1、2020-2021学年南京六校联合体暑假学情检测数学2020.9.1一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知集合，则( )ABCD2已知复数满足，则( )ABCD3若满足则( )ABCD4已知函数的图像如图所示，则( )ABC D5函数的部分图像大致为( )ABCD6某校有1000人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似付出正态分布，试卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀（高于120分）的人数占总人数的，则此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为( )A150B200C300D4007张丘建算经是我国古代数学名著
2、，书中有如下问题今有懒女不善织，日减功迟，初日织七尺，末日织一尺，今三十织迄，问织几何?其意思为有个懒惰的女子不善于织布，每天比前一天少织同样多的布，第一天织七尺，最后一天织一尺，三十天织完，问三十天共织布多少尺?( )A90B120C140D1508在三棱锥中，平面，是边上的一动点，且直线与平面所成角的最大值为则三校锥的外接球的表面积为( )ABCD二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9已知是定义域为的函数，满足，当时，则下列说法正确的是( )A的最小正周期为4B的图像关于直线对称C当
3、时，函数的最大值为2D当时，函数的最小值为10如图，正方体的棱长为1，分别为，的中点，则( )A直线与直线垂直B直线与平面平行C点与点到平面的距离相等D平面截正方体所得的截面面积为11在平面直角坐标系中，已知双曲线，则( )A实轴为2 B渐近线为C离心率为2 D一条渐近线与准线的交点到另一条渐近线的距离为312已知，记，则( )A的最小值为 B当最小时，C的最小值为 D当最小时三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13已知向量，若，则_.14的展开式中的系数为_.15某系列智能手机玻璃版有星河银、罗兰紫、翡冷翠、亮黑色四种颜色.若甲、乙等四位市民准备分别购买一部颜色互不相同的同一型号
4、玻璃版的该系列手机.若甲购买亮黑色或星河银，则乙不购买罗兰紫，则这四位市民不同的购买方案有_种.16已知函数若，则不等式的解集为_；若存在实数，使函数有两个零点，则实数的取值范围是_.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17(10分)在中，分别为内角，的对边，且满足.(1)求的大小；(2)若，求的面积.18(12分)给出下列三个条件：，成等差数列；对于，点均在函数的图像上，其中为常数；.请从这三个条件中任选一个将下面的题目补充完整，并求解.设是一个公比为的等比数列，且它的首项，.(1)求数列的通项公式；(2)令，证明的前项和.19(12分)如图1，在边长
5、为4的菱形中，于点，将沿折起到的位置，使，如图2.(1)求证：平面；(2)求二面角的余弦值.20(12分)已知椭圆的右准线方程为，右顶点为，上顶点为，右焦点为，斜率为2的直线经过点，且点到直线的距离为.(1)求椭圆的标准方程；(2)将直线绕点旋转，它与椭圆C相交于另一点，当，三点共线时，试确定直线的斜率.21(12分)南京市从2020年6月1日起推进垃圾分类处理，是落实绿色发展理念的必然选择，也是打赢污染防治攻坚战的重要环节，为了解居民对垃圾分类的了解程度，某社区居委会随机抽取1000名社区居民参与问卷测试，并将问卷得分绘制频率分布表如下得分30,40)40,50)50,60)60,70)70
6、,80)80,90)90,100)男性人数40901201301106030女性人数2050801101004020(1)从该社区随机抽取一名居民参与问卷测试，试估计其得分不低于60分的概率；(2)将居民对垃圾分类的了解程度分为比较了解（得分不低于60分）和不太了解（得分低于60分）两类，完成22列联表，并判断是否有95%的把握认为居民对垃圾分类的了解程度与性别有关?不太了解比较了解总计男性女性总计(3)从参与问卷测试且得分不低于80分的居民中，按照性别进行分层抽样，共抽取10人，连同名男性调查员一起组成3个环保宜传组，若从这人中随机抽取3人作为组长，且男性组长人数的期望不小于2，求的最小值.
7、附公式及表，其中.0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82822(12分)已知函数，其中，是的一个极值点，且.(1)讨论函数的单调性；(2)求实数和的值；(3)证明高三数学试题答案一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的18：C D A D C C B C二、 多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分9ABC 10BD 11BC 12A
8、B三、 填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分16题第一个空2分，第二个空3分.13；14280；1520； 16（，0 （，2）（4，）四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17解：（1）因为，由正弦定理，得，即， 2分所以， 4分因为，所以 5分（2） 由正弦定理，得 6分由余弦定理，得，解得 8分所以的面积 10分18 解：若选：因为成等差数列，所以.又因为数列是等比数列，即解得 或（舍去）3分又，所以数列是首项为1，公比为2的等比数列，所以数列的通项公式 6分若选：点均在函数的图像上，所以，又因为，所以，所以，所以，所以. 3分所以数列是首项
9、为1，公比为2的等比数列，所以数列的通项公式 6分若选：，因为是公比为的等比数列，所以，即解得或（舍去） 3分所以数列是首项为1，公比为2的等比数列，所以数列的通项公式 6分（2）证明：因为，所以 8分所以 10分所以 12分19解：（1）DEBE，BEDC，DEDC 1分又A1DDC，A1DDE=D，DC平面A1DE，DCA1E 3分又A1EDE，DCDE=D，A1E平面BCDE 5分（2）A1E平面BCDE，DEBE，以EB，ED，EA1所在直线分别为x轴，y轴和z轴，建立空间直角坐标系（如图） 易知DE=2，则A1(0，0，2)，B(2，0，0)，C(4，2，0)，D(0，2，0)，7分
10、=(2，0，2)，=(2，2，0)，易知平面A1BE的一个法向量为n=(0，1，0) 8分设平面A1BC的法向量为m=(x，y，z)，由m=0，m=0，得令y=1，得m=(，1，)， 10分cosm，n= 由图得二面角E A1B C为钝二面角，二面角E A1B C的余弦值为12分20.解：（1）由题意知，直线的方程为， 2分右焦点到直线的距离为， 4分又椭圆的右准线为，即，所以，将此代入上式解得，椭圆的方程为； 6分（2）由（1）知， 直线的方程，7分联立方程组，解得或（舍），即， 10分直线的斜. 12分其他方法：方法二: 由（1）知， 直线的方程为，由题，显然直线的斜率存在，设直线的方程为
11、，联立方程组，解得，代入椭圆解得：或，又由题意知，得或，所以.方法三：由题，显然直线的斜率存在，设直线的方程为，联立方程组，得，所以,，当三点共线时有，即，解得或，又由题意知，得或，所以.21.解：（1）由调查数据，问卷得分不低于60分的比率为0.6，故从该社区随机抽取一名居民得分不低于60分的概率为0.6； 2分（2）由题意得列联表如下：不太了解比较了解总计男性250330580女性150270420总计40060010003分K25.542 5分因为 5.5423.841，所以有95%的把握认为居民对垃圾分类的了解程度与性别有关 6分（3） 由题意知，分层抽样抽取的10人中，男性6人，女性
12、4人 7分随机变量的所以可能取值为0，1，2，3，其中P（0），P（1），P（2），P（3），9分所以随机变量的分布列为：0123PE（）01232 10分解得m2，所以m的最小值为2 12分法二：由题意知，随机变量服从超几何分布H（3，m6，m10）， 8分则E（）， 10分由E（）2 得m2，所以m的最小值为2 12分22 解：（1）函数f(x)的定义域为（0，），且f (x)2x2lnx2，令h(x)f (x)，则有h(x)，由h(x)0可得x1，如下表：x（0，1）1（1，）h(x)0h(x)极小值 所以h(x)h(1)0 ，即f (x)0，f(x)在（0，）上单调递增 3分（2） 函
13、数g(x)的定义域为（0，），且g (x)1 由已知，得g (x0)0，即 x022x0lnx0a0 由 g (x0)2可得x02x0（lnx0）22x0a0 联立消去a可得2x0（lnx0）2 2lnx020 令 t (x)2x（lnx）2 2lnx2，则t (x)2 由 知 xlnx10，故t (x)0，所以t (x)在（0，）上单调递增t (1)0，所以方程有唯一解x01，代入，可得a1. 7分（3） 由（1）知f (x)x22xlnx在（0，）上单调递增，故当x（1，），f (x)f (1)1，所以g (x)10，可得g(x)在（1，）上单调递增。当x1时， g(x)g(1)2，即x（lnx）2 2亦即（ ）2（lnx）2 ，这时0， lnx0，故得lnx取x，kN*。可得ln（2k1）ln（2k1）而 故ln（2k1）ln（2k1）ln（2n1）所以ln（2n1） 12分
