1、课时素养评价 十六正 弦 定 理 (20分钟35分)1.在ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若A=105,B=45,b=2,则c=()A.B.1C.D.2【解析】选D.由三角形内角和定理得:C=180-(A+B)=180-(105+45)=30.由正弦定理得c=2.2.在ABC中,AB=2,AC=3,B=60,则cos C=()A.B.C.D.【解析】选B.由正弦定理,得=,即=,解得sin C=.因为ABAC,所以C1,故三角形无解.4.在ABC中,AB=,AC=1,B=30,则ABC的面积等于_.【解析】由正弦定理得sin C=,又因为0Cb,则AB,显然两个结果都满足题意.
2、2.在ABC中,若3b=2asin B,cos A=cos C,则ABC的形状为()A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形【解析】选C.由正弦定理知b=2Rsin B,a=2Rsin A,则3b=2asin B可化为:3sin B=2sin Asin B.因为0B1,因此该三角形无解.【补偿训练】有分别满足下列条件的两个三角形:B=30,a=14,b=7;B=60,a=10, b=9,那么下列判断正确的是()A.都只有一解B.都有两解C.两解,一解D.一解,两解【解析】选D.因为B=30,a=14,b=7,所以由正弦定理=得sin A=1,所以A=90,可得三角形只有一解
3、;因为B=60,a=10,b=9,所以由正弦定理=,得sin A=.因为B=60,ab,A(0,180),所以角A有两个值满足sin A=,一个是锐角,另一个是钝角,并且这两个值互补,因此三角形有两解.4.在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,向量m=(,-1),n=(cos A,sin A),若mn,且acos B+bcos A=csin C,则角A,B的大小为()A.,B.,C.,D.,【解析】选C.因为mn,所以cos A-sin A=0,所以tan A=,则A=.由正弦定理得:sin Acos B+sin Bcos A=sin 2C,所以sin(A+B)=sin 2C,所以s
4、in C=sin 2C.因为0CB,则sin Asin BC.在ABC中,若=,且(b+c+a)(b+c-a)=3bc,则A=120D.在ABC中,sin2A=sin2B+sin2C-2sin Bsin Ccos A【解析】选ABD.对于A,由正弦定理=,可得abc=sin Asin Bsin C,所以A正确;对于B,当AB时,ab,由正弦定理得sin Asin B,所以B正确;对于C,由(b+c+a)(b+c-a)=3bc得b2+c2-a2=bc,由余弦定理得cos A=,所以A=60,故C错误;对于D,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A结合正弦定理得,sin2A=sin2B+s
5、in2C-2sin Bsin Ccos A,所以D正确.6.(2020石家庄高一检测)在三角形ABC中,下列说法正确的有()A.若A=30,b=4,a=5,则三角形ABC有两解B.若0tan Atan B1,则ABC一定是钝角三角形C.若cos(A-B)cos(B-C)cos(C-A)=1,则ABC一定是等边三角形D.若a-b=ccos B-ccos A,则ABC的形状是等腰或直角三角形【解析】选BCD.因为A=30,b=4,a=5,所以由正弦定理得sin B=,因为ba,所以B只有一个解,故A错误.由0tan Atan B1,得00,即cos(A+B)0,所以A+B,故ABC一定是钝角三角形
6、,故B正确.因为cos(A-B)cos(B-C)cos(C-A)=1,所以cos(A-B)=cos(B-C)=cos(C-A)=1,所以A=B=C=60,故C正确.因为a-b=ccos B-ccos A,所以sin A-sin B=sin Ccos B-sin Ccos A,所以sin A-sin Ccos B=sin B-sin Ccos A,因为sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C,sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C,所以sin Bcos C=sin Acos C,所以cos C=0或sin A=sin B,所以C=
7、或A=B,所以ABC的形状是等腰或直角三角形.【光速解题】A选项,因为bB,有唯一解,故错误;B选项,tan Atan B=1时有A+B=,0tan Atan B1时有A+B,故正确;C选项,因为三角形的内角A一定满足-1cos A1,故三式相乘等于1说明各项均为1,故正确;D选项代入验证成立.三、填空题(每小题5分,共10分)7.(2020沈阳高一检测)在ABC中,若b=2,A=120,三角形的面积S=,则三角形外接圆的半径为_.【解题指南】三角形面积公式选用时通常以角为准,同时明确正弦定理应该完整记忆,即=2R.【解析】在ABC中,因为b=2,A=120,三角形的面积S=bcsin A=c
8、,所以c=2=b,故B=C=(180-A)=30,再由正弦定理可得=2R=4,所以三角形外接圆的半径R=2.答案:2【补偿训练】已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若A=,b=(4+2)acos B,且b=1,则B=_;ABC的面积为_.【解析】依题意A=,b=(4+2)acos B,由正弦定理得sin B=(4+2)sincos B,解得tan B=2+,而tan=2+,而B(0,),所以B=+=,则C=-=B,所以c=b=1,所以S=cbsin A=11=.答案:8.(2020北京高一检测)在ABC中,AB=4,B=,点D在边BC上, ADC=,CD=2,则AD=_;ACD的
9、面积为_.【解析】因为ADC=,所以ADB=,在ABD中由正弦定理得=,AD=4.在ACD中SACD=ADDCsinCDA=42=2.答案:42四、解答题(每小题10分,共20分)9.某海轮以30海里/小时的速度航行,在A点测得海面上油井P在南偏东60,向北航行40分钟后到达B点,测得油井P在南偏东30,海轮改为北偏东60的航向再行驶80分钟到达C点,求P,C间的距离.【解析】在ABP中,AB=30=20,APB=30,BAP=120,由正弦定理得=,即=,解得BP=20.在BPC中,BC=30=40,由题意知PBC=90,所以PC=20(海里).所以P,C间的距离为20海里.10.(2020
10、江苏高考)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=3, c=,B=45.(1)求sin C的值;(2)在边BC上取一点D,使得cosADC=-,求tanDAC的值.【解析】(1)由余弦定理,得cos B=cos 45=,因此b2=5,即b=,由正弦定理=,得=,因此sin C=.(2)因为cosADC=-,所以sinADC=,因为ADC,所以C,所以cos C=,所以sinDAC=sin(-DAC)=sin(ADC+C)=sinADCcos C+cosADCsin C=,因为DAC,所以cosDAC=,故tanDAC=.1.我国南宋著名数学家秦九韶发现了由三角形三边求三角形面积
11、的“三斜公式”,设ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为S,则“三斜求积”公式为_.若a2sin C=2sin A,(a+c)2=4+2+b2,则用“三斜求积”公式求得ABC的面积为_.【解析】由余弦定理得cos B=,所以sin B=,所以SABC=acsin B=ac=.因为a2sin C=2sin A,所以a2c=2a,即ac=2,又因为(a+c)2=4+2+b2,所以c2+a2-b2=2,S=.答案:S=2.在ABC中,已知=,且cos(A-B)+cos C=1-cos 2C.(1)试确定ABC的形状;(2)求的取值范围.【解析】(1)在ABC中,设其外接圆半径为R,根据正弦定理得sin A=,sin B=,sin C=,代入=,得=,所以b2-a2=ab.因为cos(A-B)+cos C=1-cos 2C,所以cos(A-B)-cos(A+B)=2sin2C,所以sin Asin B=sin2C.由正弦定理,得=,所以ab=c2.把代入得,b2-a2=c2,即a2+c2=b2.所以ABC是直角三角形.(2)由(1)知B=,所以A+C=,所以C=-A.所以sin C=sin=cos A.根据正弦定理,得=sin A+cos A=sin.因为acab=c2,所以ac,所以0A,所以A+,所以sin1,所以1sin,即的取值范围是(1,).