1、排列与组合分层训练A级基础达标演练(时间：30分钟满分：60分)一、填空题(每小题5分，共30分)1某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目如果将这两个节目插入原节目单，那么不同插法的种数为_解析可分为两类：两个节目相邻或两个节目不相邻，若两个节目相邻，则有AA12(种)排法；若两个节目不相邻，则有A30(种)排法由分类计数原理共有123042(种)排法(或A42)答案422(2010北京卷改编)8名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为_种解析不相邻问题用插空法，8名学生先排有A种排法，产生9个空，2位老师插空有A种排法，所以最终有AA种排法答案AA
2、32010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有_种解析若四人中包含小张和小赵两人，则不同的选派方案有AA12(种)；若四人中恰含有小张和小赵中一人，则不同的选派方案有：CAA24(种)，由分类计数原理知不同的选派方案共有36种答案364某外商计划在4个候选城市中投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该外商不同的投资方案有_种解析若3个不同的项目投资到4个城市中的3个，每个城市一项，共A种方法；若3个不同的项目投资到
3、4个城市中的2个，一个城市一项、一个城市两项共CA种方法，由分类计数原理共ACA60(种)方法答案605有5名男生和3名女生，从中选出5人分别担任语文、数学、英语、物理、化学学科的课代表，若某女生必须担任语文课代表，则不同的选法共有_种(用数字作答)解析由题意知，从剩余7人中选出4人担任4个学科课代表，共有A840(种)答案8406将4名新来的同学分配到A、B、C三个班级中，每个班级至少安排1名学生，其中甲同学不能分配到A班，那么不同的分配方案有_种解析将4名新来的同学分配到A、B、C三个班级中，每个班级至少安排一名学生有CA种分配方案，其中甲同学分配到A班共有CACA种方案因此满足条件的不同
4、方案共有CACACA24(种)答案24二、解答题(每小题15分，共30分)7在10名演员中5人能歌8人善舞，从中选出5人，使这5人能演出一个由1人独唱4人伴舞的节目，共有几种选法？解本题中的“双面手”有3个，仅能歌的2人，仅善舞的5人把问题分为：(1)独唱演员从双面手中选，剩下的2个双面手和只能善舞的5个演员一起参加伴舞人员的选拔；(2)独唱演员不从双面手中选拔，即从只能唱歌的2人中选拔，这样3个双面手就可以和只能善舞的5个演员一起参加伴舞人员的选拔故选法种数是CCCC245(种)8某医院有内科医生12名，外科医生8名，现选派5名参加赈灾医疗队，其中：(1)某内科医生甲与某外科医生乙必须参加，
5、共有多少种不同选法？(2)甲、乙均不能参加，有多少种选法？(3)甲、乙两人至少有一人参加，有多少种选法？(4)队中至少有一名内科医生和一名外科医生，有几种选法？解(1)只需从其他18人中选3人即可，共有C816(种)；(2)只需从其他18人中选5人即可，共有C8 568(种)；(3)分两类：甲、乙中有一人参加，甲、乙都参加，共有CCC6 936(种)；(4)方法一(直接法)：至少有一名内科医生和一名外科医生的选法可分四类：一内四外；二内三外；三内二外；四内一外，所以共有CCCCCCCC14 656(种)方法二(间接法)：由总数中减去五名都是内科医生和五名都是外科医生的选法种数，得C(CC)14
6、 656(种)分层训练B级创新能力提升1(2012苏锡常镇调研)甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是_(用数字作答)解析当每个台阶上各站1人时有CA种站法，当两个人站在同一个台阶上时有CCC种站法，因此不同的站法种数有ACCCC210126336(种)答案3362(2012无锡调研)某车队有7辆车，现要调出4辆按一定顺序出去执行任务要求甲、乙两车必须参加，且甲车要先于乙车开出有_种不同的调度方法(填数字)解析先从除甲、乙外的5辆车任选2辆有C种选法，连同甲、乙共4辆车，排列在一起，选从4个位置中选两个位置安排甲、乙，甲在乙
7、前共有C种，最后安排其他两辆车共有A种方法，不同的调度方法为CCA120(种)答案1203(2013盐城模拟)3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同的排法种数是_解析记三名男生为甲、乙、丙，三名女生为a、b、c，先排男生，若甲在男生两端有4种排法，然后3位女生去插空，排法如甲丙乙共有4AAA种，若男生甲排在中间，有两种排法，然后女生去插空，排法如乙甲丙共有2AA种排法根据分类计数原理共有4AAA2AA288(种)不同排法答案2884(2013苏州期末调研)以一个正五棱柱的顶点为顶点的四面体共有_个解析正五棱柱共有10个顶点，若每四个顶点构
8、成一个四面体，共可构成C210(个)四面体其中四点在同一平面内的有三类：(1)每一底面的五点中选四点的组合方法有2C个(2)五条侧棱中的任意两条棱上的四点有C个(3)一个底面的一边与另一个底面相应的一条对角线平行(例如ABE1C1)，这样共面的四点共有2C个所以C2CC2C180(个)答案1805在m(m2)个不同数的排列p1p2pm中，若1ijm时pipj(即前面某数大于后面某数)，则称pi与pj构成一个逆序，一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数记排列(n1)n(n1)321的逆序数为an.如排列21的逆序数a11，排列321的逆序数a23，排列4 321的逆序数a36.(1)求a4、
9、a5，并写出an的表达式；(2)令bn，证明2nb1b2bn2n3，n1,2，.解(1)由已知条件a4C10，a5C15，则anC.(2)证明bn22b1b2bn2n22n2，2nb1b2bn2n3.6(2012苏州市自主学习调查)设整数n4，在集合1,2，3，n中任取两个不同元素a，b(ab)，记An为满足ab能被2整除的取法种数(1)当n6时，求An；(2)求An.解(1)当n6时，集合中偶数为2,4,6；奇数为1,3,5.要使ab为偶数，则a，b同奇或同偶，共有CC6(种)取法，即A66.(2)当n2k(k2，kN*)即k时，集合为1,2,3，2k记A1,3,5，2k1，B2,4,6，2k，因为ab能被2整除，所以a，b应同是奇数或同是偶数，所以a，b应取自同一个集合A或B，故有CCk(k1)种取法即An；当n2k1(k2，kN*)时，即k，集合为1,2，3，2k1将其分为两个集合：奇数集A1,3，2k1，偶数集B2,4，2k因为ab能被2整除，所以a，b应同是奇数或同是偶数，所以a，b应该取自同一个集合A或B.故有CCk2种取法，即An2.所以An