1、北京四中20182019学年上学期高中一年级期中考试数学试卷卷（I）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1.的值为（ ）A. B. C. 1 D. 【答案】D【解析】【分析】根据对数的运算法则及性质即可求解.【详解】因为 ，故选D.【点睛】本题主要考查了对数的性质和运算法则，属于容易题.2.集合，则下列关系正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据元素与集合的关系即可判断.【详解】因为，所以，故选A.【点睛】本题主要考查了元素与集合的关系，属于容易题.3.函数的定义域是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】函数要有意义，则需解析式有
2、意义，分式的分母不为0即可.【详解】要是函数有意义，则需，解得，所以函数的定义域为，故选C.【点睛】本题主要考查了函数的定义域，属于中档题.4.若，则（ ）A. 1 B. C. 0 D. 【答案】A【解析】【分析】根据函数解析式，只需把代入即可求出函数值.【详解】因为，所以当时，故选A.【点睛】本题主要考查了根据函数解析式求函数值，属于中档题.5.下列函数中，在区间上为增函数的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据基本初等函数的单调性，逐项分析即可.【详解】A选项中 是一次函数，所以在R上是减函数，错误； B选项 是幂函数，幂指数，在区间上为增函数，故正确；C选项 是二
3、次函数，对称轴为，在区间上无单调性，错误； D选项 是指数函数，在R上是减函数，错误.故选B.【点睛】本题主要考查了函数的单调性，属于中档题.6.下列函数中，值域是的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据函数性质，逐项分析各选项即可.【详解】A中的值域为R,错误，B中的值域为，正确；C中 ，值域为，错误； D中 的值域为R,错误.故选B.【点睛】本题主要考查了基本初等函数的值域，属于中档题.7.函数的零点所在的一个区间是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据题意可知函数是R上的减函数，只需根据即可判断零点所在区间.【详解】因为是R上的减函数，所以是
4、R上的减函数，又，可知零点在区间上，故选C.【点睛】本题主要考查了函数零点的存在性，函数的单调性，属于中档题.8.若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据指数及对数的性质可分析出范围，从而得到结果.【详解】因为，所以，因为，所以，所以选B.【点睛】本题主要考查了指数的性质，对数的性质，属于容易题.9.已知函数是上的偶函数，当时，则的解集是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据函数是上的偶函数，可知函数图象关于y轴对称，解出当时的解，由函数图像的对称性，可知时，的解.【详解】当时,，所以解得，由是上的偶函数知，函数图象关于y轴对称，所以当时，的解为
5、，综上知，的解集为.故选D.【点睛】本题主要考查了偶函数的性质及图象，属于中档题.10.若，则函数的图象有可能是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据，可知函数是增函数，当时，由知，可选出答案.【详解】根据，可知函数是增函数，排除B,D选项，当时，由知，排除C选项，故选A.【点睛】本题主要考查了指数函数的增减性，指数函数的图象，属于中档题.二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）11.计算:_；_.【答案】 (1). 1 (2). 4【解析】【分析】分别根据对数的运算法则及指数的运算法则计算即可求解.【详解】; 故填(1). 1 (2). 4【点睛】本题主要考
6、查了对数及指数运算法则，属于中档题.12.若函数的定义域为，则函数的定义域为_.【答案】【解析】【分析】根据的定义域为知，要有意义则需，即可求出的定义域.【详解】因为的定义域为，则要有意义则需，解得，所以的定义域为.故填.【点睛】本题主要考查了抽象函数的定义域，属于中档题.13.函数，则其图象的对称轴方程为 _；的增区间是_.【答案】 (1). 2 (2). 【解析】【分析】根据二次函数的性质知，对称轴方程为，当时， 增区间为,据此可写出答案.【详解】因为函数，所以对称轴方程为，的增区间是.故填：(1). 2 (2). 【点睛】本题主要考查了二次函数的对称轴和单调区间，属于容易题.14.已知函
7、数，若函数有3个零点，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】函数有3个零点，即方程有3个根，因此在同一坐标系内做出的图象与直线，观察它们公共点的个数即可得到答案.【详解】因为有3个零点，所以的图象与直线有3个公共点在同一坐标系内作出它们的图象，如下：根据图象可知，当时，有三个交点.故则实数的取值范围是.【点睛】本题主要考查了分段函数，函数的零点，函数零点与方程的根，数形结合思想，属于中档题.三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）15.设集合.（I）用列举法写出集合；（II）求和.【答案】（I）；（II）,.【解析】【分析】（I）根据集合的描述法写出集合中的元素即可列举法表
8、示（II）根据交集和并集的运算即可求解.【详解】（I）因为x，所以,所以.（II）因为，所以,.【点睛】本题主要考查了集合的描述法，列举法，交集，并集，属于中档题.16.已知函数.（I）当时，判断的奇偶性，并证明你的结论；（II）当时，求的值域.【答案】（I）证明见解析；（II）.【解析】【分析】（I）当时,为偶函数，可根据定义证明（II）当时，配方可写出值域.【详解】（I）当时,为偶函数,证明：由知，, , . 即函数为偶函数.（II）当时， 即函数的值域为.【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性，二次函数的值域，属于中档题.17.设函数.（I）利用单调性定义证明：在区间上是单调递减函数；（II
9、）当时，求在区间上的最大值.【答案】（I）证明见解析；（II）.【解析】【分析】（I）根据函数单调性的定义证明即可（II）先证明函数在区间2，+）上是单调递增函数，再结合（I）的结论且，对分类讨论写出函数最大值.【详解】（I）任取，（0，2，设，则 ，所以，故在区间（0，2上是单调递减函数.（II）由（I）可知，在区间（0，2上是单调递减函数；当，设，易知总有loga2，因为0a1，所以0x2x2，解，得1x1或x0,所以x的取值范围是x|1x0或1x2）.（II）为的反函数，所以,由已知 在区间2，）上恒成立，因为，所以在区间2，）上恒成立， 即大于等于的最大值,因为0a1，又x20，），所
10、以（）的最小值为1，（）的最大值为1，所以k1，所以k的最小值为1.【点睛】本题主要考查了对数函数的增减性，反函数，指数函数，恒成立问题，属于中档题.25.给定数集,若对于任意,有,且，则称集合为闭集合.（I）判断集合是否为闭集合，并给出证明；（II）若集合为闭集合，则是否一定为闭集合?请说明理由；（III）若集合为闭集合，且,证明：.【答案】（I）证明见解析；（II）不一定，证明见解析；（III）证明见解析.【解析】【分析】（I）根据特值，但是4+4=8A，判断A不为闭集合，设，可证出，B为闭集合（II）取特例A=x|x=2k，kZ，B=x|x=3k，kZ，集合为闭集合，但不为闭集合即可（I
11、II）用反正正法，若AB=R，存在aR且aA，故aB，同理，因为BR，存在bR且bB，故bA，若，则由A为闭集合，与aA矛盾，同理可知若，与bB矛盾，即可证明.【详解】（I）因为，但是4+4=8A，所以，A不为闭集合；任取，设,则且所以，同理，故B为闭集合.（II）结论：不一定.令A=x|x=2k，kZ，B=x|x=3k，kZ，则由（I）可知，A，B为闭集合，但2，3AB，2+3=5AB，因此，AB不为闭集合.（III）证明：（反证）若AB=R,则因为AR，存在aR且aA，故aB,同理，因为BR，存在bR且bB，故bA,因为a+bR=AB，所以，a+bA或a+bB,若，则由A为闭集合，与aA矛盾,若，则由B为闭集合，与bB矛盾,综上，存在cR，使得c（AB）.【点睛】本题主要考查了集合子集、真子集，反证法，考查了学生分析推理能力，属于难题.