1、【高频考点解读】1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义2.会运用函数的图象理解和研究函数的性质3.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义4.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性【热点题型】题型一 函数单调性的判断例1、(1)下列函数f(x)中，满足“x1，x2(0，)且x1x2，(x1x2)f(x1)f(x2)0”的是()Af(x)2x Bf(x)|x1|Cf(x)x Df(x)ln(x1)(2)函数y在(1，)上是_(填“增函数”或“减函数”)解析(1)由(x1x2) f(x1)f(x2)0可知，f(x)在(0，)是减函数，f(x)x求导，f(x)10，f(x)x在(0，)是减函数(
2、2)任取x1，x2(1，)，且x11，x21，x110，x210，又x10，0，即y1y20.y1y2，所以函数y在(1，)上是减函数答案(1)C(2)减函数【提分秘籍】(1)图象法(2)转化法(3)导数法(4)定义法求函数的单调区间，一定要注意定义域优先原则【举一反三】 下列函数中，在区间(0，)上为增函数的是()AyBy(x1)2Cy2x Dylog0.5(x1)题型二 求函数的单调区间例2、求下列函数的单调区间：(1)yx22|x|1；(2)ylog(x23x2)解析(1)由于y即y画出函数图象如图所示，单调递增区间为(，1和0,1，单调递减区间为1,0和1，) (2)令ux23x2，则
3、原函数可以看作ylogu与ux23x2的复合函数令ux23x20，则x2.函数ylog(x23x2)的定义域为(，1)(2，)又ux23x2的对称轴x，且开口向上ux23x2在(，1)上是单调减函数，在(2，)上是单调增函数而ylogu在(0，)上是单调减函数，ylog(x23x2)的单调减区间为(2，)，单调增区间为(，1)【提分秘籍】 (1)求函数的单调区间与确定单调性的方法一致常用的方法有： 利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间 定义法：先求定义域，再利用单调性定义确定单调区间 图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，则可由图象的
4、直观性写出它的单调区间 导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调区间 (2)若函数f(x)的定义域上(或某一区间上)是增函数，则f(x1)f(x2)x10且a1)；(2)ylog(4xx2)题型三 函数单调性的应用 例3、已知函数f(x)满足f(x)f(x)，且当x时，f(x)exsin x，则()Af(1)f(2)f(3) Bf(2)f(3)f(1)Cf(3)f(2)f(1) Df(3)f(1)0恒成立，所以f(x)在上为增函数，f(2)f(2)，f(3)f(3)，且0312，所以f(3)f(1)f(2)，即f(3)f(1)f(h(x)的形式，然后根据函数的单调性去掉“f”号，转化为具体的不
5、等式(组)，此时要注意g(x)与h(x)的取值应在外层函数的定义域内(2)分段函数单调性解法为了保证函数在整个定义域内是单调的，除了要分别保证各段表达式在对应区间上的单调性一致外，还要注意两段连接点的衔接. 【举一反三】 已知函数f(x)的定义域是(0，)，且满足f(xy)f(x)f(y)，f1，如果对于0xf(y)(1)求f(1)的值；(2)解不等式f(x)f(3x)2.解析：(1)令xy1，则f(1)f(1)f(1)，f(1)0.(2)由题意知f(x)为(0，)上的减函数，且x0，f(xy)f(x)f(y)，x、y(0，)且f1.f(x)f(3x)2可化为f(x)f(3x)2f，即f(x)
6、ff(3x)f0f(1)fff(1)ff(1)，则解得1x0.不等式的解集为x|1x0时，x0，f(x)x2x， f(x)(x)2xx2x (x2x)f(x)；当x0，f(x)x2x， f(x)(x)2x x2x (x2x) f(x)所以对于x(，0)(0，)，均有f(x)f(x) 函数为奇函数(2)若f(x)是奇函数，则对任意的xR，均有f(x)f(x)，即|f(x)|f(x)|f(x)|，所以y|f(x)|是偶函数，即y|f(x)|的图象关于y轴对称反过来，若y|f(x)|的图象关于y轴对称，则不能得出yf(x)一定是奇函数，比如y|x2|，显然，其图象关于y轴对称，但是yx2是偶函数故“
7、y|f(x)|的图象关于y轴对称”是“yf(x)是奇函数”的必要而不充分条件 答案(1)(2)B【提分秘籍】(1)判定函数奇偶性的常用方法及思路： 定义法：图象法：性质法：a.“奇奇”是奇，“奇奇”是奇，“奇奇”是偶，“奇奇”是偶；b“偶偶”是偶，“偶偶”是偶，“偶偶”是偶，“偶偶”是偶；c“奇偶”是奇，“奇偶”是奇(2)判断函数奇偶性时应注意问题： 分段函数奇偶性的判断，要注意定义域内x取值的任意性，应分段讨论，讨论时可依据x的范围取相应的解析式，判断f(x)与f(x)的关系，得出结论，也可以利用图象作判断 “性质法”中的结论是在两个函数的公共定义域内才成立的 性质法在小题中可直接运用，但在
8、解答题中应给出性质推导的过程【举一反三】 设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是()Af(x)g(x)是偶函数B|f(x)|g(x)是奇函数Cf(x)|g(x)|是奇函数 D|f(x)g(x)|是奇函数 解析：由题意可知f(x)f(x)，g(x)g(x)，对于选项A，f(x)g(x)f(x)g(x)，所以f(x)g(x)是奇函数，故A项错误；对于选项B，|f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|f(x)|g(x)，所以|f(x)|g(x)是偶函数，故B项错误；对于选项C，f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|，所以f(x)|g(x)
9、|是奇函数，故C项正确；对于选项D，|f(x)g(x)|f(x)g(x)|f(x)g(x)|，所以|f(x)g(x)|是偶函数，故D项错误，选C. 答案：C题型五 函数的周期性 例5、已知函数f(x)是R上的偶函数，g(x)是R上的奇函数，且g(x)f(x1)，若f(2)2，则f(2 014)的值为()A2 B0C2 D2 解析g(x)f(x1)，g(x)f(x1)又g(x)f(x1)，f(x1)f(x1)， f(x2)f(x)，f(x4)f(x2)f(x)，则f(x)是以4为周期的周期函数，所以f(2 014)f(2)2. 答案A【提分秘籍】 函数周期性的判断要结合周期性的定义，还可以利用图
10、象法及总结的几个结论，如f(xa)f(x)T2a.【举一反三】 函数f(x)lg|sin x|是()A最小正周期为的奇函数B最小正周期为2的奇函数C最小正周期为的偶函数D最小正周期为2的偶函数 解析：易知函数的定义域为x|xk，kZ，关于原点对称，又f(x)lg|sin(x)|lg|sin x|lg|sin x|f(x)，所以f(x)是偶函数，又函数y|sin x|的最小正周期为，所以函数f(x)lg|sin x|是最小正周期为的偶函数 答案：C题型六 函数奇偶性、周期性等性质的综合应用 例6、设定义在R上的函数f(x)同时满足以下条件：f(x)f(x)0；f(x)f(x2)；当0x1时，f(
11、x)2x1，则ff(1)ff(2)f_.解析：依题意知：函数f(x)为奇函数且周期为2，ff(1)ff(2)fff(1)ff(0)fff(1)ff(0)fff(1)f(0)21211201.答案：【提分秘籍】1.函数的奇偶性、周期性以及单调性是函数的三大性质，在高考中常常将它们综合在一起命制试题，其中奇偶性多与单调性相结合，而周期性常与抽象函数相结合，并以结合奇偶性求函数值为主归纳起来常见的命题角度有： (1)求函数值 (2)与函数图象有关的问题 (3)奇偶性、周期性单调性的综合2.应用函数奇偶性可解决的问题及方法 (1)已知函数的奇偶性，求函数值将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解
12、 (2)已知函数的奇偶性求解析式将待求区间上的自变量，转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组)，从而得到f(x)的解析式 (3)已知函数的奇偶性，求函数解析式中参数的值常常利用待定系数法：利用f(x)f(x)0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程求解 (4)应用奇偶性画图象和判断单调性.【举一反三】 设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的xR恒有f(x1)f(x1)，已知当x0,1时，f(x)1x，则下列命题：2是函数f(x)的周期；函数f(x)在(1,2)上递减，在(2,3)上递增；函数f(x)的最大值是1，最小值是0；当x
13、(3,4)时，f(x)x3.其中正确命题的序号是_【高考风向标】1.【2015高考四川，文15】已知函数f(x)2x，g(x)x2ax(其中aR).对于不相等的实数x1，x2，设m，n，现有如下命题：对于任意不相等的实数x1，x2，都有m0； 对于任意的a及任意不相等的实数x1，x2，都有n0；对于任意的a，存在不相等的实数x1，x2，使得mn；对于任意的a，存在不相等的实数x1，x2，使得mn.其中真命题有_(写出所有真命题的序号).【答案】【解析】对于，因为f (x)2xln20恒成立，故正确对于，取a8，即g(x)2x8，当x1，x24时n0，错误对于，令f (x)g(x)，即2xln2
14、2xa记h(x)2xln22x，则h(x)2x(ln2)22存在x0(0，1)，使得h(x0)0，可知函数h(x)先减后增，有最小值.因此，对任意的a，mn不一定成立.错误对于，由f (x)g(x)，即2xln22xa令h(x)2xln22x，则h(x)2x(ln2)220恒成立，即h(x)是单调递增函数，当x时，h(x)当x时，h(x)因此对任意的a，存在ya与函数h(x)有交点.正确2.【2015高考陕西，文10】设，若，则下列关系式中正确的是（ ）A B C D【答案】【解析】；因为，由是个递增函数，所以，故答案选C3.【2015高考浙江，文12】已知函数，则 ，的最小值是 【答案】4.
15、【2015高考上海，文20】（本题满分14分）本题共2小题，第1小题6分，第2小题8分. 已知函数，其中为实数. （1）根据的不同取值，判断函数的奇偶性，并说明理由；（2）若，判断函数在上的单调性，并说明理由.【答案】（1）是非奇非偶函数；（2）函数在上单调递增.1（2014北京卷）下列函数中，定义域是R且为增函数的是()Ayex Byx3Cyln x Dy|x|【答案】B【解析】由定义域为R，排除选项C，由函数单调递增，排除选项A，D.2（2014湖南卷）下列函数中，既是偶函数又在区间(，0)上单调递增的是()Af(x) Bf(x)x21Cf(x)x3 Df(x)2x【答案】A【解析】由偶函
16、数的定义，可以排除C，D，又根据单调性，可得B不对3（2014江苏卷）已知函数f(x)exex，其中e是自然对数的底数(1)证明：f(x)是R上的偶函数(2)若关于x的不等式mf(x)ex m1在(0，)上恒成立，求实数m的取值范围(3)已知正数a满足：存在x01，)，使得f(x0)0)，则 t1，所以 m对任意 t1成立因为t1 12 13, 所以 ，当且仅当 t2, 即x ln 2时等号成立因此实数 m 的取值范围是.(3)令函数 g(x)ex a(x33x)，则g (x) ex3a(x21)当 x1时，ex0，x210.又a0，故 g(x)0，所以g(x)是1，)上的单调递增函数， 因此
17、g(x)在1，)上的最小值是 g(1) ee12a.由于存在x01，)，使ex0ex0a(x 3x0 )0 成立， 当且仅当最小值g(1)0，故 ee12a.令函数h(x) x (e1)ln x1，则 h(x)1. 令 h(x)0, 得xe1.当x(0，e1)时，h(x)0，故h(x)是(e1，)上的单调递增函数所以h(x)在(0，)上的最小值是h(e1)注意到h(1)h(e)0，所以当x(1，e1)(0，e1)时，h(e1)h(x)h(1)0；当x(e1，e)(e1，)时，h(x)h(e)0.所以h(x)0对任意的x(1，e)成立故当a(1，e)时， h(a)0，即a1(e1)ln a，从而
18、ea1h(e)0，即a1(e1)ln a，故ea1ae1.综上所述，当a时，ea1ae1.4（2014四川卷）以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数(x)组成的集合：对于函数(x)，存在一个正数M，使得函数(x)的值域包含于区间M，M例如，当1(x)x3，2(x)sin x时，1(x)A，2(x)B.现有如下命题：设函数f(x)的定义域为D，则“f(x)A”的充要条件是“bR，aD，f(a)b”；若函数f(x)B，则f(x)有最大值和最小值；若函数f(x)，g(x)的定义域相同，且f(x)A，g(x)B，则f(x)g(x)/B；若函数f(x)aln(x2)(x2，aR)有最
19、大值，则f(x)B.其中的真命题有_(写出所有真命题的序号)【答案】【解析】若f(x)A，则函数f(x)的值域为R，于是，对任意的bR，一定存在aD，使得f(a)b，故正确取函数f(x)x(1x1)，其值域为(1，1)，于是，存在M1，使得函数f(x)的值域包含于M，M1，1，但此时函数f(x)没有最大值和最小值，故错误当f(x)A时，由可知，对任意的bR，存在aD，使得f(a)b，所以，当g(x)B时，对于函数f(x)g(x)，如果存在一个正数M，使得f(x)g(x)的值域包含于M，M，那么对于该区间外的某一个b0R，一定存在一个a0D，使得f(x)f(a0)b0g(a0)，即f(a0)g(
20、a0)b0M，M，故正确对于f(x)aln(x2)(x2)，当a0或a0时，函数f(x)都没有最大值要使得函数f(x)有最大值，只有a0，此时f(x)(x2)易知f(x)，所以存在正数M，使得f(x)M，M，故正确5（2014四川卷）已知函数f(x)exax2bx1，其中a，bR，e2.718 28为自然对数的底数(1)设g(x)是函数f(x)的导函数，求函数g(x)在区间0，1上的最小值；(2)若f(1)0，函数f(x)在区间(0，1)内有零点，证明：e2a1.【解析】(1)由f(x)exax2bx1，得g(x)f(x)ex2axb，所以g(x)ex2a.当x0，1时，g(x)12a，e2a
21、当a时，g(x)0，所以g(x)在0，1上单调递增，因此g(x)在0，1上的最小值是g(0)1b；当a时，g(x)0，所以g(x)在0，1上单调递减，因此g(x)在0，1上的最小值是g(1)e2ab；当a时，令g(x)0，得xln(2a)(0，1)，所以函数g(x)在区间0，ln(2a)上单调递减，在区间(ln(2a)，1上单调递增，于是，g(x)在0，1上的最小值是g(ln(2a)2a2aln(2a)b.综上所述，当a时，g(x)在0，1上的最小值是g(0)1b；当a时，g(x)在0，1上的最小值是g(ln(2a)2a2aln(2a)b；当a时，g(x)在0，1上的最小值是g(1)e2ab.
22、(2)证明：设x0为f(x)在区间(0，1)内的一个零点，则由f(0)f(x0)0可知，f(x)在区间(0，x0)上不可能单调递增，也不可能单调递减则g(x)不可能恒为正，也不可能恒为负故g(x)在区间(0，x0)内存在零点x1.同理g(x)在区间(x0，1)内存在零点x2.故g(x)在区间(0，1)内至少有两个零点由(1)知，当a时，g(x)在0，1上单调递增，故g(x)在(0，1)内至多有一个零点；当a时，g(x)在0，1上单调递减，故g(x)在(0，1)内至多有一个零点，都不合题意所以a.此时g(x)在区间0，ln(2a)上单调递减，在区间(ln(2a)，1上单调递增因此x1(0，ln(
23、2a)，x2(ln(2a)，1)，必有g(0)1b0，g(1)e2ab0.由f(1)0有abe10，g(1)1a0.解得e2a1.所以，函数f(x)在区间(0，1)内有零点时，e2a1.6（2013北京卷）函数f(x)的值域为_【答案】(，2)【解析】函数ylogx在(0，)上为减函数，当x1时，函数ylogx的值域为(，0；函数y2x在R上是增函数，当x1时，函数y2x的值域为(0，2)，所以原函数的值域为(，2)7（2013北京卷）下列函数中，既是偶函数又在区间(0，)上单调递减的是()Ay ByexCyx21 Dylg |x|【答案】C【解析】对于A，y是奇函数，排除对于B，yex既不是
24、奇函数，也不是偶函数，排除对于D，ylg |x|是偶函数，但在(0，)上有ylgx，此时单调递增，排除只有C符合题意8（2013新课标全国卷 若存在正数x使2x(xa)x成立，即a.由于x是(0，)上的增函数，故x01，所以a1.答案为D.9（2013新课标全国卷 已知函数f(x)x3ax2bxc，下列结论中错误的是()Ax0R，f(x0)0B函数yf(x)的图像是中心对称图形C若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(，x0)单调递减D若x0是f(x)的极值点，则f(x0)0【答案】C【解析】x时，f(x)0，又f(x)连续，x0R，f(x0)0，A正确通过平移变换，函数可以化为f(x)
25、x3c，从而函数yf(x)的图像是中心对称图形，B正确若x0是f(x)的极小值点，可能还有极大值点x1，若x1x0，则f(x)在区间(x1，x0)单调递减，C错误D正确故答案为C.10（2013四川卷）已知函数f(x)其中a是实数设A(x1，f(x1)，B(x2，f(x2)为该函数图像上的两点，且x1x2.(1)指出函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)的图像在点A，B处的切线互相垂直，且x20，证明：x2x11；(3)若函数f(x)的图像在点A，B处的切线重合，求a的取值范围【解析】(1)函数f(x)的单调递减区间为(，1 )，单调递增区间为1，0)，(0，)(2)证明：由导数的几何意
26、义可知，点A处的切线斜率为f(x1)，点B处的切线斜率为f(x2)故当点A处的切线与点B处的切线垂直时，有f(x1)f(x2)1.当x0时，对函数f(x)求导，得f(x)2x2.因为x1x20，所以，(2x12)(2x22)1，所以2x120，因此x2x1(2x12)2x221.当且仅当(2x12)2x221，即x1且x2时等号成立所以，函数f(x)的图像在点A，B处的切线互相垂直时，有x2x11.(3)当x1x2x10时，f(x1)f(x2)，故x10x2.当x10时，函数f(x)的图像在点(x2，f(x2)处的切线方程为yln x2(xx2)，即yxln x21.两切线重合的充要条件是由及
27、x10x2知，02.由得，aln x21ln1.令t，则0t2，且at2tln t.设h(t)t2tln t(0t2)则h(t)t10.所以h(t)(0th(2)ln 21，所以aln21，而当t(0，2)且t趋近于0时，h(t)无限增大，所以a的取值范围是(ln 21，)故当函数f(x)的图像在点A，B处的切线重合时，a的取值范围是(ln 21，)11（2013四川卷）设函数f(x)(aR，e为自然对数的底数)若存在b0，1使f(f(b)b成立，则a的取值范围是()A1，e B1，1eCe，1e D0，1【答案】A【高考押题】 1下列函数中，既是偶函数又在(0，)内单调递减的函数是()Ayx
28、2 By|x|1Cylg|x| Dy2|x|解析对于C中函数，当x0时，ylgx，故为(0，)上的减函数，且ylg |x|为偶函数答案C2已知函数f(x)为R上的减函数，则满足f(|x|)f(1)的实数x的取值范围是()A(1,1) B(0,1)C(1,0)(0,1) D(，1)(1，)解析f(x)在R上为减函数且f(|x|)f(1)，|x|1，解得x1或x1.答案D3若函数yax与y在(0，)上都是减函数，则yax2bx在(0，)上是()A增函数 B减函数C先增后减 D先减后增解析 yax与y在(0，)上都是减函数，a0，b0，yax2bx的对称轴方程xfBf(sin 1)f(cos 1)C
29、ff(sin 2)9已知函数f(x)则该函数是()A偶函数，且单调递增B偶函数，且单调递减C奇函数，且单调递增D奇函数，且单调递减解析当x0时，f(x)2x1f(x)；当x0时，f(x)12(x)12xf(x)当x0时，f(0)0，故f(x)为奇函数，且f(x)12x在0，)上为增函数，f(x)2x1在(，0)上为增函数，又x0时12x0，x0时2x10，判断函数f(x)的单调性；(2)若abf(x)时的x的取值范围解(1)当a0，b0时，因为a2x，b3x都单调递增，所以函数f(x)单调递增；当a0，b0.(i)当a0时，x，解得xlog；(ii)当a0，b0时，x，解得x0时，f(x)1.
30、(1)求证：f(x)是R上的增函数；(2)若f(4)5，解不等式f(3m2m2)3.15.已知函数f(x)是(，)上的奇函数，且f(x)的图象关于x1对称，当x0,1时，f(x)2x1，(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x1,2时，求f(x)的解析式；(3)计算f(0)f(1)f(2)f(2013)的值解析 (1)证明函数f(x)为奇函数，则f(x)f(x)，函数f(x)的图象关于x1对称，则f(2x)f(x)f(x)，所以f(4x)f(2x)2f(2x)f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数(2)当x1,2时，2x0,1，又f(x)的图象关于x1对称，则f(x)f(2x)22x1
31、，x1,2(3) f(0)0，f(1)1，f(2)0，f(3)f(1)f(1)1又f(x)是以4为周期的周期函数f(0)f(1)f(2)f(2013)f(2 012)f(2 013)f(0)f(1)1.16已知函数f(x)的定义域为R，且满足f(x2)f(x)(1)求证：f(x)是周期函数；(2)若f(x)为奇函数，且当0x1时，f(x)x，求使f(x)在0,2 014上的所有x的个数(1)证明f(x2)f(x)，f(x4)f(x2)f(x)f(x)，f(x)是以4为周期的周期函数(2)解当0x1时，f(x)x，设1x0，则0x1，f(x)(x)x.f(x)是奇函数，f(x)f(x)，f(x)x，即f(x)x.故f(x)x(1x1)又设1x3，则1x21，f(x2)(x2)又f(x)是以4为周期的周期函数f(x2)f(x2)f(x)，f(x)(x2)，f(x)(x2)(1x3)f(x)由f(x)，解得x1.f(x)是以4为周期的周期函数，f(x)的所有x4n1(nZ)令04n12 014，则n.又nZ，1n503(nZ)，在0,2 014上共有503个x使f(x).
