1、北京市人大附中2021届高三数学10月月考试题（含解析）一选择题1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】直接计算集合A，B的交集即可.【详解】解：因为合，故选：C.【点睛】本题考查集合交集的运算，是基础题.2. 已知命题，则为（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】【分析】根据特称命题的否定是全称命题，可得答案，注意“一改量词，二改结论”.【详解】因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“，”的否定是“，”.故选：C.【点睛】本题考查含有一个量词的命题的否定，属于基础题.3. 已知点是角终边上一点，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析
2、】【分析】求出点，进而由三角函数的定义，可求出.【详解】由，可得点，根据三角函数的定义，可得.故选：A.【点睛】本题考查三角函数定义的应用，考查学生的计算能力，属于基础题.4. 已知向量，若，则实数（ ）A. 8B. C. 2D. 【答案】D【解析】【分析】求出和，再结合，可建立等式关系，即可求出的值.【详解】由，可得，因为，所以，解得.故选：D.【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，考查向量平行的坐标表示，考查学生的计算能力，属于基础题.5. 以下选项中，满足的是（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】A【解析】【分析】将选项逐一代入计算即可.【详解】解：A. ，正确；B. ，错误；C.
3、 ，错误；D. ，错误.故选：A.【点睛】本题考查对数的运算，是基础题.6. 下列函数中，既是奇函数又在区间内是增函数的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用定义判断各选项中函数的奇偶性，结合导数可判断出各选项中函数的单调性，由此可得出合适的选项.【详解】对于A选项，函数的定义域为，则函数为奇函数，当时，函数在区间内是减函数，A选项不合乎题意；对于B选项，函数为奇函数，且当时，函数为增函数，B选项合乎题意；对于C选项，对于函数，即，解得，函数的定义域为，该函数为奇函数，则函数在区间内是减函数，不合乎题意；对于D选项，函数的定义域为，且，则函数为偶函数，不合乎题意.故选：
4、B.【点睛】本题考查函数奇偶性与单调性的判断，考查了导数的应用，属于中等题.7. 已知方程在区间上有解，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】化简方程，分离参数，利用数形结合即可求解【详解】方程在区间上有解，当时，方程无解；当时，则有，令，即在时为减函数，由于，所以，当时，所以，只要，方程在区间上有解故选：A【点睛】本题考查函数零点的问题，主要考查学生的数形结合的能力，属于基础题8. 已知是非零向量，为实数，则“”是的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】利用充分必要条件的定义，判断
5、各选项即可【详解】对于，满足充分条件；对于，不满足必要条件故“”是的必要不充分条件故选：B【点睛】本题考查充分必要条件的应用，属于基础题9. 已知，若函数有最小值，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】分、四种情况讨论，分析函数在区间和上的单调性，结合题可得出关于实数的不等式组，进而可求得实数的取值范围.【详解】当时，二次函数的对称轴为直线，此时函数在区间上单调递减，此时，函数在区间上单调递减，此时，若使得函数有最小值，则，解得，不合乎题意；当时，二次函数的对称轴为直线，此时函数在区间上的最小值为，函数在区间上单调递减，此时，若使得函数有最小值，则，解得，不
6、合乎题意；当时，函数，则函数在区间上的最小值为，当时，.此时，函数有最小值，合乎题意；当时，二次函数的对称轴为直线，此时函数在区间上的最小值为，函数在区间上单调递增，此时，若使得函数有最小值，则，解得，此时.综上所述，实数的取值范围是.故选：B.【点睛】本题考查利用分段函数存在最小值求参数的取值范围，分析每支函数的单调性是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.10. 定义在上的函数满足：当时，；当时，.若方程在区间上恰有3个不同的实根，则的所有可能取值集合是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据条件，可求出在上的解析式，由题意可知直线与的图象在上恰有3个交点，结合图象，可
7、求出答案.【详解】当时，当时，当时，当时，当时，.由方程在区间上恰有3个不同的实根，可知直线与的图象在上恰有3个交点.作出函数在上的图象，如下图所示，函数在的最高点为，过作斜率为1的直线，该直线与轴交于点，且，此时直线与只有1个交点；将直线向下平移，直至与第一次相切，此时直线记为，设切点为，易知，求导得，则，可得，即切点为，此时为，由，可知与在上有2个交点，在上无交点，即与在上有3个交点，符合题意；将直线向下平移，直至与第二次相切前，在此过程中，直线始终与在上有3个交点，当直线第二次与相切，记直线为，设切点为，易知，求导得，则，可得，由，则切点为，所以为，与在上有4个交点，从到的平移过程中，满
8、足题意的；将向下平移，直至过点，此时直线记为，方程为，在此过程中直线与的交点始终超过3个，都不符合题意；将向下平移，直至过点，此时直线记为，方程为，在此过程中直线与的交点都是3个（不包含和），满足题意的；将向下平移，都不符合题意.综上，的所有可能取值集合是.故选：D.【点睛】本题考查函数图象的应用，考查根据方程解的个数求参数，考查转化思想，考查学生的推理能力与计算求解能力，属于难题.二填空题11. 已知，则_.【答案】【解析】【分析】利用诱导公式计算即可.【详解】解：.故答案为：.【点睛】本题考查诱导公式的应用，是基础题.12. 在中，已知，则的面积为_.【答案】【解析】【分析】由已知得，再由
9、正弦定理可得，整理变形可得，进一步可说明是等边三角形，则面积可求.【详解】解：由已知，即，又由正弦定理，即，由于是在中，同理，所以是等边三角形，.故答案为：.【点睛】本题考查正弦定理，三角形面积公式的应用，考查学生计算能力，是中档题.13. 已知点，为坐标原点，点，分别在轴和轴，且满足，则_，的最小值为_.【答案】 (1). 2 (2). 【解析】【分析】设，则由可得，得出，则可求出，可得，即可求出最小值.【详解】设，则，则，当时，取得最小值为.故答案为：2；.【点睛】本题考查向量的坐标运算，考查模的最值的计算，属于基础题.14. 已知函数，若恒成立，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】【分
10、析】当时，恒成立；当时，由，可分离参数，构造函数，结合的取值范围，可求出的取值范围.【详解】当时，显然恒成立，此时；当时，等价于；当，等价于构造函数，求导得，当时，此时函数单调递减，且，只需，即可满足恒成立；当时，此时函数单调递减；当时，函数单调递增，所以在上的最小值为，只需，即可满足恒成立.综上，实数需满足，即.故答案为：.【点睛】本题考查不等式恒成立问题，考查分类讨论思想的运用，考查学生的推理能力与计算求解能力，属于中档题.15. 将函数图象上各点横坐标变为原来的倍，再向左平移个单位，得到函数的图象.已知在上有且只有5个零点.在下列命题中：的图象关于点对称；在内恰有5个极值点；在区间内单调
11、递减；的取值范围是.所有真命题的序号是_.【答案】【解析】【分析】根据正弦型函数的图象变换性质求出函数的解析式，结合正弦型函数零点的性质求出的取值范围，并根据正弦型函数的对称性、极值、单调性逐一判断即可.【详解】因为函数图象上各点横坐标变为原来的倍，再向左平移个单位，得到函数的图象，所以函数的解析式为：，当时，因为函数在上有且只有5个零点，所以，因为，所以当时，此时解不等式组，得，当时，此时不等式组的解集为空集，故正确；：因为，所以的图象关于点对称，故本命题是真命题；：因为，所以，又因为，所以，而，即当时，此时函数有4个极值点，故本命题是假命题；：因为，所以，又因为，所以，而，故本命题是假命题
12、；故答案为：【点睛】本题考查了正弦型函数图象变换性质的应用，考查了正弦型函数的对称性、单调性、极值等性质，考查了数学运算能力.三解答题16. 在中，已知.（1）求；（2）若，求【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理得，再根据代入计算可得答案；（2）由余弦定理列方程求解.【详解】解：（1），由正弦定理得，又，整理得，又，则，即，；（2）由余弦定理知，即，解得或（舍）【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理的应用，考查学生计算能力，是基础题.17. 已知函数，若_，写出的最小正周期，并求函数在区间内的最小值.请从，这两个条件中选择一个，补充在上面的问题中并作答.若选择多个条件分别作答，
13、按第一个判分.【答案】见解析.【解析】【分析】若选,化简可得,根据复合函数的单调性计算可求得结果;若选，化简可得,根据正弦型函数的性质，计算即可.【详解】若选，则，最小正周期为，由可知，由复合函数单调性可知，当时，；若选，则，所以的最小正周期为，当时，所以当时，即当时，.【点睛】本题考查正弦型函数的化简及最值的求解问题，考查推理能力和计算能力，属于基础题.18. 已知函数，.求正实数的取值范围：（1）任意，存在，使得成立；（2）存在，使得成立.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用函数，的单调性，求出其在上的值域，再利用值域的包含关系列不等式求解；（2）利用函数，的单调性，求出其在上
14、的值域，再利用值域的包含关系列不等式求解；【详解】解：（1）因为函数在区间上单调递减，所以时，因为函数在区间上单调递增，所以时，依题意，又，解得，故正实数的取值范围为；（2）当时，依题意，又，解得，即正实数的取值范围为.【点睛】本题考查方程或不等式恒成立问题，有解问题，考查学生的转化能力和分析能力，是中档题.19. 研究表明，在一节40分钟的数学课中，学生的注意力指数与听课时间(单位：分钟)之间的变化曲线如图所示.当时，曲线是二次函数图象的一部分；当时，曲线是函数图象的一部分.（1）求函数的解析式；（2）如果学生的注意力指数低于75，称为“欠佳听课状态”，则在一节40分钟的数学课中，学生处于“
15、欠佳听课状态”所持续的时间有多长？(精确到1分钟，参考数据：，)【答案】（1）；（2）28分钟【解析】【分析】（1）当时，设，由，可求出；当时，由，可求出，从而可得到的解析式；（2）当时，令，可求出范围；当时，令，可求出范围，根据所表示的时间长度，可求出学生处于“欠佳听课状态”所持续的时间.【详解】（1）当时，设，因为，所以，所以；当时，由，解得，所以.综上，.（2）当时，令，解得或，所以；当时，令，可得，即，解得，所以.所以在一节40分钟的数学课中，学生处于“欠佳听课状态”所持续的时间为分钟.【点睛】本题考查函数模型的应用，考查二次函数、对数函数的性质，考查学生的计算求解能力，属于中档题.2
16、0. 已知函数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）是否存在实数，使得在具有单调性？若存在，求所有取值构成的集合；若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）存在实数，使得在单调递增，理由见解析.【解析】【分析】（1）由题得，求导得，进而得切线方程为；（2）令，结合，研究在上的单调性即可得答案.【详解】解：（1）求导得，所以，又，所以曲线在点处的切线方程为：.（2）存在实数，使得在单调递增，理由如下：由（1）得，令，则，故当时，在上恒成立，故在上单调递增，由于，故时，单调递减，时，单调递增.当时，令得，所以当时，单调递减，当时，单调递增，由于，所以当时，所以不可能使得在恒成立，所以当时，均不能
17、使得在具有单调性.当时，此时时，单调递减，时，单调递增，所以，所以在在恒成立，此时函数在单调递增.故存在实数，使得在具有单调性.【点睛】本题考查切线方程的求解，利用导数研究函数的单调性，考查综合分析能力，运算能力，分类讨论思想，是中档题.21. 对非空数集，定义，记有限集的元素个数为.（1）若，求，；（2）若，当最大时，求中最大元素的最小值；（3）若，求的最小值.【答案】（1）；（2）13；（3）15【解析】【分析】（1）根据新定义求出，进而可得答案；（2）设，当A中元素与B中元素的差均不相同时，可取到最大值，进而可求出最大值，再通过得到，可得中最大元素的最小值；（3）对非空数集T，定义运算，
18、首先确定A中不同的元素的差均不相同，B中不同的元素的差均不相同，由可得的最小值，然后验证最小值可以取到即可.【详解】解：（1），;（2）设，当A中元素与B中元素的差均不相同时等号成立，所以最大值为16；当时，A中元素与B中元素的差均不相同，又因为，则，综上，最大值为16，A中最大元素的最小值为13；（3）对非空数集T，定义运算，,，当且仅当时取等号，又因为，所以A中不同的元素的差均不相同，同理，B中不同的元素的差均不相同，若因为，令，所以，A中不同元素的差均不相同，B中不同元素的差均不相同，所以，经检验，符合题意，综上的最小值为15.【点睛】本题考查集合的新定义问题，正确理解题意是解题的关键，考查学生分析问题解决问题的能力，是一道难度较大的题目.