1、课时素养评价 四十用样本估计总体的离散程度参数 (20分钟35分)1.下列说法正确的是()A.在两组数据中,平均数较大的一组极差较大B.平均数反映数据的集中趋势,方差反映数据波动的大小C.方差的求法是求出各个数据与平均值的差的平方后再求和D.在记录两个人射击环数的两组数据中,方差大说明射击水平稳定【解析】选B.平均数表示一组数据的集中趋势,平均数的大小并不能说明该组数据极差的大小,所以A错误;方差公式s2=(xi-)2,所以C错误;方差大说明射击水平不稳定,所以D错误.2.现有10个数,其平均数为3,且这10个数的平方和是100,那么这组数据的标准差是()A.1B.2C.3D.4【解析】选A.
2、由s2=-,得s2=100-32=1,即标准差s=1.【补偿训练】一组数据按从小到大的顺序排列为1,2,2,x,5,10,其中x5,已知该组数据的中位数是众数的倍,则该组数据的标准差为_.【解析】由题意,可得该组数据的众数为2,所以=2=3,解得x=4,故该组数据的平均数为=4.所以该组数据的方差为(1-4)2+(2-4)2+ (2-4)2+(4-4)2+(5-4)2+(10-4)2=9,即标准差为3.答案:33.甲、乙两名同学6次考试的成绩统计如图所示,甲、乙两组数据的平均数分别为,标准差分别为s甲,s乙,则()A.,s甲s乙B.s乙C.,s甲,s甲s乙【解析】选C.由题图知,甲同学除第二次
3、考试成绩略低于乙同学外,其他考试成绩都远高于乙同学,可知.题图中数据显示甲同学的成绩比乙同学稳定,所以s甲s乙.4.在某次测量中得到的A样本数据如下:82,84,84,86,86,86,88,88,88,88. 若B样本数据恰好是A样本数据每个都加2后所得数据,则A,B两样本的下列数字特征对应相同的是()A.众数B.平均数C.中位数D.标准差【解析】选D.对样本中每个数据都加上一个非零常数时不改变样本的方差和标准差,众数、中位数、平均数都发生改变.5.对一个做直线运动的质点的运动过程观测了8次,得到如表所示的数据.观测序号i12345678观测数据ai4041434344464748上述统计数
4、据的平均数是_,方差是_.【解析】上述统计数据的平均数=(40+41+43+43+44+46+47+48)=44,方差=(40-44)2+(41-44)2+(43-44)2+(43-44)2+(44-44)2+(46-44)2+(47-44)2+(48-44)2=7.答案:4476.某学校有高中学生500人,其中男生320人,女生180人.有人为了获得该校全体高中学生的身高信息,采用分层抽样的方法抽取样本,并观测样本的指标值(单位:cm),计算得男生样本的平均数为173.5 cm,方差为17 cm2,女生样本的平均数为163.83 cm,方差为30.03 cm2.(1)根据以上信息,能够计算出
5、总样本的平均数和方差吗?为什么?(2)如果已知男、女样本量按比例分配,你能计算出总样本的平均数和方差各为多少吗?(3)如果已知男、女的样本量都是25,你能计算出总样本的平均数和方差各为多少吗?它们分别作为总体平均数和方差的估计合适吗?为什么?【解析】(1)不能,因为本题没有给出男、女生的样本量,或者男、女生样本量的比例,故无法计算出总样本的平均数和方差.(2)总样本的平均数为173.5+163.83170.02(cm).总样本的方差为17+(173.5-170.02)2+30.03+(163.83-170.02)243.24(cm2).(3)总样本的平均数为173.5+163.83168.67
6、(cm).总样本的方差为17+(173.5-168.67)2+30.03+(163.83-168.67)246.89(cm2).不能作为总体平均数和方差的估计,因为此分层抽样中,每个个体被抽到的可能性不完全相同,因而样本的代表性差.【补偿训练】已知母鸡产蛋的最佳温度在10左右,下面是在甲、乙两地六个时刻测得的温度,你认为甲、乙两地哪个地方更适合母鸡产蛋?【解析】=(-5+7+15+14-4-3)=4(),=(1+4+10+7+2+0)=4().极差:甲地温度极差=15-(-5)=20();乙地温度极差=10-0=10().标准差:s甲=8.4();s乙=3.5().显然两地的平均温度相等,乙地
7、温度的极差、标准差较小,说明了乙地温度波动较小.因此,乙地比甲地更适合母鸡产蛋. (30分钟60分)一、单选题(每小题5分,共20分)1.样本a,3,5,7的平均数是b,且a,b是方程x2-5x+4=0的两根,则这个样本的方差是()A.3B.4C.5D.6【解析】选C.x2-5x+4=0的两根是1,4.当a=1时,a,3,5,7的平均数是4;当a=4时,a,3,5,7的平均数不是1.所以a=1,b=4.则方差s2=(1-4)2+(3-4)2+(5-4)2+(7-4)2=5.2.一组数据的平均数是2.8,方差是3.6,若将这组数据中的每一个数据都加上60,得到一组新数据,则所得新数据的平均数和方
8、差分别是()A.57.2,3.6B.57.2,56.4C.62.8,63.6D.62.8,3.6【解析】选D.每一个数据都加上60,所得新数据的平均数增加60,而方差保持不变.3.若某同学连续3次考试的名次(3次考试均没有出现并列名次的情况)不超过3,则称该同学为班级的尖子生.根据甲、乙、丙、丁四位同学过去连续3次考试名次的数据,推断一定是尖子生的是()A.甲同学:平均数为2,众数为1B.乙同学:平均数为2,方差小于1C.丙同学:中位数为2,众数为2D.丁同学:众数为2,方差大于1【解析】选B.甲同学:若平均数为2,众数为1,则有一次名次应为4,故排除A;乙同学:平均数为2,设乙同学3次考试的
9、名次分别为x1,x2,x3,则方差s2=(x1- 2)2+(x2-2)2+(x3-2)21,则(x1-2)2+(x2-2)2+(x3-2)2s乙s甲B.s甲s丙s乙C.s丙s甲s乙D.s乙s丙s甲【解析】选C.由题干甲图可知,=6,=6(3-6)2+6(4-6)2+6(5-6)2+6(6-6)2+6(7-6)2+6(8-6)2+6(9-6)2=4,标准差s甲=2;由题干乙图可知,=6,=3(3-6)2+5(4-6)2+8(5-6)2+10(6-6)2+8(7-6)2+5(8-6)2+3(9-6)22.6,标准差s乙;由题干丙图可知,=6,=8(3-6)2+5(4-6)2+3(5-6)2+10(
10、6-6)2+3(7-6)2+5(8-6)2+8(9-6)24.5,标准差s丙.故s丙s甲s乙.二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)5.一组数据的平均数是,标准差是s,将这组数据中的每个数据都乘以2,所得到的一组新数据的平均值和标准差分别是()A.B.2C.sD.2s【解析】选BD.设该组数据为x1,x2,xn,都乘以2后的新数据为2x1,2x2,2xn.由题意知=,则=2.又s=,所以=2s.6.某班有50名学生,其中有30名男生和20名女生,随机询问了该班6名男生和4名女生在某次数学测验中的成绩,6名男生的成绩分别为86分,94分,88分,9
11、2分,90分,90分,4名女生的成绩分别为90分,93分,93分,88分,则下列说法正确的有()A.这种抽样方法是按比例分配的分层抽样B.该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数C.这6名男生成绩的方差大于这4名女生成绩的方差D.抽取的10名学生成绩的平均数和方差分别为90.4分和6.04分2【解析】选ACD.因为该班有30名男生和20名女生且抽取的男生和女生的比为32,所以这种抽样方法是按比例分配的分层抽样,A正确;抽取的6名男生成绩的平均数=90(分),抽取的4名女生成绩的平均数=91(分),虽然,所以C正确;被抽取的10名学生成绩的平均数=90+91=90.4(分),被抽取的10名学
12、生成绩的方差s2=+(91-90.4)2=4.096+1.944=6.04(分2),D正确.三、填空题(每小题5分,共10分)7.已知一组数据x1,x2,x3,x4,x5的平均数=2,方差s2=,那么另一组数据3x1-2,3x2-2,3x3-2,3x4-2,3x5-2的平均数为_,方差为_.【解析】平均数为=3-2=32-2=4,方差为s2=9s2=9=3.答案:43【补偿训练】已知k1,k2,kn的方差为5,则3(k1-4),3(k2-4),3(kn-4)的方差为_.【解析】设k1,k2,kn的平均数为,则3(k1-4),3(k2-4),3(kn-4)的平均数为3(-4),所以s2=3(ki
13、-4)-3(-4)2=3(ki-)2=9(ki-)2=95=45.答案:458.某医院急救中心随机抽取20位病人等待急诊的时间记录如表:等待时间/分钟0,5)5,10)10,15)15,20)20,25频数48521用上述分组资料计算出病人平均等待时间的估计值=_,病人等待时间方差的估计值s2=_.【解析】=(2.54+7.58+12.55+17.52+22.51)=9.5(分钟),s2=(2.5-9.5)24+(7.5-9.5)28+(12.5-9.5)25+(17.5-9.5)22+(22.5-9.5)21=28.5(分钟2).答案:9.5分钟28.5分钟2四、解答题(每小题10分,共20
14、分)9.某班40人随机分成两组,第1组15人,第2组25人,两组学生一次数学考试的成绩(单位:分)情况如表:组别平均分标准差第1组846第2组804求全班学生这次数学考试的平均成绩和方差.【解析】由题意,知第1组这次数学考试的平均分=84(分),方差=62=36(分2),第2组这次数学考试的平均分=80(分),方差=42=16(分2),故全班学生这次数学考试的平均成绩=84+80=81.5(分),方差s2=36+(84-81.5)2+16+(80-81.5)2=27.25(分2).10.甲、乙两人在相同条件下各打靶10次,每次打靶的成绩情况如图所示:(1)填写下表:平均数方差中位数命中9环及以
15、上甲71.21乙5.43(2)请从四个不同的角度对这次测试进行分析:结合平均数和方差分析偏离程度;结合平均数和中位数分析谁的成绩好些;结合平均数和命中9环以上的次数分析谁的成绩好些;从折线图上两人射击命中环数及走势分析谁更有潜力.【解析】(1)乙的打靶环数依次为2,4,6,8,7,7,8,9,9,10,所以=(2+ 4+6+8+7+7+8+9+9+10)=7;乙的打靶环数从小到大排列为2,4,6,7,7,8,8,9,9,10,所以中位数为=7.5;甲的打靶环数从小到大排列为5,6,6,7,7,7,7,8,8,9,所以中位数为7. 于是填充后的表格如表所示:平均数方差中位数命中9环及以上甲71.271乙75.47.53(2)甲、乙的平均数相同,均为7,但,所以在平均数相同的情况下,B的波动较小,所以B的成绩好些.(2)从题干图中折线趋势可知:尽管A的成绩前面起伏大,但后来逐渐稳定,误差小,预测A的潜力大,所以派A去参赛较合适.