1、第三节 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词 1命题p,q,pq,pq,p的真假关系 p q pq pq 真 真 _ _ _ 真 假 _ _ _ 假 真 _ _ _ 假 假 _ _ _ p真 真 假 假 真 假 假 真 真 假 假 真 2全称命题和特称命题(1)全称量词和存在量词：量词名称 常见量词 表示符号 全称量词 所有、一切、任意、全部、每一个等 _ 存在量词 存在一个、至少一个、有些、某些等 _ (2)全称命题和特称命题：命题名称 命题结构 命题简记 全称命题 对M中任意一个x，有p(x)成立 _ 特称命题 存在M中的一个x0，使p(x0)成立 _ xM,p(x)x0M,p(x0)(3
2、)全称命题和特称命题的否定：命题 命题的否定 xM,p(x)_ x0M,p(x0)_ 00 xM,p(x)xM,p(x)判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”).(1)命题pq为假命题的充要条件是命题p,q至少有一个假命题.()(2)命题pq为假命题的充要条件是命题p,q至少有一个假命题.()(3)命题 可能都是真命题.()(4)如果一个全称命题是真命题，则这个命题就是一个一般性结论.()(5)如果一个特称命题是真命题，则这个命题就是一个一般性结论.()p,p【解析】(1)正确命题pq，只有当p,q同时为真时才是真命题，故命题pq为假命题的充要条件是命题p,q至少有一个假命题(2)错误命
3、题pq，只有当p,q同时为假命题时才是假命题(3)错误一个命题与其否定一定是一个为真命题、一个为假命题(4)正确由于全称命题是对任意对象都成立的一个命题，当全称命题为真时就是一个一般性结论(5)错误特称命题是对个别对象成立的命题，这个命题为真只是对个别对象为真，故其不是一个一般性结论 答案:(1)(2)(3)(4)(5)1已知命题pq为假命题，下列结论正确的是()(A)pq为真命题(B)为真命题(C)p,q有且只有一个假命题(D)至少有一个真命题【解析】选Dpq为假命题时，p,q可能一个真命题一个假命题，也可能两个都是假命题.故选项A，B，C中的结论都不正确；选项D中结论等价于p,q至少有一个
4、假命题，故正确.pqp,q 2若命题“p且q”为假，且“”为假，则()(A)“p或q”为假 (B)q假(C)q真 (D)p假【解析】选B“”为假，则p为真，而pq为假，得 q为假 pp3如果命题“非p或非q”是假命题，给出下列四个结论：命题“p且q”是真命题；命题“p且q”是假命题；命题“p或q”是真命题；命题“p或q”是假命题 其中正确的结论是()(A)(B)(C)(D)【解析】选A“非p或非q”是假命题，可得“非p”与“非q”均为假命题，即p,q均为真命题，故结论正确 4已知命题p：xR,sin x1，则()(A)(B)(C)(D)【解析】选C 是对p的否定，故有 00p:xR,sin x
5、1p:xR,sin x1 00p:xR,sin x1p:xR,sin x1 p00p:xR,sin x1.5命题“对一切非零实数x，总有 ”的否定是_，它是_命题(填“真”或“假”)【解析】这个命题是真命题.例如，x=-2，则xR,x0,答案:真 1x2x00001xR,x0,x2x，1x2x 00001xR,x0,x2x考向 1 含有逻辑联结词的命题的真假问题【典例1】(1)命题p:函数f(x)=x3-3x在区间(-1,1)内单调递 减，命题q:函数f(x)=|sin 2x|的最小正周期为，则下列命 题为真命题的是()(A)pq (B)(C)pq (D)(2)已知命题p：方程x2-mx+1=
6、0有实数解，命题q：x2-2x+m0 对任意x恒成立若命题q(pq)真、真，则实数m的取值 范围是_ pqp(q)p【思路点拨】(1)首先判断命题p,q的真假，再根据含有逻辑联 结词的命题真假判断方法逐项进行判断(2)根据命题q(pq)真、真可得命题p,q的真假，然后根 据方程和不等式的知识得出m的取值范围 p【规范解答】(1)选C由f(x)=3x2-30，解得-1x1，故函 数f(x)=x3-3x在区间(-1,1)内单调递减，即命题p为真命题；函数y=sin 2x的最小正周期为，则函数f(x)=|sin 2x|的最 小正周期为 ，即命题q为假命题由于p真、q假，故pq为 假命题，pq为真命题
7、；由于 假、q假，故 为假命题；由于 假，真，故 为假命题 2ppqpq(p)(q)(2)由于 真，所以p假，则pq假，又q(pq)真，故q 真，即命题p假、q真当命题p假时，即方程x2-mx+1=0无实 数解，此时m2-40，解得-2m2；当命题q真时，4-4m1所以所求的m的取值范围是1m2 答案:(1，2)p【互动探究】本例题(2)中，命题p,q不变，若命题pq为真，则m的取值范围是_【解析】命题pq为真时，p,q至少有一个为真 若命题p真、q假，则m-2或m2，且m1，此时m-2；若命题p假、q真，则-2m1，此时1m1，此时m2 故命题pq为真时，m的取值范围是(-,-2(1,+)答
8、案:(-,-2(1，+)【拓展提升】含逻辑联结词命题真假的等价关系(1)pq真p,q至少一个真 假.(2)pq假p,q均假 真.(3)pq真p,q均真 假.(4)pq假p,q至少一个假 真.(5)真p假；假p真 p(q)p(q)p(q)(p)(q)pp【变式备选】已知命题p:x0R，使 命题q:x2-3x+20的解集是x|1x2，下列结论:命题“pq”是真命题;命题“”是假命题;命题“”是真命题;命题“”是假命题.其中正确的是()(A)(B)(C)(D)03tan x3，p(q)pq(p)(q)【解析】选D.命题p是真命题，命题q也是真命题.所以 是假命题，从而得都正确.pq，考向 2 全称命
9、题、特称命题的真假判断【典例2】(1)(2012福建高考)下列命题中，真命题是()(A)(B)xR,2xx2(C)a+b=0的充要条件是(D)a1,b1是ab1的充分条件 0 x0 xR,e0a1b (2)(2013广州模拟)命题“”的否定 为()(A)xR,x2-2x+40(B)(C)xR,x2-2x+40(D)2000 xR,x2x4 0 2000 xR,x2x402000 xR,x2x4 0【思路点拨】(1)根据函数、不等式等知识逐项分析即可(2)已知命题是一个特称命题，其否定是全称命题.【规范解答】(1)选D根据指数函数性质，对xR,ex0为 真，故其否定x0R,ex00为假，即选项A
10、中的命题为假；根据指数函数与二次函数知识，在 此时 2x1，b1ab1，但反 之不真，故选项D中的命题为真(2)选C.该命题为特称命题，其否定形式为：xR,x2-2x+40.x21,12,x12 上，ab【拓展提升】全称命题与特称命题真假的判断方法 【提醒】没有量词的可先加上适当的量词再进行判断.命题名称 真假 判断方法一 判断方法二 全称命题 真 所有对象使命题真 否定为假 假 存在一个对象使命题假 否定为真 特称命题 真 存在一个对象使命题真 否定为假 假 所有对象使命题假 否定为真【变式训练】(1)下列命题中，真命题是()(A)m0R,使函数f(x)=x2+m0 x(xR)是偶函数(B)
11、m0R,使函数f(x)=x2+m0 x(xR)是奇函数(C)mR,使函数f(x)=x2+mx(xR)都是偶函数(D)mR,使函数f(x)=x2+mx(xR)都是奇函数【解析】选A.当m0=0时，f(x)=x2是偶函数，故选A.(2)已知a0，函数f(x)=ax2+bx+c，若m满足关于x的方程2ax+b=0，则下列选项中的命题为假命题的是()(A)x0R，f(x0)f(m)(B)x0R，f(x0)f(m)(C)xR，f(x)f(m)(D)xR，f(x)f(m)【解析】选C.由2am+b=0,得 又a0，f(m)是函数f(x)的最小值,即xR，有f(x)f(m)，故选C.bm,2a 考向 3 含
12、有一个量词的命题的否定【典例3】(1)(2012辽宁高考)已知命题p:x1,x2R，(f(x2)-f(x1)(x2-x1)0，则 为()(A)x1,x2R,(f(x2)-f(x1)(x2-x1)0(B)x1,x2R,(f(x2)-f(x1)(x2-x1)0(C)x1,x2R,(f(x2)-f(x1)(x2-x1)0(D)x1,x2R,(f(x2)-f(x1)(x2-x1)0(2)“aR，函数 是R上的奇函数”的否定 是_ p xx2af x2a【思路点拨】(1)已知命题是一个全称命题，其否定是一个特称命题(2)已知命题是一个特称命题，其否定是全称命题，注意“奇函数”的否定为“不是奇函数”【规范
13、解答】(1)选C.由于对任意的x1,x2R都有(f(x2)-f(x1)(x2-x1)0，要否定这个命题，则只要存在x1,x2R，使(f(x2)-f(x1)(x2-x1)0不成立即可，即使得(f(x2)-f(x1)(x2-x1)0，故已知命题的否定是“x1,x2R,(f(x2)-f(x1)(x2-x1)300,则(D)命题x0(-,0),是真命题 np:nN,e300 00 xxe【解析】选D.根据逆否命题的构成可知选项A中的说法正确；a=2函数f(x)=logax在区间(0,+)上为增函数，反之只要 a1即可，选项B中的说法正确；特称命题的否定是全称命题，选项C中的说法正确；根据指数函数性质，
14、当x01”的否定是()(A)对任意实数x,都有x1(B)不存在实数x，使x1(C)对任意实数x,都有x1(D)存在实数x，使x1【解析】选C“存在”的否定为“任意”，“x1”的否定 是“x1”4(2013梅州模拟)在下列结论中，正确的结论为()(1)“pq”为真是“pq”为真的充分不必要条件(2)“pq”为假是“pq”为真的充分不必要条件(3)“pq”为真是“”为假的必要不充分条件(4)“”为真是“pq”为假的必要不充分条件(A)(1)(2)(B)(1)(3)(C)(2)(4)(D)(3)(4)pp【解析】选Bpq为真时p,q均为真，此时pq一定为真，而 pq为真时只要p,q至少有一个为真即可
15、，故“pq”为真是“pq”为真的充分不必要条件，结论(1)正确；pq为假，可能p,q均假，此时pq为假，结论(2)不正确；pq为真时，可能p假，此时 为真，但 为假时，p一定为真，此时pq为 真，结论(3)正确；为真时，p假，此时pq一定为假，条件 是充分的，但在pq为假时，可能p真，此时 为假，故“”为真是“pq”为假的充分不必要条件，结论(4)不正确 ppppp5.(2013湛江模拟)命题p：“任意非零向量a,b,都有|a|+|b|a-b|”，则()(A)p是假命题；：任意非零向量a,b，都有|a|+|b|a-b|(B)p是假命题；：存在非零向量a,b，使|a|+|b|a-b|(C)p是真
16、命题；：任意非零向量a,b，都有|a|+|b|a-b|(D)p是真命题；：存在非零向量a,b，使|a|+|b|a-b|【解析】选B.因当a,b反向时，|a|+|b|a-b|不成立，故p是 假命题.根据命题否定的意义，知 为“存在非零向量a,b，使|a|+|b|a+b|”.ppppp1.下列选项叙述错误的是()(A)命题“若x1，则x2-3x+20”的逆否命题是“若x2-3x+2=0，则x=1”(B)若命题p：xR,x2+x+10，则(C)若pq为真命题，则p，q均为真命题(D)“x2”是“x2-3x+20”的充分不必要条件 2000pxR,xx10：【解析】选C.选项A中，由于“不等于”的否定
17、是“等于”，根据逆否命题的形式可知是正确的；选项B中，根据全称命题的否定是特称命题，“不等于”的否定是“等于”可知是正确的；选项C中，根据“pq为真只要两个命题p,q至少一个为真”，可知叙述是不正确的；选项D中，由于不等式x2-3x+20的解是x2或者x2”是“x2-3x+20”的充分不必要条件.2.下列命题中的真命题是()(A)x0R,使得sin x0+cos x0=(B)x(0,+),exx+1(C)x0(-,0),(D)x(0,),sin xcos x 300 xx23【解析】选B.xR，sin x+cos x ，故不存在x0R，使 得sin x0+cos x0=，选项A中的命题不是真命题；设f(x)=ex-x-1，则f(x)=ex-10对于x(0,+)恒成立，故f(x)在(0,+)上单调递增，即f(x)f(0)=0，exx+1，选项B中的命 题是真命题；根据指数函数的性质，在(-,0)上，2x3x，故 不存在x0(-,0)，使得 选项C中的命题为假命题；当 时，sin xcos x，故选项D中的命题是假命题.2300 xx23，x6