1、2019-2020学年度第一学期北京师范大学第二附属中学高二上学期期中数学试卷一、选择题1.过椭圆的左焦点作轴的垂线交椭圆于点，为右焦点，若，则椭圆的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】作出图形，设，可得，可将和均用表示，即可计算出该椭圆的离心率.【详解】设该椭圆的焦距为，如下图所示：设，轴，由椭圆定义可得，因此，该椭圆的离心率为.故选：B.【点睛】本题考查椭圆离心率的计算，涉及椭圆的焦点三角形问题，一般利用椭圆定义来处理，考查计算能力，属于中等题.2.在等差数列中，若=4，=2，则= （ ）A. -1B. 0C. 1D. 6【答案】B【解析】在等差数列中，若，则，
2、解得，故选B.3.椭圆的两焦点之间的距离为A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：根据题意，由于椭圆的方程为,故可知长半轴的长为,那么可知两个焦点 的坐标为，因此可知两焦点之间的距离为，故选C考点：椭圆的简单几何性质点评：解决的关键是将方程变为标准式，然后结合性质得到结论，属于基础题4.已知双曲线的一条渐近线方程为，它的一个焦点坐标为，则双曲线的方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据题意得出关于、的方程组，解出、的值，即可得出所求双曲线的方程.【详解】由题意可得，解得，因此，所求双曲线的方程为.故选：C.【点睛】本题考查双曲线标准方程的求解，解题的关键就
3、是求出、的值，考查方程思想的应用，属于基础题.5.“”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】试题分析：因为,而结论是x=1，那么根据前者表示的x的集合包含后者，可知条件不能推出结论，但是结论可以推出条件，因此说条件是结论成立的充分不必要条件，故选B考点：本题主要考查充分条件的判定问题的运用点评：解决该试题的关键是弄清楚条件表示的集合与结论表示的集合之间的包含关系，结合集合的关系来得到判定6.若，则下列不等式：；中，正确的不等式有（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由推导出，利用不等式的基本性质判断的正
4、误，即可得出结论.【详解】，由不等式的性质可得，所以，.对于中的不等式，中的不等式成立；对于中的不等式，即，中的不等式不成立；对于中的不等式，中的不等式不成立；对于中的不等式，中的不等式成立.故选：C.【点睛】本题考查利用不等式的基本性质判断不等式是否成立，考查推理能力，属于基础题.7.已知x，y0且x+4y=1，则的最小值为（）A. 8B. 9C. 10D. 11【答案】B【解析】【分析】由，展开多项式乘多项式，然后利用基本不等式求最值【详解】 且 ，当且仅当时，等号成立的最小值为9故选B【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，关键是“1”的灵活运用，是基础题8.几位大学生响应国家的创业号召，
5、开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N：N100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是A. 440B. 330C. 220D. 110【答案】A【解析】由题意得，数列如下：则该数列的前项和为，要使，有，此时，所以是第组等比数列的部分和，设，所以，则，此时，所以对应满足条件的最小整数，故选A.点睛:本题非常巧妙
6、地将实际问题和数列融合在一起，首先需要读懂题目所表达的具体含义，以及观察所给定数列的特征，进而判断出该数列的通项和求和.另外，本题的难点在于数列里面套数列，第一个数列的和又作为下一个数列的通项，而且最后几项并不能放在一个数列中，需要进行判断.二、填空题9.在等比数列中，若，则公比为_.【答案】【解析】分析】根据题意得出关于和的方程组，即可解出的值.【详解】由题意可得，解得.故答案为：.【点睛】本题考查等比数列基本量的计算，建立方程组是解答的关键，考查运算求解能力，属于基础题.10.若双曲线的一个顶点坐标为,焦距为,则它的标准方程为_.【答案】【解析】【分析】根据顶点坐标求得,根据焦距求得,进而
7、根据=求得,进而求得双曲线的标准方程.【详解】依题意可知=,= 根据顶点坐标可知焦点在轴, 双曲线的方程为.故答案为：【点睛】本题考查了由求双曲线的标准方程，需熟记，属于基础题.11.椭圆的焦距为2，则m的值等于_【答案】3【解析】【分析】讨论和两种情况，利用求解即可.【详解】当m4时，m41，m5；当0m4时，4m1，m3.故答案为：【点睛】本题主要考查了根据椭圆的方程求，属于基础题.12.若对任意正实数a，不等式恒成立，则实数x的最小值为_【答案】-1【解析】【分析】根据恒成立的方法化简为再求解即可.【详解】对任意正实数a,不等式恒成立,等价于恒成立,实数x的最小值为故答案为：-1【点睛】
8、本题主要考查了恒成立的问题,属于基础题型.13.若命题“，”是假命题，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】由题意知，不等式对任意的恒成立，可得出，即可解出实数的取值范围.【详解】由于命题“，”是假命题，则命题“，”为真命题，解得.因此，实数的取值范围是.故答案为：.【点睛】本题考查根据特称命题的真假求参数，将问题转化为二次不等式恒成立问题是解答的关键，考查运算求解能力，属于基础题.14.在一次调查中，甲、乙、丙、丁四位同学阅读量有如下关系：同学甲、丙阅读量之和与乙、丁阅读量之和相同，同学甲、乙阅读量之和大于丙、丁阅读量之和，丁的阅读量大于乙、丙阅读量之和.那么这四名同学按阅读量从大到
9、小的排序依次为_.【答案】甲丁乙丙【解析】【分析】设甲、乙、丙、丁的阅读量分别为、，根据题意得出等式与不等式，利用不等式的基本性质可得出、的大小关系，进而可得出结论.【详解】设甲、乙、丙、丁的阅读量分别为、，则，.由于同学甲、丙阅读量之和与乙、丁阅读量之和相同，则，同学甲、乙阅读量之和大于丙、丁阅读量之和，则，丁的阅读量大于乙、丙阅读量之和，则，得，得，由得，所以，.故答案为：甲丁乙丙.【点睛】本题考查了演绎推理的问题，关键是将语句之间的关系转化为等式与不等式关系，考查推理能力，属于基础题三、解答题15.已知等差数列满足，前项的和.（1）求的通项公式；（2）设等比数列满足，求的前项和.【答案】
10、（1）；（2）.【解析】【分析】（1）设等差数列的公差为，根据题意得出关于和的方程组，解出这两个量，再利用等差数列的通项公式可求出数列的通项公式；（2）求出等比数列的公比，利用等比数列的求和公式可求出.【详解】（1）设等差数列的公差为，则，解得，因此，数列的通项公式为；（2）设等比数列的公比为，可得.因此，.【点睛】本题考查等差数列的通项公式和等比数列求和，考查计算能力，属于基础题.16.求过点，离心率为的双曲线的标准方程【答案】【解析】试题分析：解：（1）若焦点在轴上，设方程为，则，又，得由、，得，得方程为（2）若焦点在轴上，同理可得不合题意故所求双曲线标准方程为考点：本题主要考查双曲线的标
11、准方程及几何性质点评：基础题型，设出方程形式，注意对焦点可能在的坐标轴加以讨论17.已知（1）若，解不等式；（2）若，解不等式【答案】(1) 或(2) 【解析】【分析】(1)利用一元二次不等式的解法解不等式得解；（2）由题得，再对a分类讨论解不等式【详解】（1）当，不等式即，即，解得，或，故不等式的解集为或（2）若，不等式，即，当时， ，不等式的解集为；当时，不等式即，它的解集为；当时，不等式解集为【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.18.如图，椭圆的左、右焦点分别为过的直线交椭圆于两点，且（1）若，求椭圆的标准方程（2）若求椭圆的离心
12、率【答案】（1）；（2）.【解析】【详解】（1）由椭圆定义，设椭圆的半焦距为c，由已知，因此即从而故所求椭圆的标准方程为.（2）设点P在椭圆上，且，则求得由,得,从而由椭圆的定义，,从而由，有又由，知，因此于是解得.解法二：如图由椭圆的定义，,从而由，有又由，知，因此,从而由,知，因此考点：考查椭圆的标准方程，椭圆的几何性质.，直线和椭圆相交问题，考查运算求解能力19.设函数，.（1）当时，求函数的最小值；（2）当时，求函数的最小值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）当时，将函数的解析式变形为，利用基本不等式可求出该函数在区间上的最小值；（2）利用单调性的定义证明出函数在区间上为增
13、函数，由此可得出函数在区间上的最小值.【详解】（1）当时，则，由基本不等式得，当且仅当时，即当时，等号成立，因此，函数在区间上的最小值为;（2）任取，则，则，即，所以，函数在区间上为增函数，因此，函数在区间上的最小值为.【点睛】本题考查利用基本不等式与函数的单调性求最值，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.20.有限数列同时满足下列两个条件：对于任意的（），；对于任意的（），三个数中至少有一个数是数列中的项来（1）若，且，求的值；（2）证明：不可能是数列中的项；（3）求的最大值【答案】（1）；（2）见解析；（3）的最大值为【解析】【详解】（1）由，得由，当，时,中至少有一个是数列，中项，
14、但，故，解得经检验，当时，符合题意 （2）假设是数列中的项，由可知：6，10，15中至少有一个是数列中的项，则有限数列的最后一项，且由， 对于数，由可知：；对于数，由可知： 6分所以，这与矛盾所以不可能是数列中的项 （3）的最大值为，证明如下： （1）令，则符合、 （2）设符合、，则：（）中至多有三项，其绝对值大于1假设中至少有四项，其绝对值大于1，不妨设，是中绝对值最大的四项，其中则对，有，故，均不是数列中的项，即是数列中的项同理：也是数列中的项但，所以所以，这与矛盾（）中至多有三项，其绝对值大于0且小于1假设中至少有四项，其绝对值大于0且小于1，类似（）得出矛盾（）中至多有两项绝对值等于1（）中至多有一项等于0综合（），（），（），（）可知中至多有9项14分由（1），（2）可得，的最大值为9考点：与数列有关的新定义问题