1、2006年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（全国卷）本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。第卷1至2页。第卷3到10页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第卷注意事项：1答第卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。2每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。不能答在试题卷上。3本卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。参考公式：如果事件A、B互斥，那么 球是表面积公式 如果事件A、B相互独立，那么 其中R表示球的半径 球的体积公式如果事件A在一次
2、试验中发生的概率是P，那么 n次独立重复试验中恰好发生k次的概率 其中R表示球的半径一选择题（1）已知向量a、b满足|a|=1，|b|=4，且ab=2，则a与b的夹角为（A）（B） （C）（D）（2）设集合M=x|x2-x0,N=x|x|0（C）f(2x)=2e2x(x（D）f(2x)= lnx+ln2(x0（4）双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍,则m=（A）-（B）-4 (C)4（D）（5）设Sn是等差数列an的前n项和,若S7=35,则a4=（A）8（B）7（C）6（D）5（6）函数f(x)=tan(x+)的单调递增区间为（A）(k-, k+),k（B）(k, (k+1),k(
3、C) (k-, k+),k（D）(k-, k+),k（7）从圆x2-2x+y2-2y+1=0外一点P(3,2)向这个圆作两条切线,则两切线夹角的余弦值为（A）（B）（C）（D）0（8）ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c，且c=2a，则cosB=（A）（B）（C）（D）（9）已知各顶点都在一个球面上的正四棱锥高为4，体积为16，则这个球的表面积是（A）16（B）20（C）24（D）32（10）在（x-）10的展开式中，x4的系数为（A）-120（B）120（C）-15（D）15（11）抛物线y=-x2上的点到4x+3y-8=0直线的距离的最小值是（A）（B） （C）（D）
4、3（12）用长度分别为2、3、4、5、6(单位:cm)的细木棒围成一个三角形(允许连接,但不允许折断),能够得到期的三角形面积的最大值为（A）8cm2（B）6cm2（C）3cm2（D）20cm2第卷注意事项：1用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷上。2答卷前将密封线内的项目填写清楚。3本卷共10小题，共90分。题号二总分171819202122分数得分评卷人 二本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上。 （13）已知函数f(x)=a-,若f(x)为奇函数，则a = 。（14）已知正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为2,则侧面与底面所成的二面角等于 。（15）设z=2y-x,式中x、
5、y满足下列条件则z的最大值为_(16)安排7位工作人员在5月1日至5月7日值班,每人值班一天,其中甲乙二人都不安排5月1日和5月2日.不同的安排方法共有_种(用数字作答)三解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 得分评卷人 （17）（本大题满分12分）已知an为等差数列,a3=2,a2+a4=,求an的通项公式.得分评卷人 （18）（本大题满分12分）ABC的三个内角为A、B、C,求当A为何值时,cosA+cos取得最大值,并求出这个最大值得分评卷人 （19）（本大题满分12分）A、B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验，每个试验组由4只小白鼠
6、组成，其中2只服用A，另2只服用B，然后观察疗效.若在一组试验中，服用A有郊的小白鼠只数比服用B有郊的多，就称该组试验为甲类组.设每只小白鼠服用A有郊的概率为，服用B有郊的概率为.（）求一个试验组为甲类组的概率;（）观察3个试验组,求这3个试验组中至少有一个甲类组的概率.得分评卷人 （20）（本大题满分12分）如图,l1、l2是互相垂直的两条异面直线，MN是它们的公垂线段，点A、B在l1上，C在l2上，AM=MB=MNABCMNl1l2（I）证明ACNB（II）若，求NB与平面ABC所成角的余弦值得分评卷人 （21）（本大题满分12分）设P为椭圆(a1)短轴上的一个端点,Q为椭圆上的一个动点,
7、求|PQ|的最大值得分评卷人 （22）（本大题满分14分）设a为实数,函数f(x)=x3-ax2+(a2-1)x在(-,0)和(1, )都是增函数,求a的最值范围2005全国卷I（河北、河南、安徽、山西）文科数学参考答案一选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分60分。1.C 2.C 3.B 4.D 5.A 6.D7.C 8.B 9.C 10.B 11.B 12.D二填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分。13155 14. 70 15.100 16. 三解答题（17）本小题主要考查三角函数性质及图像的基本知识，考查推理和运算能力。满分12分。解：（I）x=是函
8、数y=f(x)的图像的对称轴，sin(2+)=1，+=k+，kZ.-0,=-.（II）由（I）知=-，因此y=sin(2x-).由题意得2k-2x-2k+, kZ.所以函数y=sin(2x-)的单调增区间为k+,k+, kZ.(III)由y=sin(2x- )知x0y-1010-故函数y=f(x)在区间0，上的图像是（18）本小题主要考查直线与平面垂直、直线与平面所成角的有关知识及思维能力和空间想象能力.考查应用向量知识解决数学问题的能力，满分12分。方法一：（I）证明：PA面ABCD，CDAD，由三垂线定理得：CDPD.因而，CD与面PAD内两条相交直线AD，PD都垂直，CD面PAD.又CD
9、面PCD，面PADPCD.（II）解：过点B作BECA，且BE=CA，则PBE是AC与PB所成的角.连结AE，可知AC=CB=BE=AE=，又AB=2，所以四边形ACBE为正方形.由PA面ABCD得PEB=90，在RtPEB中BE=，PB=，cosPBE=AC与PB所成的角为arccos.(III)解：作ANCM，垂足为N，连结BN.在RtPAB中，AM=MB，又AC=CB，AMCBMC，BNCM，故ANB为所求二面角的平面角。CBAC，由三垂线定理，得CBPC，在RtPCB中，CM=MB，所以CM=AM.在等腰三角形AMC中，ANMC=.AN=.AB=2，cosANB=故所求的二面角为arc
10、cos(-).方法二：因为PAAD，PAAB，ADAB，以A为坐标原点，AD长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为A(0,0,0),B(0,2,0),C(1,1,0),D(1,0,0),P(0,0,1),M(0,1,).(I)证明：因=(0,0,1),=(0,1,0),故=0,所以APDC.又由题设知ADDC，且AP与AD是平面PAD内的两条相交直线，由此得DC面PAD。又DC在面PCD上，故面PAD面PCD.（II）解：因=(1,1,0),=(0,2,-1),故|=，|=，=2，所以cos=由此得AC与PB所成的角为arccos（III）解：在MC上取一点N(x,y,z),则存在
11、R，使=，=(1-x,1-y,-z), =(1,0,-),x=1-,y=1,z=.要使ANMC只需=0,即x-z=0,解得=.可知当=时,N点坐标为(,1,),能使=0.此时, =(,1,),=(,-1,),有=0.由=0, =0得ANMC,BNMC.所以ANB为所求二面角的平面角.|=,|=,=-.cos=故所求的二面角为arccos(-).(19)本小题主要考查二次函数、方程的根与系数关系，考查运用数学知识解决问题的能力.满分12分。解：（I）f(x)+2x0的解集为（1，3），f(x)+2x=a(x-1)(x-3),且a0.因而f(x)=a(x-1)(x-3)-2x=ax2-(2+4a)
12、x+3a. 由方程f(x)+6a=0得ax2-(2+4a)x+9a=0. 因为方程有两个相等的根，所以=-(2+4a)2-4a9a=0,即 5a2-4a-1=0.解得 a=1或a=-.由于a0，舍去a=1.将a=-代入得f(x)的解析式f(x)=- x2-x-.(II)由f(x)=ax2-2(1+2a)x+3a=a(x-)2-及a0，可得f(x)的最大值为-.由解得 a-2-或-2+a0，所以 210q10=1,解得q=,因而 an=a1qn-1=,n=1,2,.(II)因为an是首项a1=、公比q=的等比数列，故 Sn=1-，nSn=n-.则数列nSn的前n项和 Tn=(1+2+n)-(+)
13、， (1+2+n)-(+).前两式相减，得 (1+2+n)-(+)+ =-+,即 Tn=（22）本小题主要考查直线方程、平面向量及椭圆的几何性等性质等基本知识，考查综合运用数学知识解决问题及推理的能力.满分14分.（I）解：设椭圆方程为=1(ab0),F(c,0).则直线AB的方程为y=x-c,代入=1，化简得 (a2+b2)x2-2a2cx+a2c2-a2b2=0.令A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2=,x1x2=.由=(x1+x2,y1+y2),a=(3,-1), 与a共线，得 3(y1+y2)+(x1+x2)=0.又 y1=x1-c,y2=x2-c, 3(x1+x2-2c
14、)+(x1+x2)=0, x1+x2=即 ,所以a2=3b2. c=,故离心率e=.（II）证明：由（I）知a2=3b2,所以椭圆=1可化为x2+3y2=3b2.设=(x,y),由已知得(x,y)=(x1,y1)+(x2,y2), x=x1+x2, y=y1+y2.M(x,y)在椭圆上，(x1+x2)2+3(y1+y2)2=3b2.即2(+3)+2(+3)+2(x1x2+3y1y2)=3b2, 由（I）知x1+x2=c,a2=c2,b2=c2.x1x2=c2.x1x2+3y1y2=x1x2+3(x1-c)(x2-c)=4x1x2-3(x1+x2)c+3c2=c2-c2+3c2=0.又=3b2,=3b2,代入得2+2=1.故2+2为定值，定值为1.