.ABx|2x5或a4.利用集合交集、并集的性质解题的方法及关注点(1)方法：解题时，常常遇到ABB，ABA这类问题，解答时转化为集合间的关系求解，如
6、ABAA B，ABBA B，ABABAB.(2)关注点：当集合A B时，若集合A不确定，运算时要考虑A 的情况，否则易漏解1若集合A0，1，2，x，B1，x2，ABA，则满足条件的实数x有()A1个 B2个 C3个 D4个【解析】选B.因为ABA，所以B A.因为A0，1，2，x，B1，x2，所以x20或x22或x2x，解得x0或 2 或 2 或1.经检验，当x 2 或 2时满足题意2已知集合Ax|2x4，Bx|xm0(1)若AB，求实数m的取值范围(2)若ABB，求实数m的取值范围【解析】(1)因为Ax|2x4，Bx|xm，又AB，所以m2.(2)因为Ax|2x4，Bx|xm，由ABB，得A
7、 B，所以m4.【补偿训练】已知集合A x|x1，B x|xa，且ABR，则实数a的取值范围是_【解析】由A x|x1，B x|xa，且ABR，如图所示，实数a的取值范围是a1.答案：a1类型三 交集与并集的综合问题(数学运算、逻辑推理)角度1 交集与方程组问题【典例】设集合A(x，y)|yx2，B(x，y)|yx2，则AB_【思路导引】A，B两个集合都是点集，故两个集合的交集也就是两个方程构成的方程组的解集也是点集【解析】因为A(x，y)|yx2，B(x，y)|yx2,所以AB（x，y）yx2，yx2.由方程组yx2，yx2，消去y得x2x20，解得x11,x22，所以方程组yx2，yx2的
8、解为x11，y11，x22，y24，所以AB(1，1)，(2，4)答案：(1，1)，(2，4)若本例集合A(x，y)|y x2不变，B(x，y)|y2x,C(x，y)|y x2，如何求AB与AC?【解析】因为A（x，y）|y x2，B(x，y)|y2x，C(x，y)|y x2所以AB（x，y）yx2，y2x（0，2）.AC（x，y）yx2，yx2.角度2 交集、并集与参数问题【典例】已知集合Ax|x25x60，Bx|x22(m1)xm230(1)若m0，写出AB的子集(2)若ABB，求实数m的取值范围【思路导引】(1)用列举法表示集合A，B，求得AB，再确定其子集(2)将ABB转化为B A，对
9、一元二次方程的根的判别式进行分类讨论求解【解析】(1)集合Ax|x25x606，1，当m0时，Bx|x22x303，1所以AB3，6，1，AB的子集：，6，3，1，6，3，6，1，3，1，6，3，1(2)由已知ABB，得B A，A6，1由x22(m1)xm230，得4(m1)24(m23)8(m2).当m2时，0，若B A，则B6，1所以由一元二次方程的根与系数的关系，得2（m1）5，m236m无解综上所述，m的取值范围是 m|m2 解决含有参数的集合运算问题，要运用分类讨论的思想方法，对参数的各种取值进行分类讨论，最后求并集进行整合1设Ax|x22x0，Bx|x22axa2a0(1)若ABB
10、，求a的取值范围(2)若ABB，求a的值【解析】由x22x0，得x0或x2，所以A0，2(1)因为ABB，所以B A，B，0，2，0，2当B时，4a24(a2a)4a0，所以a5 或 a35 或 a4.1下列表示正确的是()AN0N BNZZCNNNDQRQ学情诊断课堂测评【解析】选C.根据常用数集的包含关系，N00，NZN，NNN，QRR.2已知集合A1，2，3，4，B0，1，则AB()A1，0，1，2，3，4B1，2，3，4C 0D【解析】选D.集合A1，2，3，4，B0，1，则AB.3某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为_.【解析】设两项运动都喜爱的人数为x，画出Venn图得到方程15xx10 x830，解得x3，所以喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为15312(人).答案：124(教材练习改编)若Ax|1x2，Bx|1xm，若ABx|ax1，则a_，m_【解析】由ABx|ax1得a1，m1.答案：1 15设I1，2，3，4，A与B是I的子集，若AB1，3，则称(A，B)为一个“理想配集”那么符合此条件的“理想配集”的个数是_(规定(A，B)与(B，A)是两个不同的“理想配集”)【解析】由题意，可用Venn图表示所有理想配集如下：所以，符合条件的“理想配集”共有9个答案：9
