1、江苏省南京市第十三中学20202021学年度高二上期初调研数学试卷（时间：120分钟 满分150分）一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求1两平面，的法向量分别为，若，则的值是（ ）AB6CD2椭圆与的关系为（ ）A有相等的长轴B有相等的短轴C有相同的焦点D有相等的焦距3已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的形状一定是（ ）A等腰直角三角形B直角三角形C等腰三角形D等边三角形4已知椭圆过点和点，则此椭圆的标准方程是（ ）AB或CD以上都不对5已知球的半径与圆锥的底面半径都为2，若它们的表面积相同，则圆锥的高为（ ）AB
2、CD86已知，则（ ）ABCD7若圆与圆相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长是（ ）ABC4D8设锐角的三内角A、B、C所对边的边长分别为a、b、c，且，则b的取值范围是（ ）ABCD二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有不止一项符合题目要求全部选对得5分，部分选对得3分，错选或不答得0分9下列四个说法正确的说法是（ ）A若是空间的一组基底，则也是空间的一组基底B若空间的三个向量，共面，则存在惟一的实数、，使C若两条不同直线l，m的方向向量分别是、，则D若两个不同平面，的法向量分别是、，且，则10在中，角A，B，C所对的边分别
3、为a，b，c，若，则的面积可能为（ ）ABCD11如图，正方体的棱长为2，E，F分别为AD，的中点，则以下说法正确的是（ ）A平面截正方体所得截面周长为B上存在点P，使得平面C三棱锥和体积相等D上存在点P，使得平面12古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名他发现：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值（，且）的点的轨迹是圆”后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为“阿波罗尼斯圆”，简称“阿氏圆”在平面直角坐标系中，点P满足设点P的轨迹为C，下列结论正确的是（ ）A轨迹C的方程为B在x轴上存在异于A，B的两定点D，E，使得C当A，B，P三点不共线时，射线PO是的平分线D在轨迹C上存在
4、点M，使得三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分第14题第一空2分，第二空3分，答题纸上答案用封号隔开13在平行六面体中，M为AC和BD的交点，设，则_（用，表示）14如图，某数学学习兴趣小组的同学要测量学校地面上旗杆CD的高度（旗杆CD垂直于地面），设计如下的测量方案：先在地面选定距离为30米的A，B两点，然后在A处测得，在B处测得，由此可得旗杆CD的高度为_米，的正切值为_15在一个平面角为的二面角的棱上有两点A，B，线段AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且均与棱AB垂直，若，则CD的长为_16已知，是椭圆的左，右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，为等腰三
5、角形，则C的离心率为_四、解答题：本大题共6小题，总分70分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17已知，（1）求的值；（2）求的值18如图，在直三棱柱中，E是BC的中点求证：（1）平面平面；（2）平面19已知椭圆的左右焦点分别为，点，是两个顶点（1）若，椭圆离心率为，求椭圆的方程和焦距；（2）如果到直线AB的距离为，求椭圆的离心率20已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，_，且，请从，这三个条件中任选一个补充在横线上（填写序号），求出此时的面积21如图，在四棱锥中，侧面底面，侧棱，底面为直角梯形，其中，O为中点（1）求直线PB与平面POC所成角的余弦值；（2）线段PD上是否
6、存在一点Q，使得二面角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由22已知圆，点P是直线上的一动点，过点P作圆M的切线PA，PB，切点为A，B（1）当切线PA的长度为时，求点P的坐标；（2）若的外接圆为圆N，试问：当P运动时，圆N是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，请说明理由；（3）求线段AB长度的最小值江苏省南京市第十三中学20202021学年度高二上期初调研数学答案（时间：120分钟 满分150分）一、单项选择题15 BDCAB 68 BCA二、多项选择题9ACD 10BD 11ACD 12BC三、填空题：13 14（1）；（2） 153 16四、解答题：17解析：（
7、1）因为，所以，所以，由，所以， 3分所以 6分（没有写范围扣2分）（2） 10分18【解析】（1）在直三棱柱中，平面因为平面，所以 1分因为，E为BC的中点，所以因为平面，平面，且，所以平面 5分因为平面，所以平面平面 6分（2）连结，设，连结EF在直三棱柱中，四边形为平行四边形，所以F为的中点又因为E是BC的中点，所以 8分因为平面，平面，所以平面 10分19答案：（1），；（2）解析：（1）由得， 1分， 2分又， 3分椭圆方程为， 4分焦距为 5分（2）由，得直线AB的斜率为，故AB所在的直线方程为，即 6分又，由点到直线的距离公式可得， 8分又，整理，得，即，或（舍去）综上可知，椭圆
8、的离心率 10分20解析：情形一：若选择，由余弦定理，因为，所以； 5分情形二：若选择，因为，则，因为，所以，因为，所以； 5分情形三：若选择，则，所以，因为，所以，所以，所以； 5分由正弦定理，得， 7分因为，所以， 8分所以， 10分所以 12分21解析（1）在中，O为AD中点，所以，又侧面底面，平面平面，平面，所以平面又在直角梯形中，易得， 2分所以以为坐标原点，为x轴，为y轴，为轴建立空间直角坐标系则，；， 3分易证：平面，所以是平面的一个法向量， 4分， 5分所以与平面所成角的余弦值为 7分（2）假设存在，且设因为，所以 8分设平面的法向量中，则，取，得 9分平面的一个法向量为， 10分要使二面角的余弦值为，需使 12分整理化简得：，得或（舍去），所以存在，且 14分22解析：（1）由题可知，圆M的半径，设，因为PA是圆M的一条切线，所以，所以，解得或，所以点P的坐标为或 4分（2）设，因为，所以经过A、P、M三点的圆N以MP为直径，其方程为， 6分即，由，解得，或，所以圆过定点， 8分（3）因为圆N方程为，即又圆得圆M方程与圆N相交弦AB所在直线方程为 10分点到直线AB的距离， 11分所以相交弦长 12分，所以当时，AB有最小值 14分