1、北京市八一学校2019-2020学年度高一数学12月月考一、选择题（本大题共10小题，共40分）1. 函数的定义域是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】函数的定义域即让原函数有意义即可；原式中有对数，则 故得到定义域为 .故选C.2. 下列式子正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析】根据指数运算的性质，逐一分析选项，即可得答案.【详解】对于A：，故A错误；对于B：，故B错误；对于C：，故C错误；对于D：，故D正确，故选：D3. 下列函数中,在区间上为增函数的是A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析：对A，函数在上为增函数，符合要求；对B，在上为减函
2、数，不符合题意；对C，为上的减函数，不符合题意；对D，在上为减函数，不符合题意.故选A.考点：函数的单调性，容易题.4. 若，则下列结论正确是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据指数函数、对数函数的单调性，逐一分析选项，即可得答案.【详解】对于A：因为在上为增函数，且，所以，故A错误；对于B：因为在上为减函数，且，所以，故B正确；对于C：因为在R上为减函数，且，所以，故C错误；对于D：因为在R上为增函数，且，所以，故D错误，故选：B5. 函数，的值域为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用二次函数的基本性质可求得函数的值域.【详解】，所以，函数在区
3、间上单调递减，在区间上单调递增，又，因此，函数的值域为.故选：A.6. 某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况加油时间加油量（升）加油时的累计里程（千米）年月日年月日 注：“累计里程“指汽车从出厂开始累计行驶的路程在这段时间内，该车每千米平均耗油量为（ ）A. 升B. 升C. 升D. 升【答案】B【解析】因为第一次邮箱加满，所以第二次的加油量即为该段时间内的耗油量，故耗油量升. 而这段时间内行驶的里程数千米. 所以这段时间内，该车每100千米平均耗油量为升，故选B.考点：平均变化率.7. 要得到函数的图象，可以将（）A. 函数的图象向左平移1个单位长度B. 函数的图象
4、向右平移1个单位长度C. 函数的图象向左平移1个单位长度D. 函数的图象向右平移1个单位长度【答案】D【解析】【分析】根据函数图象平移的法则“左加右减” 进行判断即可.【详解】将函数的图象向右平移个单位后可得的图象.故选：D.8. 设且，则“函数在上是增函数”是“函数在上是增函数”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不要条件【答案】D【解析】【分析】先分别求解出当所给两个命题都为真时，参数的取值范围，然后判断充分性与必要性.【详解】若函数在上为增函数，则，若函数在上是增函数，则，又且，所以且，所以“函数在上是增函数”是“函数在上是增函数”的既不
5、充分也不必要条件.故选：D.【点睛】判断和之间的充分性、必要性时，可先计算得出，都为真时所满足的条件或取值集合，然后通过集合之间的包含关系判断，之间的关系.9. 已知是函数的一个零点，若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由已知得出，分析出函数的单调性，进而可判断出、的符号.【详解】由于函数、在上均为增函数，所以，函数在上为增函数，因为，.故选：B.10. 已知是函数的图像上的相异两点，若点到直线的距离相等，则点的横坐标之和的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】设点，由题意可知，然后将点，代入函数中，利用纵坐标的关系得到并分析其最值【详解】
6、如图所示，设点，则由点和点到直线的距离相等可得，点的纵坐标，则，两式相乘得，故，又，所以.故选：B【点睛】解答本题的关键在于利用点和点纵坐标之间的关系，得出横坐标之和的关系，然后利用对数函数的性质求解其取值范围二、填空题（本大题共6小题，共30分）11. 若，则 【答案】10【解析】试题分析：若，则考点：对数与对数函数12. 已知函数，则_；若，则_【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】利用函数的解析式由内到外可计算出的值；分和两种情况解方程，即可得解.【详解】，所以，.当时，由可得；当时，由，可得（舍去）.综上所述，若，则.故答案为：；.13. 已知函数为偶函数，且定义域为，则_【答
7、案】【解析】【分析】由函数的定义域关于原点对称可求得的值，再由函数为偶函数可求得的值，由此可求得的值.【详解】由于函数为偶函数，且定义域为，则，解得，由，可得，对任意的恒成立，可得，即，因此，.故答案为：.14. 如图，函数f(x)的图象为折线ACB，则不等式f(x)log2(x1)的解集是_【答案】x|1x1【解析】【分析】先作函数图象，再求交点，最后根据图象确定解集【详解】令g(x)ylog2(x1)，作出函数g(x)的图象如图由得结合图象知不等式f(x)log2(x1)的解集为x|1x1【点睛】本题考查函数图象应用，考查基本分析求解能力.15. 已知函数的图象与函数的图象恰有两个交点，则
8、实数的取值范围是_【答案】【解析】【分析】令，可得出，令，化简函数的解析式，作出函数的图象，由题意可知函数与的图象有两个交点，数形结合可得出实数的取值范围.【详解】令，可得出，令，则函数的定义域为，且，作出函数与的图象如下图所示：由图象可知，当时，直线与函数的图象有两个交点，因此，实数的取值范围是.故答案为：.【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画
9、出函数的图象，利用数形结合的方法求解.16. 已知函数.（1）若函数没有零点，则实数的取值范围是_（2）如果函数满足对任意，都存在，使得，则称实数为函数的包容数，在；中，函数的包容数是_（填出所有正确答案的序号）【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】（1）考虑指数函数的值域和二次函数的单调性，对实数分和两种情况讨论，结合函数无零点，可得出关于实数的不等式，进而可解得实数的取值范围；（2）求得函数在区间上的值域为，设函数在区间上的值域为，由题意可得，对实数分和两种情况讨论，求出，结合可得出关于实数的不等式组，解出实数的取值范围，进而可得出结论.【详解】（1）.当时，此时函数无零点；当时，
10、.（i）若，此时函数无零点；（ii）若，由，可得，由于函数在区间上为减函数，则，由于函数无零点，则，即，解得（舍去）或.综上所述，或；（2）当时，为增函数，则.设函数在区间上的值域为，由题意可得.分以下两种情况讨论：（i）当时，函数在区间上单调递增，在上单调递减，此时，此时，不合乎题意；（ii）当时，函数在区间上单调递减，此时，由，可得.所以，不合乎题意，、满足不等式，、不满足不等式.因此，函数的包容数的序号为.故答案为：；.【点睛】关键点点睛：解决本题的第（1）问的关键就是结合函数的基本性质得出关于实数的不等式进行求解；第（2）考查的是函数的新定义，要紧扣题意将问题转化为两个值域的包含关系来
11、求解，这里要注意对实数的取值进行分类讨论.三、解答题（本大题共4小题，共50分）17. 计算：（1）（2）【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】根据指数式、对数式的运算法则化简计算即可.【详解】解：（1）原式；（2）原式.【点睛】解答本题时注意：，.18. 已知函数是定义在上的偶函数，且时，.（）求的值；（）求函数的值域；（）设函数的定义域为集合，若，求实数的取值范围【答案】()；().()a|a1.【解析】【分析】()由偶函数的性质结合函数的解析式可得的值；()结合偶函数的性质求解x0时，f(x)的取值范围即可确定函数的值域；()首先求得集合B，然后结合集合的包含关系即可确定实数a的取值范
12、围.【详解】()函数f(x)是定义在R上偶函数f(1)=f(1)又x0时，即.()由函数f(x)是定义在R上的偶函数，可得函数f(x)的值域A即为x0时，f(x)的取值范围，当x0时，故函数f(x)的值域.()，定义域，由得(xa)(x+1)0ABB=1,a，且a1，实数a的取值范围是a|a1.【点睛】本题主要考查偶函数的性质及其应用，函数值域的求解，由集合的包含关系求解参数取值范围等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.19. 已知函数（1）若，求的值（2）判断函数的奇偶性（3）解不等式【答案】（1）;（2）为奇函数；（3）.【解析】【分析】（1）由，结合指对互化，可得解；（2）可先判
13、断定义域关于原点对称，然后求，便可得到，从而得出为奇函数；（3）根据对数函数的单调性，得到一个关于的不等式，解不等式即可得出的范围，即得出原不等式的解集【详解】解：（1），解得;（2）解，得或；函数的定义域为；函数的定义域关于原点对称；且；为奇函数；（3），即，解得，所以不等式的解集为20. 若函数的图象恒过(0,0)和(1,1)两点，则称函数为“0-1函数”.（1）判断下面两个函数是否是“0-1函数”，并简要说明理由：； .（2）若函数是“0-1函数”，求；（3）设，定义在R上的函数满足： 对,R，均有； 是“0-1函数”，求函数的解析式及实数a的值【答案】(1) 不是是，详见详解；（2） ；（3） ，【解析】【分析】（1）依据定义检验是否有可判断两个函数是否为“”函数（2）由可得值从而求得函数（3）分别令和从而得到，利用为“”可得，从而得到，由可得【详解】（1）不是，因为图象不过点；是，因为图象恒过和两点 （2）由得，故；由得，故所以，（3）令得，令得，所以，由知，故，从而，由又知，于是，故【点睛】本题为关于函数的新定义问题，此类问题一般是依据定义验证具体函数是否满足或给出新定义函数，求参数的值或范围对于给出运算规则的抽象函数，我们可以通过赋值法求出一些特殊点的函数值或者函数的解析式，赋何值需根据运算规则和我们求解的目标而定
