1、高淳县湖滨高级中学2012届高三年级第四次模拟考试数学试卷1(满分160分,时间120分钟)一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分请把答案直接填写在答题卡相应位置上.1. 已知集合，则 .2. 若复数的实部为，模为，则复数的虚部是 .3. 有红心1，2，3和黑桃4，5这5张扑克牌，现从中随机抽取一张，则抽到的牌为红心的概率是 .4. 已知，则 .5. 根据如图所示的伪代码，可知输出的结果为 .6. 如图，是某班一次竞赛成绩的频数分布直方图，利用组中值可估计其的平均分为 .I1While I8 IEnd WhilePrint S(第5题)（第6题）O 20 40 60 80 100
2、成绩 6 42 108 人数7. 设向量，若与垂直，则实数的值为 .8. 已知点，若直线在轴与轴上的截距相等，则实数= .9. 已知数列的前项和，第项满足，则 .10. 已知为正实数，满足，则的最小值为 .11. 已知存在实数，满足对任意的实数，直线都不是曲线的切线，则实数的取值范围是 .12. 已知的周长为16，面积为6，且，则 13. 在平面直角坐标系中，以椭圆上的一点为圆心的圆与轴相切于椭圆的一个焦点，与轴相交于两点，若ABC是锐角三角形，则该椭圆的离心率的取值范围是 .14. 设函数对于任意，都有成立，则实数= .二、解答题：本大题共6小题，共90分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写
3、出文字说明、证明过程或演算步骤15（本题满分14分）已知且（1）求的值；（2）证明：16（本题满分14分）（第16题图）如图，正方形所在的平面与三角形所在的平面交于，平面，且（1）求证：平面；（2）求证：平面平面； 17（本题满分15分） 请你设计一个纸盒如图所示，ABCDEF是边长为30cm的正六边形硬纸片，切去阴影部分所示的六个全等的四边形，再沿虚线折起，正好形成一个无盖的正六棱柱形状的纸盒G、H分别在AB、AF上，是被切去的一个四边形的两个顶点，设AGAHx(cm)（1）若要求纸盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？（2）若要求纸盒的的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？ABCD
4、EFGH（第17题图）并求此时纸盒的高与底面边长的比 18（本题满分15分）在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，右顶点为，直线过原点，且点在x轴上方，直线与分别交直线：于点、.（1）若点，求ABC的面积；（2）若点为动点，设直线与的斜率分别为、.EFCxyABO（第18题） 试探究：是否为定值？若为定值，请求出；若不为定值，请说明理由； 求AEF的面积的最小值. 19（本题满分16分） 设,其中()为常数数列an的首项，前n项和为对于任意的正整数n，都成立（1）若，求证：数列an是等比数列；（2）试确定所有的自然数k，使得数列an能成等差数列20（本题满分16分） 已知函数，其中为常数（1）求
5、证：函数的图象必过定点；（2）若在上为单调减函数，求实数的取值范围；（3）是否存在正整数，使得的解集恰好为？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由第2巻（附加题 共40分）【选做题】在A，B，C，D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤A选修41：几何证明选讲OABPEC如图，AB为O的直径，BC切O于B，AC交O于P，CE=BE，E在BC上求证：PE是O的切线B选修4-2：矩阵与变换在平面直角坐标系中，设椭圆在矩阵对应的变换作用下得到曲线F，求F的方程.C选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，A为曲线上的动点， B为直线上的动点，求AB的
6、最小值。D选修45：不等式选讲设x，y，z为正数，证明：【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。22学校文娱队的每位队员唱歌、跳舞至少会一项，已知会唱歌的有2人，会跳舞的有5人，现从中选2人设为选出的人中既会唱歌又会跳舞的人数，且（1）求文娱队的队员人数；（2）写出的概率分布列并计算23. 在平面直角坐标系中，抛物线的顶点在原点，焦点的坐标为（1）求抛物线的标准方程；（2）设是抛物线的准线上的两个动点，且它们的纵坐标之积为，直线,与抛物线的交点分别为点，求证：动直线恒过一个定点高淳县湖滨高级中学2012届高三年级
7、第四次模拟考试数学试卷1答案1 2 3 4 5 6 7 8-391或8 10 11 12. 13. 14. 1 15、（1）将代入得（4分） 所以又， 解得（6分） （2）易得，又 所以，（8分） 由（1）可得，（10分） 所以（14分）（第16题图）16、（1）正方形ABCD中， 又平面CDE， 平面CDE， 所以平面CDE（6分） （2）因为， 且， 所以，（8分） 又 且， ， 所以，（12分） 又， 所以（14分）ABCDEFGH（第17题图）17、（本小题15分）（1）易得正六棱柱的底面正六边形的边长为，正六棱柱的高为， 所以纸盒的侧面积S，（5分） 因为该二次函数开口向下，且对称轴
8、方程为， 所以当cm时，侧面积S最大 （7分）（2）纸盒的容积V，（10分） 由得，或（舍去），（12分）x5+0极大值9000 列表： 所以当cm时，容积V最大，此时纸盒的高与底面边长的比为（15分）EFCxyABO（第18题）18、（1）由题意得解得， （3分）则ABC的面积；（5分）（2） 为定值，下证之： 证明：设，则，且， （7分） 而 由（1）得， 所以； （10分） 易得直线的方程为， 直线的方程为， 令得， 则AEF的面积， （13分） 因为点在x轴上方，所以， 由得（当且仅当时等号成立） 所以，AEF的面积的最小值为.（15分）19、（1）若，则即为常数，不妨设（c为常数）
9、因为恒成立，所以，即 而且当时， ， 得 若an=0，则，a1=0，与已知矛盾，所以 故数列an是首项为1，公比为的等比数列（6分） （2）(i) 若k=0，由（1）知，不符题意，舍去（8分） (ii) 若k=1，设（b，c为常数）， 当时， ， 得 要使数列an是公差为d（d为常数）的等差数列，必须有（常数）， 而a1=1，故an只能是常数数列，通项公式为an =1， 故当k=1时，数列an能成等差数列，其通项公式为an =1，此时（11分） (iii) 若k=2，设（，a，b，c是常数）， 当时， ， 得 ， 要使数列an是公差为d（d为常数）的等差数列，必须有，且 d=2a， 考虑到a1
10、=1，所以 故当k=2时，数列an能成等差数列，其通项公式为， 此时（a为非零常数）（14分） (iv) 当时，若数列an能成等差数列，则的表达式中n的最高次数为2， 故数列an不能成等差数列（14分） 综上得，当且仅当k=1或2时，数列an能成等差数列（16分）20、（1）易得，即 所以yO-1（图1）解得 故的图象必过定点；（4分）x （2）判别式， 当时，即时， 函数0恒成立， 所以， 对称轴方程为，所以当时符合题意（如图1）， 此时；（7分） 当时，即时，方程的两个实根为， yO-1x1（图2）x不妨设，由题意及图象得 或 即（如图2） xO-1x1x2（图3）y或 （如图3） 解得，
11、此时， 综上得m的取值范围是（10分） （3）由题意得（12分） 所以a，b是方程的两个不同的实数解， 由根与系数的关系得 消去m得，即 当时，上式显然不可能成立，故，所以， 因为，所以是2的约数即a的所有可能值分别为0，2，-1，2，对应的b的所有可能值依次为0，4，1，3， 因为，所以（舍）或 对应的m的值为8， 经检验，满足， 所以即为所求（16分）高淳县湖滨高级中学2012届高三年级第四次模拟考试数学附加题答题卷B.是椭圆上任意一点，点在矩阵对应的变换下变为点 则有 ，即，所以， 又因为点在椭圆上，故，从而， 所以，曲线的方程是 C.方程为，圆心，直线方程为，圆心到直线的距离，所以22：设既会唱歌又会跳舞的有人，则文娱队中共有（）人，只会一项的人数是（）人 (2分) (1)，即解得 (4分)故文娱队共有5人 (5分)(2) ， (7分)的概率分布列为012=1 (10分) 综上所述，不等式成立23：（1）设抛物线的标准方程为，则，所以抛物线C的标准方程为 （2）抛物线的准线方程为，设， 则直线的方程为：，将与联立方程，得A点的坐标为，同理可得B点的坐标为则直线AB的方程为：，整理，得由， 得， 故动直线恒过一个定点