1、2020-2021学年北京市房山区高二（下）期中数学试卷一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分）18，2的等差中项是（）A5B4C5D42设Sn为数列an的前n项和，且Snn2+1，则a5（）A26B19C11D93下列结论正确的是（）A若ysinx，则ycosxB若y，则yC若ycosx，则ysinxD若ye，则ye4已知函数f（x）（2x1）3，则f（1）（）A8B6C3D15若1，a，b，c，4成等比数列，则abc（）A16B8C8D86生物学指出：生态系统中，在输入一个营养级的能量中，大约10%的能量能够流到下一个营养级在H1H2H3这个生物链中，若能使H3获得10kJ的能量，则
2、需H1提供的能量为（）A102kJB101kJC102kJD103kJ7已知an为等比数列，下列结论中正确的是（）Aa3+a52a4B若a3a5，则a1a2C若a3a5，则a5a7Da48若函数f（x）x2mx+10在（2，1）上是减函数，则实数m的取值范围是（）A2，+）B4，+）C（，2D（，49直线y5x+b是曲线yx3+2x+1的一条切线，则实数b（）A1或1B1或3C1D310已知函数f（x）（x1）2ex，下列结论中错误的是（）A函数f（x）有零点B函数f（x）有极大值，也有极小值C函数f（x）既无最大值，也无最小值D函数f（x）的图象与直线y1有3个交点二、填空题共5小题，每小题
3、5分，共25分。11设某质点的位移xm与时间ts的关系是xt2+4t，则质点在第3s时的瞬时速度等于 s/m12函数f（x）的定义域为0，4，函数f（x）与f（x）的图象如图所示，则函数f（x）的单调递增区间为 13写出一个公比q的递增等比数列的通项公式 14已知函数f（x）的定义域为R，f（x）的导函数f（x）（xa）（x2），若函数f（x）无极值，则a ；若x2是f（x）的极小值点，则a的取值范围是 15设集合Ax|x4n3，nN*，Bx|x3n1，nN*，把集合AB中的元素按从小到大依次排列，构成数列an，则a2 ，数列an的前50项和S50 三、解答题共6小题，共75分。解答应写出文字
4、说明，演算步骤或证明过程。16已知函数f（x）x3x23x+1（）求函数f（x）的单调区间；（）求函数f（x）的极值17已知数列an满足a11，2，等差数列bn满足b1a3，b2a1（）求数列an，bn的通项公式；（）求数列an+bn的前n项和18已知an是等差数列，其前n项和为Sn，a43再从条件条件这两个条件中选择一个作为已知，求：（）数列an的通项公式；（）Sn的最小值，并求Sn取得最小值时n的值条件：S424；条件：a12a319已知数列an中，a11且an+1（）求数列an的第2，3，4项；（）根据（）的计算结果，猜想数列an的通项公式，并用数学归纳法进行证明20某公司销售某种产品的
5、经验表明，该产品每日销售量Q（单位：千克）与销售价格x（单位：元/千克）满足关系式Q+10（x6）2，其中3x6该产品的成本为3元/千克（）写出该产品每千克的利润（用含x的代数式表示）；（）将公司每日销售该商品所获得的利润y表示为销售价格x的函数；（）试确定x的值，使每日销售该商品所获得的利润最大21已知函数f（x）lnx+ax（aR）（）当a1时，求曲线yf（x）在x1处的切线方程；（）求函数f（x）的单调区间；（）若存在x0，使得f（x0）0，求a的取值范围参考答案一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分）18，2的等差中项是（）A5B4C5D4解：根据等差中项的性质，可得8，2的等差
6、中项是5，故选：C2设Sn为数列an的前n项和，且Snn2+1，则a5（）A26B19C11D9解：根据题意，数列an中Snn2+1，则a5S5S4（25+1）（16+1）9，故选：D3下列结论正确的是（）A若ysinx，则ycosxB若y，则yC若ycosx，则ysinxD若ye，则ye解：根据题意，依次分析选项：对于A，ysinx，ycosx，A正确；对于B，y，则y，B错误；对于C，ycosx，则ysinx，C错误；对于D，ye，则y0，D错误；故选：A4已知函数f（x）（2x1）3，则f（1）（）A8B6C3D1解：根据题意，函数f（x）（2x1）3，则f（x）6（2x1）2，则f（1
7、）6（21）26，故选：B5若1，a，b，c，4成等比数列，则abc（）A16B8C8D8解：若1，a，b，c，4成等比数列，b2ac14，b2，（负不合题意，奇数项符号相同），则abc248，故选：B6生物学指出：生态系统中，在输入一个营养级的能量中，大约10%的能量能够流到下一个营养级在H1H2H3这个生物链中，若能使H3获得10kJ的能量，则需H1提供的能量为（）A102kJB101kJC102kJD103kJ解：根据题意可知：能量流动法则里表明能量的效率大约是10%，如果要使H3获得10kJ能量，则H1（10%）2H3，解得H1103KJ，故选：D7已知an为等比数列，下列结论中正确的
8、是（）Aa3+a52a4B若a3a5，则a1a2C若a3a5，则a5a7Da4解：对于A：若a31，a42，a54，则a3+a52a4不成立，故A错误；对于B：若a3a5，则a1q2a1q4，解得q1，此时a1a2不一定成立，故B错误；对于C：若a3a5，则a3q2a5q2，此时a5a7，故C正确；对于D：a4，故D错误；故选：C8若函数f（x）x2mx+10在（2，1）上是减函数，则实数m的取值范围是（）A2，+）B4，+）C（，2D（，4【解答】解；因为f（x）x2mx+10在（2，1）上是减函数，所以，解得m2故选：A9直线y5x+b是曲线yx3+2x+1的一条切线，则实数b（）A1或1
9、B1或3C1D3解：设切点M（m，n），y3x2+2，则3m2+25，解得m1或1；若m1，则n5+b13+21+14b1；若m1，则n5+b（1）3+2（1）+12b3；综上所述，b1或3，故选：B10已知函数f（x）（x1）2ex，下列结论中错误的是（）A函数f（x）有零点B函数f（x）有极大值，也有极小值C函数f（x）既无最大值，也无最小值D函数f（x）的图象与直线y1有3个交点解：对于Af（1）0，函数f（x）有零点，因此A正确对于BC令f（x）（x+1）（x1）ex0，解得x1或1可得函数f（x）在（，1）上单调递增，在（1，1）上单调递减，在（1，+）上单调递增，因此x1是函数f（
10、x）的极大值点，x1是函数f（x）的极小值点，因此函数f（x）有极小值，也有极大值，因此B正确，C不正确对于D由上面可知：x1是函数f（x）的极大值点，x1是函数f（x）的极小值点，可得极大值f（1）1，极小值f（1）0，又x时，f（x）0；x+时，f（x）+函数f（x）的图象与直线y1有3个交点，因此D不正确故选：C二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。11设某质点的位移xm与时间ts的关系是xt2+4t，则质点在第3s时的瞬时速度等于10s/m解：xt2+4t，x2t+4，则t3时，x23+410，故答案为：1012函数f（x）的定义域为0，4，函数f（x）与f（x）的图象如图所示，则
11、函数f（x）的单调递增区间为（2，4解：若f（x）的图像为虚线，则f（x）的图像为实线，由f（x）0，得：x3，故f（x）在（3，4）递增，与f（x）的实线不符，故不成立；若f（x）的图像为实线，则f（x）的图像为虚线，由f（x）0，得：x2，故f（x）在（2，4）递增，与f（x）的图像为虚线相符，故成立；综上：f（x）在（2，4递增，故答案为：（2，413写出一个公比q的递增等比数列的通项公式an（）n，（首项为负数即可）解：若等比数列为递增的，由于公比q，则首项为负数即可，则an（）n，故答案为：an（）n，（首项为负数即可）14已知函数f（x）的定义域为R，f（x）的导函数f（x）（xa
12、）（x2），若函数f（x）无极值，则a2；若x2是f（x）的极小值点，则a的取值范围是（，2）解：函数f（x）的定义域为R，f（x）的导函数f（x）（xa）（x2），由函数f（x）无极值，则f（x）0恒成立，可得a2令f（x）（xa）（x2）0，解得xa或2若x2是f（x）的极小值点，则a2则a的取值范围是（，2）故答案为：2，（，2）15设集合Ax|x4n3，nN*，Bx|x3n1，nN*，把集合AB中的元素按从小到大依次排列，构成数列an，则a23，数列an的前50项和S504590解：数列4n3是首项为1，公差为4的等差数列，数列3n1是首项为1，公比为3的等比数列，可得a11，a23，
13、由3，27不在A中，1，9，81在A中，也在B中，由4n3243，可得n50，则243不在数列an的前50项内则数列an的前50项的和为（1+5+9+.+4483）+3+2748（1+4483）+304560+304590故答案为：3，4590三、解答题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。16已知函数f（x）x3x23x+1（）求函数f（x）的单调区间；（）求函数f（x）的极值解：（）f（x）x3x23x+1，定义域是R，f（x）x22x3（x3）（x+1），令f（x）0，解得：x3或x1，令f（x）0，解得：1x3，故f（x）在（，1）递增，在（1，3）递减，在（3，
14、+）递增；（）由（）f（x）在（，1）递增，在（1，3）递减，在（3，+）递增，则f（x）极大值f（1），f（x）极小值f（3）817已知数列an满足a11，2，等差数列bn满足b1a3，b2a1（）求数列an，bn的通项公式；（）求数列an+bn的前n项和解：（）由a11，2，可得an2n1；设等差数列bn的公差为d，由b1a34，b2a11，可得db2b13，则bn43（n1）73n；（）an+bn2n1+73n，可得数列an+bn的前n项和为（1+2+4+.+2n1）+（4+1+.+73n）+n（4+73n）2n1+18已知an是等差数列，其前n项和为Sn，a43再从条件条件这两个条件中
15、选择一个作为已知，求：（）数列an的通项公式；（）Sn的最小值，并求Sn取得最小值时n的值条件：S424；条件：a12a3解：若选择条件：（）设等差数列an的公差为d，由a43，得a1+3d3；又S424，得4a1+24，即2a1+3d12联立，解得a19、d2，所以an9+2（n1）2n11（）由（）可知：Sn9n+2n210n，所以S55210525，根据二次函数的性质可得当n5时Sn有最小值且最小值为S525若选择条件：（）设等差数列an的公差为d，由a43，得a1+3d3；又a12a3，得a12（a1+2d）即a1+4d0联立，解得a112、d3，所以an12+3（n1）3n15（）由
16、（）可知：Sn12n+3n2n，由于nN+，所以当n4或n5时Sn有最小值且最小值为S4S53019已知数列an中，a11且an+1（）求数列an的第2，3，4项；（）根据（）的计算结果，猜想数列an的通项公式，并用数学归纳法进行证明解：（）a11且an+1，a2，a3，a4；（）根据（）的计算结果，可猜想数an，证明如下：当n1时，等式成立，假设当nk时等式成立，即ak，那么当nk+1时，ak+1，所以当nk+1时，等式成立，由，对于任何nN*，an20某公司销售某种产品的经验表明，该产品每日销售量Q（单位：千克）与销售价格x（单位：元/千克）满足关系式Q+10（x6）2，其中3x6该产品的
17、成本为3元/千克（）写出该产品每千克的利润（用含x的代数式表示）；（）将公司每日销售该商品所获得的利润y表示为销售价格x的函数；（）试确定x的值，使每日销售该商品所获得的利润最大解：（）由题意可知每千克的利润为x3；（）由题意可知y10（x3）360（x3）2+90（x3）+2，（3x6），（）由（2）知y30（x4）（x6），令y0，解得x4，或x6；函数在（3，4）上单调递增，在（4，6）上单调递减，x4时，函数取得最大值为42，即售价为4元时日利润最大为42元21已知函数f（x）lnx+ax（aR）（）当a1时，求曲线yf（x）在x1处的切线方程；（）求函数f（x）的单调区间；（）若存在
18、x0，使得f（x0）0，求a的取值范围解：（）a1时，f（x）lnx+x，则f（x）+1，f（1）1，f（1）2，故切线方程为：y12（x1），即2xy10（）函数f（x）lnx+ax（aR）的定义域为（0，+）；f（x），当a0时，f（x）0，则函数f（x）lnx+ax（aR）在（0，+）上单调递增；当a0时，x（0，）时，f（x）0，则函数f（x）lnx+ax（aR）在（0，）上单调递增；x（，+）时，f（x）0，则函数f（x）lnx+ax（aR）在（，+）上单调递减综上所述，当a0时，函数f（x）的单调递增区间为（0，+）；当a0时，函数f（x）的单调递增区间为（0，）；单调递减区间为（，+）（）由（）知：a0时，f（x）在（0，+）单调递增，而f（1）a0，则存在x0，使得f（x0）0，a0时，f（x）在（0，）递增，在（，+）递减，故f（x）maxf（）ln（a）10，即ln（a）1，解得：a0，综上：a的取值范围是（，+）