1、第七节函数与方程结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的,联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数.突破点一函数的零点问题1函数的零点(1)函数零点的定义对于函数yf(x)，我们把使f(x)0的实数x叫做函数yf(x)的零点(2)几个等价关系方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有零点(3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)000)的图象与x轴的交点(x1,0)，(x2,0)(x1,0)无零点个数_2_1_0_一、判断题(对的打“”，错的打“”)(1)函数的零点就是函数的图象与x
2、轴的交点()(2)函数yf(x)，xD在区间(a，b)D内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)f(b)0.()(3)二次函数yax2bxc在b24ac0，f(x)在R上单调递增，又f(0)120，函数f(x)在定义域内有零点且只有一个答案：13若函数f(x)ax12a在区间(1,1)上存在一个零点，则实数a的取值范围是_解析：当a0时，函数f(x)1在(1,1)上没有零点，所以a0.所以函数f(x)是单调函数，要满足题意，只需f(1)f(1)0，即(3a1)(1a)0，所以(a1)(3a1)0，解得a1，所以实数a的取值范围是.答案：考法一函数零点所在区间的判断例1(2019河南阶段性测试)
3、函数f(x)xln x3的零点所在的区间为()A(0,1)B(1,2)C(2,3) D(3,4)解析法一：(利用零点存在性定理)因为函数f(x)是增函数，且f(2)ln 210，所以由零点存在性定理得函数f(x)的零点位于区间(2,3)上，故选C.法二：(数形结合)函数f(x)xln x3的零点所在区间转化为g(x)ln x，h(x)x3的图象的交点横坐标所在范围如图所示，可知f(x)的零点在(2,3)内答案C方法技巧判断函数零点(方程的根)所在区间的方法解方程法当对应方程易解时，可通过解方程确定方程是否有根落在给定区间上定理法利用零点存在性定理进行判断数形结合法画出相应的函数图象，通过观察图
4、象与x轴在给定区间上是否有交点来判断，或者转化为两个函数图象在给定区间上是否有交点来判断考法二函数零点个数的判断例2(1)(2019南昌模拟)函数f(x)xx的零点个数为()A0 B1C2 D3(2)(2019保定模拟)已知函数f(x)则函数g(x)ff(x)1的零点个数为()A1 B3C4 D6解析(1)法一：(定理法)f(0)1，f(1)，f(0)f(1)0，故函数f(x)在(0,1)上至少存在一个零点，又f(x)为增函数，f(x)的零点个数为1.法二：(图象法)令f(x)0，得xx，在平面直角坐标系中分别画出函数yx与yx的图象(图略)，可得交点只有一个，函数f(x)的零点只有1个，故选
5、B.(2)函数g(x)ff(x)1的零点个数即ff(x)1在(1，)上的实数解的个数，令f(x)1得x1，x21，x35，作出函数f(x)的大致图象如图所示由图象可知f(x)无解，f(x)1有3个解，f(x)5有1个解综上所述，函数g(x)ff(x)1的零点个数为4，故选C.答案(1)B(2)C方法技巧判断函数零点个数的方法直接法即直接求零点，令f(x)0，如果能求出解，则有几个不同的解就有几个零点定理法即利用零点存在性定理，不仅要求函数的图象在区间a，b上是连续不断的曲线，且f(a)f(b)0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点图象法即利用图象交点的个数，
6、画出函数f(x)的图象，函数f(x)的图象与x轴交点的个数就是函数f(x)的零点个数；将函数f(x)拆成两个函数h(x)和g(x)的差，根据f(x)0h(x)g(x)，则函数f(x)的零点个数就是函数yh(x)和yg(x)的图象的交点个数性质法即利用函数性质，若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到；若所考查的函数是周期函数，则只需解决在一个周期内的零点的个数1.函数f(x)ln(2x)1的零点所在区间是()A(2,3) B(3,4)C(0,1) D(1,2)解析：选Df(x)ln(2x)1是(0，)上的增函数，并且是连续函数，且f(1)ln 210，根据函数零点的存在性定理可得，函数f(x
7、)的零点位于区间(1,2)内故选D.2.方程xx的解所在的区间是()A. B.C. D.解析：选B令函数f(x)xx，易知函数f(x)为0，)上的减函数又f(0)10，f0，f0时，f(x)2x2x4，则f(x)的零点个数是()A2 B3C4 D5解析： 选B因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)0.因为f(x)在(0，)上单调递增，ff(2)0时函数f(x)有1个零点根据奇函数的对称性可知，当x0时，f(x)单调递增，且f(x)a.f(x)在R上有两个零点，解得0a1.由函数零点求参数范围的方法直接法直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围分离参数法先将参
8、数分离，转化成求函数值域问题加以解决数形结合法先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，作出函数的图象，然后数形结合求解1函数f(x)ax22x1在区间(1,1)和区间(1,2)上分别存在一个零点，则实数a的取值范围是()A(3,1)B.C. D(，3)或解析：选B根据零点存在性定理及二次函数的图象可知，函数f(x)ax22x1在区间(1,1)和区间(1,2)上分别存在一个零点时，解得a1，故选B.2已知函数f(x)若方程f(x)a有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是()A.2，)B(2，)C.(2，)D.(2，)解析：选C方程f(x)a有两个不相等的实数根等价于函数yf(x)的图象与直线
9、ya有两个不同的交点，作出函数f(x)的图象如图所示，由图可知，a(2，)故选C.3(2018全国卷)已知函数f(x)g(x)f(x)xa.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是()A1,0) B0，)C1，) D1，)解析：选C令h(x)xa，则g(x)f(x)h(x)在同一坐标系中画出yf(x)，yh(x)的示意图，如图所示若g(x)存在2个零点，则yf(x)的图象与yh(x)的图象有2个交点，平移yh(x)的图象，可知当直线yxa过点(0,1)时，有2个交点，此时10a，a1.当yxa在y x1上方，即a1时，有2个交点，符合题意综上，a的取值范围为1，)故选C.课时跟踪检测 A级保分
10、题准做快做达标1(2019重庆一中期中)函数f(x)exx3在区间(0,1)上的零点个数是()A0B1C2 D3解析：选B由题知函数f(x)是增函数根据函数的零点存在性定理及f(0)2，f(1)e20，可知函数f(x)在区间(0,1)上有且只有一个零点，故选B.2函数f(x)xcos x2在区间0,4上的零点个数为()A4 B5C6 D7解析：选Cx0,4，x20,16，当x20，时f(x)0都成立f(x)的零点个数为6.故选C.3(2019江西三校联考)设函数ylog2x1与y22x的图象的交点为(x0，y0)，则x0所在的区间是()A(0,1) B(1,2)C(2,3) D(3,4)解析：
11、选C令函数f(x)log2x122x，则f(2)1，f(3)log23log23log2()0，因为f(2)f(3)0时，13x0无解故函数只有两个零点故选C.5已知函数f(x)|x2|1，g(x)kx.若方程f(x)g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是()A. B.C(1,2) D(2，)解析：选Bf(x)如图，作出yf(x)的图象，其中A(2,1)，则kOA.要使方程f(x)g(x)有两个不相等的实根，即函数f(x)与g(x)的图象有两个不同的交点，由图可知k1.故选B.6(2019辽宁朝阳普通高中模拟)方程4sin x在2，4内根的个数为()A6 B7C5 D8解析：选D由原
12、方程得2sin x，在同一坐标系中作出两函数y2sin x和y的图象，如图由图可知，两函数的图象在2,4上共有8个交点，即原方程在2，4内有8个根故选D.7(2019广东佛山顺德区一模)对于实数a，b定义运算“D”：aDb设f(x)(2x3)D(x3)，且关于x的方程f(x)k(kR)恰有三个互不相同的实根x1，x2，x3，则x1x2x3的取值范围为()A(0,3) B(1,0)C(，0) D(3,0)解析：选DaDbf(x)(2x3)D(x3)其图象如图所示不妨设x1x2x3，由图可得x1k，x2x3k，故x1x2x3k2，k(0,3)，x1x2x3(3,0)故选D.8(2019沈阳模拟)若
13、函数f(x)log2(xa)与g(x)x2(a1)x4(a5)存在相同的零点，则a的值为_解析：将函数f(x)log2(xa)的零点x1a，代入x2(a1)x4(a5)0得到(1a)2(a1)(1a)4(a5)0，解得a5或a2.答案：5或29(2019凉山州一诊)已知函数f(x)则方程f(1x2)f(2x)的解集是_解析：函数f(x)方程f(1x2)f(2x)，当x0时，2e2x1，解得x0，不成立；当x0时，f(1x2)f(2x)2，成立方程f(1x2)f(2x)的解集是x|x0故答案为x|x0答案：x|x010(2019常德期末)设函数f(x)x2，若函数g(x)f(x)2mf(x)m3
14、有四个零点，则实数m的取值范围为_解析：根据函数f(x)x20且g(x)f(x)2mf(x)m3，令tf(x)，结合函数f(x)x2的图象及题意可知方程t2mtm30有两个不等正根，所以得即3m2.答案：(3，2)11(2019遵义月考)已知函数f(x)x22x，g(x)(1)求g(f(1)的值；(2)若方程g(f(x)a0有4个不同的实数根，求实数a的取值范围解：(1)g(f(1)g(3)312.(2)令f(x)t(t1)，则原方程化为g(t)a有4个不同的实数根，易知方程f(x)t在 (，1)内有2个不同的实数根，则原方程有4个不同的实数根等价于函数yg(t)(t1)与ya的图象有2个不同
15、的交点，如图，画出函数g(t)的图象，结合图象可知，1a，即a的取值范围是.12(2019沈阳四校联考)已知函数f(x)2x(aR)，将yf(x)的图象向右平移两个单位长度，得到函数yg(x)的图象(1)求函数yg(x)的解析式；(2)若方程f(x)a在x0,1上有且仅有一个实数根，求实数a的取值范围解：(1)由题意，得g(x)2x2.(2)设2xt，x0,1，则t1,2，原方程可化为t2ata0，t2ata0在t1,2上有且仅有一个实数根法一：设k(t)t2ata，图象的对称轴方程为t，因为k(1)12a，k(2)43a，所以k(1)与k(2)不同时为0，所以k(1)k(2)0，或由得(12
16、a)(43a)0，即(2a1)(3a4)0，得a.由得无解，故实数a的取值范围是.法二：由t2ata0，t1,2，得2，t1,2设u，则u，u2u.记h(u)u2u，则h(u)u2u在上单调递增，故hh(1)，即2，所以a，故实数a的取值范围是.B级难度题适情自主选做1(2019西安高三一检)设x0为函数f(x)sin x的零点，且满足|x0|f33，则这样的零点有()A61个 B63个C65个 D67个解析：选C依题意得sin x00，所以x0k(kZ)，即x0k，fsinsincos x0cos k，所以|x0|f33，即|k|33cos k，当k为偶数时，|k|32，则零点有31个；当k
17、为奇数时，|k|0，且a1)的图象有且仅有4个交点，则a的取值集合为()A(4,5) B(4,6)C5 D6解析：选C因为f(x2)f(x)，所以f(x)的周期为2.当x1,1时，f(x)|x|.在同一直角坐标系下作出函数f(x)与g(x)logax的图象，如图所示若函数yf(x)的图象与函数g(x)logax(a0，且a1)的图象有且仅有4个交点，则a1且函数g(x)logax的图象过点(5,1)，即a5.故选C.3(2019信阳模拟)已知函数f(x)log2(2x1)(1)求证：函数f(x)在(，)上单调递增；(2)若g(x)log2(2x1)(x0)，且关于x的方程g(x)mf(x)在1,2上有解，求m的取值范围解：(1)证明：函数f(x)log2(2x1)，任取x1x2，则f(x1)f(x2)log2(2x11)log2(2x21)log2，x1x2，01，log20，f(x1)f(x2)，函数f(x)在(，)上单调递增(2)g(x)mf(x)，mg(x)f(x)log2(2x1)log2(2x1)log2log2，1x2，22x4，log2log2log2，故m的取值范围为.