1、云天化中学 2020-2021 学年春季学期入学考试 高一数学 一、单选题 1.已知集合19AxNx，05Bxx，则 AB（）A.2,3,4B.1,2,3,4C.15xxD.15xxB分析：先求得集合1,2,3,4,5,6,7,8,9A，结合集合交集的运算，即可求解.解答：由题意，集合 191,2,3,4,5,6,7,8,9AxNx，05Bxx，则 AB 1,2,3,4.故选：B.2.17tan 6 的值为（）A.33B.33C.3D.3B分析：利用三角函数的诱导公式求解.解答：173tantan 3tan6663 ,故选:B3.函数2412yxx的单调递减区间为（）A.,2B.2,C.2,6
2、D.2 2,C分析：求得函数2412yxx的定义域，利用复合函数法可求得函数2412yxx的单调递减区间.解答：对于函数2412yxx，则24120 xx，即24120 xx，解得26x.所以，函数2412yxx的定义域为2,6.内层函数2412uxx 在区间2 2,上单调递增，在区间2,6 上单调递减，外层函数 yu为定义域上的增函数，因此，函数2412yxx的单调递减区间为2,6.故选：C.点拨：本题考查利用复合函数法求解函数的单调区间，解题时不要忽略了函数定义域的求解，考查计算能力，属于中等题.4.已知1cos62，则sin3（）A.12B.12C.32D.32B分析：利用诱导公式将题干
3、条件化简，即可得答案.解答：由题意得：1sin()sin(+)cos(+)32662，故选：B.5.若函数 2f xsinx对任意 x 都有3fxfx，则6f ()A.2 或 0B.0C.2 或 0D.2 或 2 D解答：由函数 2f xsinx对任意 x 都有3fxfx，可知函数图象的一条对称轴为直线 x 12 3 6.根据三角函数的性质可知，当 x 6 时，函数取得最大值或者最小值 6f 2 或2.故选 D.6.函数()tan()6f xx的图象的一个对称中心是（）A.(,0)3B.(,0)4C.(,0)2D.(,0)6A分析：由正切函数对称中心(,0),()2kkZ可以得到62kx，从而
4、解出满足条件的对称中心.解答：由正切函数的对称中心(,0),()2kkZ可以推出()f x 对称中心的横坐标满足()6262kkxxkZ，带入四个选项中可知，当1k 时，3x.故,03是图像一个对称中心，选 A.点拨：正切函数的对称中心为,02k，正弦函数的对称中心为,0k，余弦函数的对称中心为,0()2kkZ，解关于对称中心的题目时需要把整个三角函数看成一个整体，从整体性入手求出具体范围.7.函数2()1f xx 的定义域为0,4，则函数 22()yf xf x的值域为（）A.1,9922B.1,242C.1,42D.1,42 22B分析：先根据 f x 的定义域求出 22()yf xf x
5、的定义域，再换元利用二次函数的性质即可求出.解答：2()1f xx 的定义域为0,4，22()yf xf x中，20404xx ，解得02x，即 22()yf xf x的定义域为0,2，令2tx，则0,4t 则 22224242211()112222222yf xf xxxxxttt，当12t 时，min12y；当4t 时，max24y，22()yf xf x的值域为1,242.故选：B.8.已知定义在,00,.上函数 yf x满足 11f，且函数1yf x的图象关点()1,0-中心对称，对于任意1x，2(0,)x ，12xx，都有20192019112212()()0 xf xxf xxx成
6、立，则不等式20191()f xx的解集为（）A.1,00,1B.,10,1 C.,11,D.2019,00,2019B分析：根据题意可知函数 fx 为奇函数，构造函数 2019g xxf x，推导出函数 g x 在区间()0,+?上单调递增，且函数 g x 为偶函数，分0 x 和0 x 两种情况结合函数 g x 的单调性可解不等式 20191xfx.解答：由于函数1f x 的图象关于点()1,0-中心对称，则函数 fx 的图象关于原点对称所以，函数 fx 是定义在,00,上的奇函数令 2019g xxf x，则 20192019gxxfxxf xg x 所以，函数 g x 为偶函数对于任意1
7、x、20,x ，12xx，都有201920191122120 xf xxf xxx成立，即 12120g xg xxx.设12xx，则 12g xg x，所以函数 g x 在区间()0,+?上单调递增，且 11g.当0 x 时，由 20191xfx 可得 11g xg，解得01x；当0 x 时，由于偶函数 g x 在区间()0,+?上单调递增，则该函数在区间(),0-?上单调递减，且 111gg.由 20191xfx 可得 11g xg，解得1x .综上所述，不等式 20191xfx 的解集为,10,1.故选：B点拨：方法点睛：1、在解抽象函数的不等式时一般可以利用函数的单调性解不等式2、一般
8、地，对于任意1x、20,x ，12xx，若 12120g xg xxx成立，则 g x 在区间()0,+?上单调递增；若12120g xg xxx成立，则 g x 在区间()0,+?上单调递减.二、多选题 9.下列命题正确的有（）A.0 x，2210 xx B.0m 是函数2()1f xxmx 为偶函数的充要条件C.xR，2xxD.1x 是(1)(2)0 xx的必要条件AB分析：对于 A，解方程2210 xx 可判断；对于 B，利用充要条件的定义判断即可；对于 C，2,0,0 x xxxx x，可判断 C 错误；对于 D，由必要条件的定义判断即可解答：对于 A，2210 xx，解得28122x
9、，所以0 x，2210 xx，所以 A 正确；对于 B，“0m”时，函数 21f xx 是偶函数，“函数 21f xxmx 是偶函数时，由 fxf x得到0m，故 B 正确对于 C，2xx，所以xR，2xx不正确，所以 C 不正确对于 D，1x 可得120 xx，反之不成立，所以 D 不正确故选：AB10.(多选)函数()sin(2)f xx是 R 上的偶函数，则 的值可以是（）A.2B.C.32D.2ACD分析：利用函数奇偶性的性质可得 0sin1,2fkkZ ，进而可得答案.解答：因为函数()sin(2)f xx为 R 上的偶函数，函数()sin(2)f xx的图象关于 y 轴对称，可得(
10、0)sin1f ，则2k，kZ；所以0,1,1k 时，的值分别是3,2,22，故选：ACD11.关于函数()4sin 2()3f xxxR 有下列命题，其中正确的是（）A.()yf x的表达式可改写为()4cos 26f xx；B.()yf x是以2 为最小正周期的周期函数；C.yf x的图像关于点,06对称；D.yf x的图像关于直线6x对称AC分析】首先利用诱导公式化简可得 A 选项正确；可判断函数的最小正周期为，计算函数 yf x的对称中心及对称轴，可判断 C 选项正确.解答：对 A，()4sin 24sin(2)4cos(2)3626f xxxx，故 A 正确；对B，()yf x的最小
11、正周期为，故 B 错误；对 C，yf x的对称中心为,062kkZ，当0k 时，对称中心为,06，故 C 正确；对 D，yf x的对称轴为+122kxkZ，故 D 错误.故选：AC.12.（多选题）已知函数 22log1f xxaxa，给出下述论述，其中正确的是（）A.当0a 时，fx 的定义域为,11,B.fx 一定有最小值C.当0a 时，fx 的值域为 RD.若 fx 在区间2,上单调递增，则实数a 的取值范围是3a a ACD分析：对 A，当0a 时，求出函数()f x 的定义域，可判选项 A；当0a 时，函数()f x 的值域为 R，可判选项 B，C；根据复合函数单调性可知，内函数21
12、yxaxa 递增且0y 可求出a 的取值范围，可判断选项 D.解答：对 A，当0a 时，解210 x 有(,1)(1,)x ，故 A 正确；对 B，当0a 时，2()lg(1)f xx，此时(,1)(1,)x ，21(0,)x ，此时2()lg(1)f xx值域为 R，故 B 错误；对 C，同 B，故 C 正确；对 D，若()f x 在区间2,)上单调递增，此时21yxaxa 在2,)上单调递增，所以对称轴22ax ，且22210aa，解得4a 且33aa ，故 D正确.故选：ACD点拨：本题主要考查了对数型复合函数的定义域、值域、最值、单调性方法点睛：对于复合函数的单调性问题，可先将函数()
13、yf g x分解成()yf t和()tg x，再讨论这两个函数的单调性，最后根据复合函数“同增异减”的规则进行判断或求解.三、填空题 13.已知 tan2，则221 cossincossin的值是_.1分析：根据 tan2，由221 cossincossin222tantantan求解.解答：因为 tan2，所以222221 cos2cossinsincossinsincossin，222tantantan，24124，故答案为：114.函数()2 1f xxx的最大值为_2分析：利用换元法将函数换元构造出新函数，由新函数的定义域结合二次函数的性质求出最大值.解答：设10tx t，则21xt，
14、所以原函数可化为：2210yttt，由二次函数性质，当1t 时，函数取最大值 2.故答案为：2.点拨：本题考查换元法求函数最值，当函数解析式中含有根式时，一般考虑换元法，用换元法时要注意一定写出新变量数的取值范围，属于基础题型.15.已知函数 f x 是定义在 R 上奇函数，且满足对任意 x R，都有2 f xfx，若0,1x时，31xf x ，则19f _.2分析：利用奇函数的定义，已知条件推出函数()f x 是周期函数，周期为 4，然后由周期函数和奇函数的定义求值解 答：因 为 函 数 f x是 定 义 在 R 上 奇 函 数，所 以()fxf x，所 以 2fxfxfx 所以 42f x
15、f xf x，即()f x 是周期函数，周期为 4所以 19112fff 故答案为：2 16.已知函数1()2f xx，()g x 满足(4)()0gxg x，若函数 f x 的图象与函数 g x 的图象恰好有 2020 个交点，则这 2020 个交点的横坐标之和为_.4040分析：由已知函数可知()f x，g x 图象关于点 2,0 对称，构造新函数()()()F xg xf x得 F x 有 2020 个零点，结合对称性可求出横坐标之和.解答：因为1()2f xx是反比例函数1()f xx往右平移2 个单位，1fxx关于0,0 对称，所以函数1()2f xx的图象关于点2,0 对称.因为函
16、数 g x 满足(4)()0gxg x，所以 g x图象也关于点2,0 对称，函数()()()F xg xf x图象关于点2,0 对称，且 F x 有 2020 个零点，这 2020 个零点关于点2,0 对称，把这 2020 个零点首尾结合，两两关于点2,0 对称，和为4040，故这 2020 个交点的横坐标之和为 4040.故答案为：4040.点拨：关键点睛：本题的关键是构造新函数()()()F xg xf x，将已知两函数交点问题转化为函数零点个数问题.四、解答题 17.求函数解析式.（1）已知函数 yf x的图象关于原点对称，且当0 x 时，223xxxf.试求当0 x 时，f x 的解
17、析式；（2）已知 f x 满足 123f xfxx，求 f x.（1）当0 x 时，2()23f xxx（2）1()2f xxx分析：（1）由函数图象的对称性得函数为奇函数，利用()()fxf x 可求得结果；（2）将 x 替换为 1x得到一个方程，与原方程联立消去1()f x可解得结果.解答：（1）因为函数 yf x的图象关于原点对称，所以函数()yf x为奇函数，所以()()fxf x，因为当0 x 时，223xxxf，所以当0 x 时，0 x，22()()2323f xfxxxxx .（2）由 123f xfxx得132()()ff xxx，所以两个方程联立消去1()f x可得1()2f
18、 xxx.点拨：关键点点睛：（1）根据奇函数性质将负数的函数值转为正数的函数值求解是解题关键；（2）根据已知函数方程构造出一个函数方程，然后消元求解是解题关键.18.计算：（1）230223482lg2lg5log 4 log 927e.（2）已知2log8A，3log9BBA，求实数 B 的值.（1）14；（2）1.分析】（1）利用指数和对数的运算以及换底公式求解.（2）利用换底公式化简得到6A，则由3log96BB，再利用指对互化求解.解答：（1）原式23322722lg22lg52log 2 log 38，9122244.（2）因为22log86log 26A，3log96BB，所以23
19、9636BBB，解得33B 或-2(舍)，所以1B.19.设函数2log(1)yx的定义域为 A，集合220Bx xx.（1）求集合 A，B，并求RAB；（2）若集合21Cx axa，且 BCC，求实数 a 的取值范围.（1）2Ax x，02Bxx，2RABx x；（2）0,).分析：（1）由对数函数的性质可得2Ax x，由二次不等式可得 02Bxx，再由集合的交集、补集的概念即可得解；（2）转化条件为CB，按照C 、C 分类，运算即可得解.解答：（1）因为2102log(1)0 xxx，所以2Ax x，又220 02Bx xxxx，0RBx x或2x，所以2RABx x；（2）因为 BCC，
20、所以CB，当C 时，21aa，解得1a ，符合题意；当C 时，则12200112aaaaa ；综上：a 的取值范围是0,).20.已知，tan()cos(2)sin()2()cos()f（1）化简()f ；（2）若53()25f，求 tan（1）sin；（2）当 是第二象限角时，4tan3 ，当 是第三象限角时，4tan3 分析：（1）根据诱导公式以及同角公式化简可得结果；（2）由53()25f 得3cos5 ，再讨论 的象限可求得结果.解答：（1）tan()cos(2)sin()tancoscos2()sincos()cosf（2）53()25f，53sin()25，可得3cos5 ，是第二
21、或第三象限角，当 是第二象限角时，24sin1 cos5，sintans43co，当 是第三象限角时，24sin1 cos5 ，sin4tancos3点拨：关键点点睛：掌握诱导公式和同角公式是解题关键.21.已知函数()2sin 216f xx（1）求()f x 的最小正周期及单调递增区间；（2）当,6 3x 时，方程()f xk有实数解，求实数 k 的取值范围（1），,36kkkZ；（2）2,1.分析：（1）根 据 函 数()2 s i n216fxx,利 用2T求 得 周 期，然 后 令222262kxk求得增区间；（2）根据,6 3x 时，方程()f xk有实数解，则实数 k 的范围即为
22、()f x 的值域求解.解答：（1）因为函数()2sin 216f xx,所以()f x 的最小正周期22T,令222262kxk，解得36kxk，所以函数()f x 的单调递增区间是,36kkkZ；（2）因为,6 3x ，所以52,666x，所以1sin 2,162x，所以 2,1f x ，因为方程()f xk有实数解，所以2,1k ，所以实数 k 的取值范围是2,122.定义在1,1上的函数 f x 满足：对任意的 x，1,1y，都有：1xyf xfyfxy.（1）求证：函数 f x 是奇函数；（2）若当1,0 x 时，有 0f x，求证：f x 在1,1上是减函数；（3）若112f ，2
23、21f xtat 对所有1 1,2 2x，1,1a 恒成立，求实数t的取值范围.（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）2t 或0t 或2x分析：（1）令0 xy得 0f，再令 yx 即可证明.（2）根据定义结合已知证明.（3）转化为 2max21tatf x，再变换主次元考虑.解答：（1）证明：令0 xy得：00f设任意(1,1)x，则(1,1)x ，()()(0)0f xfxf，即()()fxf x，函数 f x 是奇函数；（2）设1211xx ，则2(1,1)x，121212121xxf xf xf xfxfx x由1211xx 知：120 xx，且121,1xx，所以121x x ，
24、即1 210 x x，121201xxx x，又1212121211(1)011xxxxx xx x 即1212(1,0)1xxx x，从而121201xxfx x，即 120f xf x，12f xf x，所以 f x 在(1,1)上是减函数；（3）由（2）函数 f x 在(1,1)上是减函数，则当1 1,2 2x 时，函数 f x 的最大值为11122ff，若2()21f xtat对所有1 1,1,12 2xa 恒成立，则等价为2121tat对 1,1a 恒成立，即220tat，设22()22g atattat，则对 1,1a 恒成立，(1)0(1)0gg，即222020tttt，即 t2t0t0t2 或或，解得2t 或0t 或2x【方法点睛】多变量不等式恒成立问题处理：按照题意分清主次元，确定降元次序；考察指定元所对应的函数关系；由特定元的范围，建立不等式（组）.