1、2022年四川省乐山市高考数学第一次调查研究试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）若zi1+i，则（）A2BCD2（5分）已知集合A1，2，3，4，5，6，集合Bx|x22x30，则AB（）A1，2B1，2，3C0，1，2，3D1，0，1，2，33（5分）已知向量（1，），（，），则|（）ABC4D84（5分）桥梁由于自身结构的优势占地要比路基工程少，所以在平原区的高铁设计中大量采用桥梁代替普速铁路中常见的路基工程在低桩承台对称竖直桩桩基基础刚度计算及有限元模拟中常用到三个公式Fc，：其中Fc，Sc，Ic一
2、分别为承台地面以上水平方向地基系数c的图形面积和对底面的面积矩和惯性矩；cc一承台底面处水平土的地基系数；hc一一承台底面埋入地面或局部冲刷下的深度在设计某一桥梁时，已知Ic2.0108，cc300，则Sc（）A3.8108B2.4106C2.0106D1.21085（5分）在等比数列an中，如果a1+a216，a3+a424，那么a7+a8（）A40B36C54D816（5分）已知幂函数f（x）x和g（x）x，其中0，则有下列说法：f（x）和g（x）图象都过点（1，1）；f（x）和g（x）图象都过点（1，1）；在区间1，+）上，增长速度更快的是f（x）；在区间1，+）上，增长速度更快的是g（
3、x）则其中正确命题的序号是（）ABCD7（5分）在区间0，1上随机取两个数x，y，记P1为事件“x+y1”的概率，P2为事件“y2x”的概率，则（）ABCD8（5分）函数的图象如图所示，现将yf（x）的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数解析式为（）ABCy2cos2xDy2sin2x9（5分）已知x0，y0，且（x2）（y4）8，则2x+y的最小值为（）A16BC12D10（5分）已知双曲线1（a0，b0），过原点的直线与双曲线交于A，B两点，以线段AB为直径的圆恰好过双曲线的右焦点F，若ABF的面积为2a2，则双曲线的离心率为（）ABCD11（5分）设aR，函数，若f（x）在区间（a
4、，+）内恰有5个零点，则a的取值范围是（）A，2），）B，2）（2，C（，）D（，（2，12（5分）已知三棱锥PABC的四个顶点在球O的球面上，PAPBPC，ABC是边长为的正三角形，三棱锥PABC的体积为，Q为BC的中点，则过点Q的平面截球O所得截面面积的取值范围是（）A，B，C，D，二、填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分.13（5分）在新冠疫情防控期间，某单位2男2女被安排到A、B、C三个社区去协助防控工作，其中A社区要求安排1男1女，B、C社区各安排1人，则不同的方案数是 14（5分）正方体ABCDA1B1C1D1中，P为DD1的中点，Q为CC1的中点，O为底面ABCD的中心，
5、则异面直线D1Q与OP所成角的正弦值为 15（5分）在等差数列an中，a715，a2+a618，若数列（1）nan的前n项和为Sn，则Sn 16（5分）若函数f（x）同时满足：（）f（x）为奇函数；（）定义域为R，值域为1，1）；（）对任意x1，x20，+）且x1x2，总有x1f（x1）+x2f（x2）x1f（x2）+x2f（x1），则称函数f（x）具有性质P写出一个具有性质P的函数 三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤.17（12分）某校为纪念“12.9”运云纫，组织了全校学生参加历史知识竞赛，某教师从高一、高二年级各随机抽取50名学生的竞赛成绩（满分
6、为100分），绘制成如下所示的频率分布直方图：（1）分别估计高一、高二竞赛成绩的平均值与（同一组中的数据以该组数据所在区间的中点值为代表）；（2）学校规定竞赛成绩不低于80分的为优秀，根据所给数据，完成下面的22列联表，并判断是否有90%的把握认为竞赛成绩的优秀与年级有关？非优秀优秀合计高一年级高二年级合计100附，其中na+b+c+d P（K2k0）0.150.100.050.01k2.0722.7063.8416.63518（12分）已知ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足（bc）2a2bc（1）求角A的大小；（2）若a，SABC，求ABC的周长19（12分）如图，从椭圆
7、1（ab0）上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1.又点A是椭圆与x轴正半轴的交点，点B是椭圆与y轴正半轴的交点，且kOP，|F1A|3（1）求椭圆的方程；（2）直线l交椭圆于M、Q两点，判断是否存在直线l，使点F2恰为MQB的重心？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由20（12分）九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”在如图所示的“阳马”PABCD中，侧棱PD底面ABCD，PDDA，点E是PA的中点，作EFPB交PB于点F（1）求证：PB平面EFD；（2）若平面DEF与平面ABCD所成的二面角为60，求21（12分）已知函数f（x），g（x），其中
8、aR（1）试讨论函数f（x）的单调性；（2）若a2，证明：xf（x）g（x）请考生在第22-23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（为参数），以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，C2的极坐标方程为2（1）求C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（2）若直线l与C1相切于第二象限的点P（，），与C2交于A，B两点，求|PA|PB|选做题23函数f（x）|x+1|+|xm|（m0）最小值为5（1）求m的值；（2）若n0，证明：n+32022年四川省乐山市高考数学第一次调查研究试卷（理科）参考答案与试题解析一、选
9、择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）若zi1+i，则（）A2BCD【分析】根据已知条件，结合复数的运算法则，对z化简，再结合共轭复数的定义，以及复数模公式，即可求解【解答】解：zi1+i，故选：D2（5分）已知集合A1，2，3，4，5，6，集合Bx|x22x30，则AB（）A1，2B1，2，3C0，1，2，3D1，0，1，2，3【分析】解不等式得集合B，根据交集的定义写出AB【解答】解：集合A1，2，3，4，5，6，集合Bx|x22x301，3，则AB1，2，3故选：B3（5分）已知向量（1，），（，），则|（）ABC4D
10、8【分析】根据题意，求出向量2的坐标，进而计算可得答案【解答】解：根据题意，向量（1，），（，），则2（1+，1），则有|2|2，故选：A4（5分）桥梁由于自身结构的优势占地要比路基工程少，所以在平原区的高铁设计中大量采用桥梁代替普速铁路中常见的路基工程在低桩承台对称竖直桩桩基基础刚度计算及有限元模拟中常用到三个公式Fc，：其中Fc，Sc，Ic一分别为承台地面以上水平方向地基系数c的图形面积和对底面的面积矩和惯性矩；cc一承台底面处水平土的地基系数；hc一一承台底面埋入地面或局部冲刷下的深度在设计某一桥梁时，已知Ic2.0108，cc300，则Sc（）A3.8108B2.4106C2.0106
11、D1.2108【分析】先由得到hc200，再由，即可求解【解答】解：由题意可得，2.0108，解得hc200，故选：C5（5分）在等比数列an中，如果a1+a216，a3+a424，那么a7+a8（）A40B36C54D81【分析】在等比数列an中，a1+a2，a3+a4，a5+a6，a7+a8成比数列，由此能求出结果【解答】解：在等比数列an中，a1+a2，a3+a4，a5+a6，a7+a8成比数列，a1+a216，a3+a424，a7+a8（a3+a4）（）224（）254故选：C6（5分）已知幂函数f（x）x和g（x）x，其中0，则有下列说法：f（x）和g（x）图象都过点（1，1）；f（
12、x）和g（x）图象都过点（1，1）；在区间1，+）上，增长速度更快的是f（x）；在区间1，+）上，增长速度更快的是g（x）则其中正确命题的序号是（）ABCD【分析】由幂函数的性质进行分析判断即可【解答】解：由幂函数的性质可知，幂函数的图象过定点（1，1），故正确，错误，在区间1，+）上，越大，幂函数yx的增长速度越快，故正确，错误，所以正确命题的序号是，故选：A7（5分）在区间0，1上随机取两个数x，y，记P1为事件“x+y1”的概率，P2为事件“y2x”的概率，则（）ABCD【分析】分别作出事件“x+y1”，事件“y2x”所表示的平面区域，然后结合几何概型及其概率的求法求解即可【解答】解：在
13、区间0，1上随机取两个数x，y，其基本事件可由如图所示的正方形区域表示，记P1为事件“x+y1”，其基本事件可由如图所示的三角形AOB区域表示，则其概率，P2为事件“y2x”，其基本事件可由如图所示的阴影部分区域表示，则其概率，即，故选：C8（5分）函数的图象如图所示，现将yf（x）的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数解析式为（）ABCy2cos2xDy2sin2x【分析】直接利用函数的图象的平移变换和正弦型函数的性质的应用求出函数的关系式【解答】解：由于函数，故T，解得：2；当x时，（kZ）；整理得；故f（x）2sin（2x+），将函数f（x）的图象向右平移个单位，得到y2sin2x
14、的图象故选：D9（5分）已知x0，y0，且（x2）（y4）8，则2x+y的最小值为（）A16BC12D【分析】利用基本不等式，将（x2）（y4）8转化为1，即可解出【解答】解：因为x0，y0，且（x2）（y4）8，则1，2x+y（2x+y）（）8+8+216，当且仅当，即x4，y8时取等号，此时取得最小值为16，故选：A10（5分）已知双曲线1（a0，b0），过原点的直线与双曲线交于A，B两点，以线段AB为直径的圆恰好过双曲线的右焦点F，若ABF的面积为2a2，则双曲线的离心率为（）ABCD【分析】根据以AB为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F，得到以AB为直径的圆的方程为x2+y2c2，根据三
15、角形的面积求出B的坐标，代入双曲线方程进行整理即可【解答】解：设双曲线的左焦点为F，由图象的对称性得，圆O经过点F，且|BF|AF|，设|BF|AF|m，|BF|n，BFAF，SABFmn2a2，m2+n24c2，则mn4a2，|BF|BF|2a，mn2a则m22mn+n24a2，4c28a24a2，即c23a2，则ca，即离心率e，故选：B11（5分）设aR，函数，若f（x）在区间（a，+）内恰有5个零点，则a的取值范围是（）A，2），）B，2）（2，C（，）D（，（2，【分析】分类讨论，分f（x）在区间（a，0）有5个零点且在区间0，+）没有零点，f（x）在区间（a，0）有4个零点且在区间
16、0，+）有1个零点和f（x）在区间（a，0）有3个零点且在区间0，+）有2个零点三种情况求解即可【解答】解：当f（x）在区间（a，0）有5个零点且在区间0，+）没有零点时，满足，无解；当f（x）在区间（a，0）有4个零点且在区间0，+） 有1个零点时，满足 ，解得；当f（x）在区间（a，0）有3个零点且在区间0，+）有2个零点时，满足 ，解得，综上所述，a的取值范围是，故选：D12（5分）已知三棱锥PABC的四个顶点在球O的球面上，PAPBPC，ABC是边长为的正三角形，三棱锥PABC的体积为，Q为BC的中点，则过点Q的平面截球O所得截面面积的取值范围是（）A，B，C，D，【分析】由题意先求出
17、SABC，再由三棱锥PABC的体积为，得到高PM，再利用正三棱锥PABC可看作正方体的一角，正方体的外接球与三棱锥PABC的外接球相同，求出外接球的半径，球的最大截面圆为过球心的圆当OQ垂直于过Q的截面时，截面圆半径最小，求出此时半径即可求出相应的面积即可求出过点Q的平面截球O所得截面面积的取值范围【解答】解：设P在底面ABC上的射影为M，因为PAPBPC，所以M为ABC的中心，由题可知，由，解得，在正ABC中，可得在正三棱锥PABC中，PA1进而可得PAPB，PBPC，PCPA，因此正三棱锥PABC可看作正方体的一角，正方体的外接球与三棱锥PABC的外接球相同，正方体对角线的中点为球心O记外
18、接球半径为R，则，因为球的最大截面圆为过球心的圆，所以过Q的平面截球O所得截面的面积最大为；又Q为BC中点，由正方体结构特征可得由球的结构特征可知，当OQ垂直于过Q的截面时，截面圆半径最小为所以因此，过Q的平面截球O所得截面的面积范围为故选：A二、填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分.13（5分）在新冠疫情防控期间，某单位2男2女被安排到A、B、C三个社区去协助防控工作，其中A社区要求安排1男1女，B、C社区各安排1人，则不同的方案数是 8【分析】先让A社区挑人，余下的全排列即可【解答】解：单位2男2女被安排到A、B、C三个社区去协助防控工作，A社区要求安排1男1女，故有4种可能，余下
19、两人全排列即可，故不同的方案数是：48种，故答案为：814（5分）正方体ABCDA1B1C1D1中，P为DD1的中点，Q为CC1的中点，O为底面ABCD的中心，则异面直线D1Q与OP所成角的正弦值为 【分析】先作出异面直线D1Q与OP所成角的平面角，然后结合余弦定理求解即可【解答】解：连接D1B，QB，则D1BPO，则异面直线D1Q与OP所成角的平面角为BD1Q（或其补角），不妨设|AD|2，则，则cos，则sin，故答案为：15（5分）在等差数列an中，a715，a2+a618，若数列（1）nan的前n项和为Sn，则Sn【分析】首先求出数列的通项公式，进一步利用分组法的应用和分类讨论法的应用
20、求出数列的和【解答】解：等差数列an中，设首项为a1，公差为d；由于a715，a2+a618，所以，解得；故an3+2（n1）2n+1；所以，当n为偶数时，Sn（3+5）+（7+9）+.+（2n+1+2n+1），当n为奇数时，Sn（b1+b2+.+bn1）+bn（2n+1）+n1；故故答案为：16（5分）若函数f（x）同时满足：（）f（x）为奇函数；（）定义域为R，值域为1，1）；（）对任意x1，x20，+）且x1x2，总有x1f（x1）+x2f（x2）x1f（x2）+x2f（x1），则称函数f（x）具有性质P写出一个具有性质P的函数 f（x）（答案不唯一）【分析】由题意可得f（x）为偶函数，
21、在0，+）单调递增，值域为1，1），可以考虑函数f（x）【解答】解：由（）可得f（x）为偶函数；（）可得对任意x1，x20，+）且x1x2，总有（x1x2）f（x1）f（x2）0，即f（x）在0，+）为单调递增函数，可取f（x），满足f（x）为偶函数；由x20，解得1y1，即f（x）的值域为1，1）；当x0时，f（x）1，可得f（x）在0，+）单调递增故答案为：f（x）（答案不唯一）三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤.17（12分）某校为纪念“12.9”运云纫，组织了全校学生参加历史知识竞赛，某教师从高一、高二年级各随机抽取50名学生的竞赛成绩（满分为
22、100分），绘制成如下所示的频率分布直方图：（1）分别估计高一、高二竞赛成绩的平均值与（同一组中的数据以该组数据所在区间的中点值为代表）；（2）学校规定竞赛成绩不低于80分的为优秀，根据所给数据，完成下面的22列联表，并判断是否有90%的把握认为竞赛成绩的优秀与年级有关？非优秀优秀合计高一年级高二年级合计100附，其中na+b+c+d P（K2k0）0.150.100.050.01k2.0722.7063.8416.635【分析】（1）根据题意分别计算高一、高二竞赛成绩的平均值即可；（2）根据题意填写列联表，计算K2，对照附表得出结论【解答】解：（1）高一竞赛成绩的平均值为（455+1065+
23、1475+1285+1095）5077.8，高二竞赛成绩的平均值为（255+865+1075+1885+1295）5081.0；（2）根据题意填写22列联表，非优秀优秀合计高一年级282250高二年级203050合计4852100由表中数据，计算K22.562.706，所以没有90%的把握认为竞赛成绩的优秀与年级有关18（12分）已知ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足（bc）2a2bc（1）求角A的大小；（2）若a，SABC，求ABC的周长【分析】（1）由已知结合余弦定理可求cosA，进而可求A；（2）由已知结合三角形面积公式先求bc，然后结合余弦定理可求b+c，进而可求三
24、角形周长【解答】解：（1）由（bc）2a2bc可得，b2+c2a2bc，由余弦定理可得，cosA，由A为三角形内角，得A；（2）因为a，SABC，所以bc6，因为a，b2+c2a2bc，所以（b+c）273bc18，所以b+c5，所以ABC的周长为a+b+c5+19（12分）如图，从椭圆1（ab0）上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1.又点A是椭圆与x轴正半轴的交点，点B是椭圆与y轴正半轴的交点，且kOP，|F1A|3（1）求椭圆的方程；（2）直线l交椭圆于M、Q两点，判断是否存在直线l，使点F2恰为MQB的重心？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由【分析】（1）由题知，A（a，
25、0），B（0，b），P（c，），又kOPkAB，得bc，则，解得a，b，即可得出答案（2）方法一：设直线l的方程为ykx+m，M（x1，y1），Q（x2，y2），联立直线l与椭圆的方程，结合韦达定理可得x1+x2，x1x2，由于F2为MQB的重心，则，得，解得k，m，即可得出答案方法二：设M（x1，y1），Q（x2，y2），由F2为MQB的重心，得，解得，设MQ的中点R，则R（，），由M，Q在椭圆+1，得，两式相减得kMQ，进而可得答案【解答】解：（1）由题知，A（a，0），B（0，b），P（c，），因为kOPkAB，则，解得bc，故有，解得a2，b，所以椭圆的方程为+1（2）方法一：假设存在
26、，直线l的斜率存在，设直线l的方程为ykx+m，M（x1，y1），Q（x2，y2），联立，得（3+4k2）x2+8kmx+4m2120，所以，因为F2为MQB的重心，则，解得，则，化简得，解得，所以直线l：6x8y130方法二：设M（x1，y1），Q（x2，y2），因为F2为MQB的重心，则，解得，设MQ的中点R，则R（，），因为M，Q在椭圆+1，则，两式相减得，kMQkOR，即kMQ，所以直线l：6x8y13020（12分）九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”在如图所示的“阳马”PABCD中，侧棱PD底面ABCD，PDDA，点E是PA的中点，作EFPB交PB
27、于点F（1）求证：PB平面EFD；（2）若平面DEF与平面ABCD所成的二面角为60，求【分析】（1）推导出PDAB，ABAD，从而AB平面PDA，ABED，推导出EDPA，得ED平面PAB，EDPB，再由EFPB，能证明PB平面EFD（2）在平面PAB内，延长BA，交FE于点G，连接DG，则DG是平面DEF与平面ABCD的交线，推导出PBDG，PDDG，从而DG平面PBD，BDF是面DEF与面ABCD所成二面角的平面角，由此能求出当平面DEF与平面ABCD所成的二面角为60时，【解答】解：（1）证明：侧棱PD底面ABCD，AB平面ABCD，PDAB，ABCD是矩形，ABAD，PDDAD，AB
28、平面PDA，ED平面PDA，ABED，E是PA的中点，且PDDA，EDPA，ED平面PAB，EDPB，EFPB，EFEDE，PB平面EFD（2）如图，在平面PAB内，延长BA，交FE于点G，连接DG，则DG是平面DEF与平面ABCD的交线，由（1）知PB平面DEF，PBDG，PD底面ABCD，PDDG，PDPBP，DG平面PBD，BDF是面DEF与面ABCD所成二面角的平面角，BDF，设PDDA1，AB，BD，在RtPDB中，由DFPB，得，tantanDPF，解得，当平面DEF与平面ABCD所成的二面角为60时，21（12分）已知函数f（x），g（x），其中aR（1）试讨论函数f（x）的单调
29、性；（2）若a2，证明：xf（x）g（x）【分析】（1）先对函数求导，然后结合导数与单调性关系对a进行分类讨论可求函数的单调性；（2）法一：a2时，xf（x）g（x）xexlnx+2x+1，结合不等式构造函数h（x）xexlnx2x1，然后对h（x）求导，结合导数与单调性关系分析函数性质，结合函数的零点判定定理可求；法二：a2时，xf（x）g（x）xexlnx+2x+1，即证elnx+2xlnx+2x+1，换元tlnx+2x后，根据简化不等式转化为证明ett+1，构造函数，结合导数及单调性关系可证明【解答】解：（1）由题意得，x0，当a0时，令f（x）0得，x，令f（x）0得，0x或x0，所以
30、f（x）在（）上单调递增，在（，0），（0，）上单调递减，当a0时，f（x）在（，0），（0，+）上单调递减，当a0时，令f（x）0得，x，令f（x）0得，x0或x0，所以f（x）在（，）上单调递增，在（，0），（，0）上单调递减，综上，当a0时，f（x）在（）上单调递增，在（，0），（0，）上单调递减，当a0时，f（x）在（，0），（0，+）上单调递减，当a0时，f（x）在（，）上单调递增，在（，0），（，0）上单调递减，（2）法一：a2时，xf（x）g（x）xexlnx+2x+1，令h（x）xexlnx2x1，则（1+2x）（e2x），因为x0，1+2x0，令t（x），则0，所以t（x）在
31、（0，+）上单调递增，且t（）0，t（1）e210，故存在x0（）使得t（x0）0，所以2x0lnx0，所以h（x）在（0，x0）上单调递减，在（x0，+）上单调递增，所以h（x）h（x0）lnx02x01+2x02x010，所以xf（x）g（x）法二：a2时，xf（x）g（x）xexlnx+2x+1，即证elnx+2xlnx+2x+1，令tlnx+2x，只要证明ett+1，令h（t）ett1，则h（t）et1，当t0时，h（t）0，函数h（t）单调递增，当t0时，h（t）0，函数h（t）单调递减，所以h（t）h（0）0，所以ett+1，所以elnx+2xlnx+2x+1，即xf（x）g（x）
32、请考生在第22-23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（为参数），以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，C2的极坐标方程为2（1）求C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（2）若直线l与C1相切于第二象限的点P（，），与C2交于A，B两点，求|PA|PB|【分析】（1）直接利用转换关系，在参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；（2）利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果【解答】解：（1）曲线C1的参数方程为（为参数），转换为普通方程为x2+y21；曲线C2的极坐标方程为2，根据，转换为普通方程为
33、；（2）由点P（，），所以直线OP的倾斜角为；直线l与C1相切于第二象限的点P，则直线AB的倾斜角为，所以直线l的参数方程（t为参数），把直线l的参数方程代入，得到，所以选做题23函数f（x）|x+1|+|xm|（m0）最小值为5（1）求m的值；（2）若n0，证明：n+3【分析】（1）根据已知条件，结合绝对值的三角法则，即可求解（2）根据已知条件，结合反证法，即可求解【解答】解：（1）f（x）|x+1|+|xm|（x+1）（xm）|m+1|5，解得m4或m6，m0，m4（2）证明：假设n+，即n33n2+40，则（n2）2（n+1）0，显然与n0矛盾，故n+3声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2022/3/8 8:06:59；用户：一中；邮箱：52405；学号：41470688