1、课时素养评价 二十七异 面 直 线 (20分钟35分)1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,与直线AA1垂直的棱有()A.2条B.4条C.6条D.8条【解析】选D.在正方体ABCD-A1B1C1D1中与AA1垂直的棱为A1B1,B1C1,C1D1,D1A1, AB,BC,CD,DA,共8条.2.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,与AD1异面且与AD1所成的角为90的面对角线(面对角线是指正方体各个面上的对角线)共有()A.2条B.1条C.3条D.4条【解析】选B.与AD1异面的面对角线分别为:A1C1,B1C,BD,BA1,C1D,其中只有B1C和AD1所成的角为90.3.空间四
2、边形的对角线互相垂直且相等,顺次连接这个四边形各边中点,所组成的四边形是()A.梯形 B.矩形C.平行四边形 D.正方形【解析】选D.连接AC,BD.因为E,F,G,H分别为各边中点,如图.所以FGEHBD,HGEFAC,所以四边形EFGH是平行四边形,又因为BDAC且BD=AC,所以FGHG且FG=HG,所以四边形EFGH为正方形.4.点E,F分别是三棱锥P-ABC的棱AP,BC的中点,AB=6,PC=8,EF=5,则异面直线AB与PC所成的角为_.【解析】如图,取PB的中点G,连接EG,FG,则EGAB,GFPC,则EGF(或其补角)即为AB与PC所成的角,在EFG中,EG=AB=3,FG
3、=PC=4,EF=5,所以EGF=90.答案:905.一个正方体纸盒展开后如图所示,在原正方体纸盒中有如下结论:ABEF;AB与CM所成的角为60;EF与MN是异面直线;MNCD.以上结论正确的为_.(填序号)【解析】把正方体的平面展开图还原成原来的正方体可知,ABEF,EF与MN是异面直线,ABCM,MNCD,只有正确.答案:6.如图所示,在正方体ABCD-EFGH中,O为侧面ADHE的中心,求:(1)BE与CG所成的角;(2)FO与BD所成的角. 【解析】(1)因为CGBF,所以EBF(或其补角)为异面直线BE与CG所成的角,又在BEF中,EBF=45,所以BE与CG所成的角为45.(2)
4、如图,连接FH,因为HDEA,EAFB,所以HDFB,又HD=FB,所以四边形HFBD为平行四边形.所以HFBD,所以HFO(或其补角)为异面直线FO与BD所成的角.连接HA,AF,易得FH=HA=AF,所以AFH为等边三角形,又知O为AH的中点.所以HFO=30,即FO与BD所成的角为30. (30分钟60分)一、单选题(每小题5分,共20分)1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,CD的中点为M,AA1的中点为N,则异面直线C1M与BN所成角为()A.30 B.60C.90D.120【解析】选C.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,CD的中点为M,AA1的中点为N,取AB的中点P
5、,连接B1P,则B1PC1M,易得B1PBN,所以异面直线C1M与BN所成的角为90.2.如图,点P,Q分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的面对角线AD1,BD的中点,则异面直线PQ和BC1所成的角为()A.30B.45C.60D.90【解析】选C.连接AC,D1C.由P,Q分别为AD1,BD的中点,知Q为AC中点,得PQCD1.又BC1AD1,所以AD1C为异面直线PQ和BC1所成的角.因为ACD1为等边三角形,所以AD1C=60.即异面直线PQ和BC1所成的角为60.3.如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是底面ABCD的中心,E,F分别是CC1,AD的中点.那么异
6、面直线OE和FD1所成的角的余弦值等于()A.B.C.D.【解析】选B.取BC的中点G,连接GC1,则GC1FD1,再取GC的中点H,连接HE,OH,因为E是CC1的中点,所以GC1HE,所以OEH为异面直线OE和FD1所成的角.在OEH中,OE=,HE=,OH=,由余弦定理可得cosOEH=.4.在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,侧面都是矩形,底面四边形ABCD是菱形,且AB=BC= 2,ABC=120,若异面直线A1B和AD1所成的角是90,则AA1的长度是()A.B.C.2D.2【解析】选B.连接CD1,AC,由题意得,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,A1D1=BC,A1D1B
7、C,所以四边形A1BCD1是平行四边形,所以A1BCD1,所以AD1C(或其补角)为A1B和AD1所成的角,因为异面直线A1B和AD1所成的角为90,所以AD1C=90,因为在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,ABC=120,所以AC=2sin 602=6,所以AD1=AC=3,所以AA1=.二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)5.如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,底面三角形A1B1C1是正三角形,E是BC的中点,则下列叙述正确的是()A.直线CC1与直线B1E相交B.CC1与AE共面C.AE与B1C1是异面直线D.AE与B
8、1C1垂直【解析】选ACD.因为CEB1C1且CE=B1C1,所以四边形CEB1C1为梯形,CC1与B1E必相交,A正确.由几何图形可知B错误,C正确.AE与B1C1所成的角就是AE与BC所成的角,又E为BC的中点,ABC为正三角形,所以AEBC,即AE与B1C1所成的角为90,选项D正确.6.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AD,C1D1的中点,O为正方形ABCD的中心,则下列结论错误的是()A.直线EF,OD1是异面直线,且EF=OD1B.直线OD1,B1B是异面直线且OD1B1BC.直线EF,OD1是相交直线,且EF=OD1D.直线OD1,B1B是相交直线且OD1=B1
9、B【解析】选ABD.因为正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别是AD,C1D1的中点,O为正方形ABCD的中心,如图,四边形D1EOF是矩形,直线EF,OD1是相交直线,A错误,直线OD1,B1B是相交直线,B错误;EF=OD1,OD1B1B,D错误.三、填空题(每小题5分,共10分)7.如图,在三棱锥A-BCD中,E,F,G分别是AB,BC,AD的中点,GEF=120,则BD和AC所成角的度数为_.【解题指南】求异面直线所成的角要找到它们的平行线,已知条件中的角会给解题提供方向.【解析】依题意知,EGBD,EFAC,所以GEF或其补角即为异面直线AC与BD所成的角,又GEF=120
10、,所以异面直线BD与AC所成的角为60.答案:608.如图,长方体ABCD-A1B1C1D1(侧棱垂直于底面内的所有直线),其中ABCD是正方形且边长为2,高为4,则异面直线BD1与AA1所成角的正弦值为_,异面直线BD1与AD所成角的正弦值是_.【解析】因为AA1DD1,所以DD1B即为异面直线BD1与AA1所成的角,连接BD,在RtD1DB中,sin DD1B=.因为ADBC,所以D1BC即为异面直线BD1与AD所成的角(或其补角),连接D1C,在D1BC中,因为长方体ABCD-A1B1C1D1的底面边长为2,高为4,所以D1B=2,BC=2,D1C=2,D1B2=BC2+D1C2,所以D
11、1CB=90,所以sinD1BC=,故异面直线BD1与AD所成角的正弦值是.答案:四、解答题(每小题10分,共20分)9.如图所示,在空间四边形ABCD中,AD=BC=2,E,F分别是AB,CD的中点.若EF=.求证:ADBC.【证明】取BD的中点H,连接EH,FH,因为E是AB的中点,且AD=2,所以EHAD,EH=1.同理FHBC,FH=1,所以EHF(或其补角)是异面直线AD,BC所成的角,又因为EF=,所以EH2+FH2=EF2,所以EFH是等腰直角三角形,EF是斜边,所以EHF=90,即AD,BC所成的角是90.故ADBC.10.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别
12、是棱CD,CC1的中点.求异面直线A1M与DN所成的角的大小.【解析】如图,过点M作MEDN交CC1于点E,连接A1E,则A1ME为异面直线A1M与DN所成的角(或其补角).设正方体的棱长为a,则A1M=a,ME=a,A1E=a,所以A1M2+ME2=A1E2,所以A1ME=90,即异面直线A1M与DN所成的角为90.1.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1与AC,AB所成的角均为60,BAC=90,且AB=AC=AA1,E是B1C1的中点,则直线AE与BC所成的角为_,直线A1B与AC1所成角的余弦值为_.【解析】如图所示,连接AB1,由三棱柱的性质可得AC1=AB1,又因为E是B1
13、C1的中点,所以AEB1C1,又BCB1C1,所以AEBC,即直线AE与BC所成的角为90.如图所示,把三棱柱补为四棱柱ABDC-A1B1D1C1,连接BD1,A1D1,AD,由四棱柱的性质知BD1AC1,则A1BD1就是异面直线A1B与AC1所成的角(或其补角).设AB=a,因为AA1与AC,AB所成的角均为60,且AB=AC=AA1,所以A1B=a,BD1=AC1=2AA1cos 30=a.又BAC=90,所以在矩形ABDC中,AD=a,所以A1D1=a,所以A1+A1B2=B,所以BA1D1=90,所以在RtBA1D1中cosA1BD1=.答案:902.如图所示,在等腰直角三角形ABC中,BAC=90,BC=,DAAC,DAAB,若DA=1,且E为DA的中点,求异面直线BE与CD所成角的余弦值.【解析】取AC的中点F,连接EF,BF.在ACD中,E,F分别是AD,AC的中点,所以EFCD,所以BEF即为所求的异面直线BE与CD所成的角(或其补角).在RtABC中,BC=,AB=AC,所以AB=AC=1.在RtEAB中,AB=1,AE=AD=,所以BE=.在RtAEF中,AF=AC=,AE=,所以EF=.在RtABF中,AB=1,AF=,所以BF=.在等腰三角形EBF中,cosFEB=,所以异面直线BE与CD所成角的余弦值为.