1、北京市八一学校2020-2021学年高一数学上学期期中试题（含解析）一选择题1. 若集合，则集合等于（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据交集的定义求解即可.【详解】故选：A【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，属于基础题.2. 下列各选项中，与表示同一函数的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据相同函数的定义，判断两函数的定义域即解析式是否相同，即可得解；【详解】解：对于定义域为，且对于A：定义域为，函数解析式不相同，故不是同一函数；对于B：不满足函数的定义，不是函数；对于C：定义域为，定义域相同且函数解析式一样，故是同一函数；对于D：定义域为，
2、定义域不相同，故不是同一函数；故选：C3. 下列四个选项中，可以是函数的图象的是（ ）A B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先判断奇偶性，可判断CD错误；再判断在的单调性，可判断A错误.【详解】函数的定义域为，关于原点对称，且，故是偶函数，图象关于轴对称，故CD错误；当时，和在都单调递增，则在单调递增，故A错误，B正确.故选：B.【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.4. 命题
3、的否定为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据否定的定义即求解.【详解】命题的否定为,故选:D5. 已知函数是定义在R上的奇函数，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由得，利用给定解析式求出，再由函数奇偶性，即可得出结果.【详解】因为，当时，所以，又函数是定义在R上的奇函数，所以，因此.故选：D.6. 函数的零点所在的区间是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由零点存性定理求解即可.【详解】， 所以函数的零点所在的区间是，故选：D7. 已知偶函数的定义域为R，则“在上单调递增”是“在R上有最小值”的（ ）A. 充分不必要条件B.
4、必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】由偶函数的性质和单调性可得，可判断充分性成立；举例可说明必要性不成立.【详解】充分性：若在上单调递增，是定义在R上的偶函数，在处取得最小值，故充分性成立；必要性：若在R上有最小值，如是偶函数，且在R上有最小值，但在上有增有减，故必要性不成立，故“在上单调递增”是“在R上有最小值”的充分不必要条件.故选：A.8. 设，满足，给出下列4个命题：（1）；（2）；（3）；（4）.则其中真命题的个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】A【解析】【分析】通过举反例判断（1）（2）（3）错；由作差比较，判断（4）正确
5、.【详解】（1）当，时，满足，但此时，故（1）错；（2）当时，满足，但此时，故（2）错；（3）当时，满足，但此时，故（3）错；（4）因为恒成立，所以.故（4）正确；故选：A9. 若函数的值域为，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据分段函数的解析式，先求出时，函数的值域；再对二次函数的对称轴进行分类讨论；根据题中条件，即可得出结果.【详解】由题意，当时，显然单调递增，则；当时，是开口向下，对称轴为的二次函数，又函数的值域为，当，即时，即，解得：，当，即时，综上，故选：D.【点睛】分段函数的的值域为R，即要求各段函数在定义域内的值域并集为R,本题需要对二次
6、函数的对称轴进行分类讨论.10. 甲、乙两人同时参加一次数学测试，共有10道选择题，每题均有4个选项，答对得1分，答错扣1分，不答是0分经比较，他们只有一道题的填法不同，如果甲最终的得分为8分，则乙的所有可能的得分值组成的集合为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据题中条件，先确定甲答题的对错情况，进而可得出乙对错的情况，从而可得其所有可能的得分.【详解】由题意，因为甲最终的得分为8分，所以甲可能是答对8道题，还有2题不答；或答对9道题，对错1道题；（1）若甲答对8道题，还有2题不答；因为甲乙只有一道题的填法不同，所以乙至少有一题不答；若乙只有一题不答，即乙比甲多答一题，
7、则乙的得分可能是9分或7分；若乙有两题不答，则乙比甲少答对一题，因此乙的得分是6分；若乙有三题不答，则乙的得分为7分；（2）若甲答对9道题，对错1道题；因为甲乙只有一道题的填法不同，所以乙最多有一题不答；若乙有一题不答，则乙的得分可能是9分或7分；若乙全答，则乙的得分可能是10分或6分，综上，乙的所有可能的得分为6，7，9，10.故选：B.二、填空题11. 函数的定义域为_【答案】【解析】【分析】根据解析式，列出不等式，求出使解析式有意义的自变量的范围即可.【详解】因为，所以，则，即函数的定义域为.故答案为：.12. 已知函数，则_【答案】4【解析】【分析】利用，即可求解.【详解】，故答案为：
8、413. 请写出一个使“函数的最小值为2”为假命题的的值_【答案】（答案不唯一）【解析】分析】先由题中条件，得到的最小值为2时，的范围，取其补集，即可得出结果.【详解】因为，当且仅当，即时，等号成立，因此只需，都能使函数的最小值为2，为使“函数的最小值为2”为假命题，只需满足即可，不妨取.故答案为：（答案不唯一）14. 已知的定义域为，其图像关于点对称当时，则，的大小关系为_（按从小到大的顺序书写）【答案】【解析】【分析】先由函数图像关于点对称，得到，再由给定区间的解析式，求出，即可得出结果.【详解】因为的图像关于点对称，所以，则，所以，又当时，所以，即.故答案为：15. 农业技术员进行某种作
9、物的种植密度试验，把一块试验田划分为8块面积相等的区域（除了种植密度，其它影响作物生长的因素都保持一致），种植密度和单株产量统计如下：根据上表所提供信息，第_号区域的总产量最大，该区域种植密度为_株/ .【答案】 【解析】【详解】种植密度函数对应的直线经过点,则对应直线的斜率，则直线方程为，即，单株产量函数对应的直线经过点，则对应斜线的斜率，则直线方程为，即，即总产量当时，函数有最大值，即号区域总产量最大，此时当代入得，故答案为5，.三、解答题16. 已知全集，集合，（1）当时，求；（2）若，求实数的取值范围【答案】（1）或；（2）.【解析】【分析】（1）由得，进而可求出其补集；（2）先由得，
10、再分别解不等式化简两集合，根据集合间的包含关系列出不等式求解，即可得出结果.【详解】（1）当时，又全集，所以或；（2）由得，又，所以，解得.即实数的取值范围为.17. 如图所示，是偶函数在第一象限及坐标轴上图像，请将图像补充完整，并回答下列问题.（1）请写出和的值（2）请写出函数的定义域和值域；（3）若，求实数取值范围.【答案】函数图像见详解；（1），；（2）定义域为，值域为；（3）或.【解析】【分析】根据函数奇偶性，直接补全函数图像；由图像直接得出（1）（2）的结果；（3）由图像将不等式化为，求解即可得出结果.【详解】补全函数的图像如下：（1）由图像可得，；（2）由图像可得函数的定义域为，值
11、域为；（3）由图像可得，不等式可化为，则，解得或，即实数的取值范围为或.18. 已知函数满足：，以及下列3个条件中的2个.（1）任意，；（2）函数在上只有一个零点；（3）函数在上是减函数.（）求实数的值，并写出成立条件的序号_；（）当时，判定函数的单调性，并用定义证明你的结论.【答案】（），成立条件的序号为（1）（2）；（）单调递减，证明见详解.【解析】【分析】（）先由，求出，进而可判断成立的条件为（1）（2）；（）根据函数单调性的定义，即可判断出结果.【详解】（）因为，由得，解得，则，定义域为，所以，即（1）正确；由得，即（2）正确；任取，则，所以显然恒成立，即，所以函数在上是增函数；（）当
12、时，单调递减；证明过程如下：任取，则，所以显然恒成立，即，所以函数在上单调递减.19. 已知二次函数，且满足，.（1）求函数的解析式；（2）若关于的方程在上有解，求实数的取值范围；（3）当时，求函数的最小值（用表示）.【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【分析】（1）根据题中条件，列出方程组求解，求出系数，即可得出结果；（2）根据二次函数的性质，求出在区间的值域，进而可得出结果；（3）分别讨论，三种情况，结合二次函数的性质，即可得出结果.【详解】（1）因为二次函数满足，所以，即，所以，解得，因此；（2）由（1）知，是对称轴为开口向上的二次函数，所以在上单调递减，在上单调递增，因此，又，所以，
13、即当时，为使关于的方程在上有解，只需；（3）因为是对称轴为开口向上的二次函数，当时，在上单调递增，则；当，即时，在上单调递减，则；当，即时，；综上.【点睛】方法点睛：求二次函数在区间上的最值时，一般用分类讨论的方法求解；分别讨论对称轴位于区间的左右两侧，以及位于给定区间内，结合二次函数的性质求解即可.20. 已知集合，若，记，定义.（1）若且，写出中所有满足条件的元素（2）令，若，求证：为偶数；（表示集合中元素的个数）.（3）若集合，且中的每一个元素均含有4个0和4个1，对任意，都有，求中最多有多少个元素？并说明理由.【答案】（1）或或或或；（2）证明见解析；（3）证明见解析；【解析】【分析】（1）构造（不考虑顺序），进而可求解；（2）只可能为0或1或2，的结果只能为0，1，2，进而可求解；（3）根据题意进行逻辑推理即可【详解】由（不考虑顺序），而只可能为0或1或2，则只可能为2个为0，2个为1，或或或或（2）由（1）得，只可能为0或1或2，的结果只能为0，1，2，为偶数；（3），也就是取时，与中为1的位置恰好只有2个重合也为1，中0的位置中为1，则此时中的1的元素为个，与4个0和4个1不符，无法找出这样的元素【点睛】关键点睛：解题关键在于根据题目中的新定义，进行构造，主要考查学生的逻辑推理能力，难度属于中档题- 14 -