1、滚动复习9一、选择题(每小题5分，共35分)1若两个平面互相垂直，第一个平面内的一条直线a垂直于第二个平面内的一条直线b，那么(C)A直线a垂直于第二个平面B直线b垂直于第一个平面C直线a不一定垂直于第二个平面Da必定垂直于过b的平面解析：若b为两个平面的交线，则直线a垂直于第二个平面；若b不是两个平面的交线，则直线a不一定垂直于第二个平面2从空间一点P向二面角l的两个面，分别作垂线PE，PF，E，F为垂足，若EPF60，则二面角的平面角的大小是(C)A60 B120C60或120 D不确定解析：若点P在二面角内，则二面角的平面角为120；若点P在二面角外，则二面角的平面角为60.3已知m，n
2、是两条不同的直线，是两个不同的平面，且n，则下列叙述正确的是(C)A若mn，m，则 B若，m，则mnC若mn，m，则 D若，mn，则m解析：对于A，两个平面内各一条直线互相平行，不能保证两个平面互相平行，A错误；对于B，分别在两个互相平行的平面内的两条直线不能保证相互平行，B错误；对于C，两条平行线中的一条垂直于一个平面，可得另一条也垂直于这个平面，于是内有一条直线垂直于，故，C正确；对于D，m垂直于内的一条直线，不能保证m垂直于，故不能得到m垂直于，D错误4在长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1AD2AB.若E，F分别为线段A1D1，CC1的中点，则直线EF与平面ADD1A1所成角的正弦
3、值为(C)A. B.C. D.解析：取DD1的中点G，连接EG、FG、EC1，易知FEG为直线EF与平面ADD1A1所成的角，设ABa，则AA1AD2a，在ED1C1中可求出EC1a，在EFC1中可求出EFa，所以在EFG中，sinFEG，故选C.5如图所示，四边形ABCD中，ABADCD1，BD，BDCD.将四边形ABCD沿对角线BD折成四面体ABCD，使平面ABD平面BCD，则下列结论正确的是(B)AACBDBBAC90CCA与平面ABD所成的角为30D四面体ABCD的体积为解析：因为平面ABD平面BCD，BDCD，所以CD平面ABD，所以CDBA.由勾股定理，得ADBA.又因为CDADD
4、，所以BA平面ACD，所以BAC90.6在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是BB1，A1B1的中点，点P在正方体的表面上运动，则总能使MPBN的点P所形成图形的周长是(D)A4 B2C3 D2解析：如图，取CC1的中点G，连接DG，MG，则MGBC.设BN交AM于点E.BC平面ABB1A1，NB平面ABB1A1，NBMG.正方体的棱长为1，M，N分别是BB1，A1B1的中点，ABMBB1N，AMBBNB1，AMBEBM90，MEB90，即BNAM，又MGAMM，NB平面ADGM，使NB与MP垂直的点P所构成的轨迹为矩形ADGM(不包括M点)正方体的棱长为1，矩形ADGM的
5、周长等于2.故选D.7(多选)已知m，n为两条不同直线，为两个不同平面，则下列命题中正确的是(BC)A.n B.mnC. D.mn解析：A中，n可能在内，D中，m，n可能异面B、C正确二、填空题(每小题5分，共20分)8已知直线l平面，垂足为A，直线PAl，则AP与平面的位置关系是_AP_.解析：设AP与l确定的平面为.假设AP，不妨设AM，AP与AM不重合，如图所示因为l，AM，所以lAM.又APl，所以在平面内，过点A有两条直线垂直于l，这与在同一平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直矛盾，所以假设不成立所以AP.9.如图所示，等边三角形ABC的边长为4，D为BC的中点，沿AD把ADC
6、折叠到ADC处，使二面角BADC为60，则折叠后二面角ABCD的正切值为_2_.解析：易知BDC即二面角BADC的平面角，有BDC60，所以BDC为等边三角形取BC的中点M，连接DM，AM，则易知DMBC，AMBC，所以二面角ABCD的平面角即AMD.在等边三角形ABC中，易知AD2，在等边三角形BDC中，易知DM，所以tanAMD2.10在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，四边形ABCD为矩形，则四棱锥的五个面PAB，PAD，PCD，PBC和ABCD中，互相垂直的有_5_对解析：如图，由面面垂直的判断定理可知平面PAD平面ABCD，平面PAB平面ABCD，平面PCD平面PAD，平面PBC
7、平面PAB，平面PAD平面PAB，共5对11如图所示，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，且底面各边都相等，则PC与BD的关系是_垂直_；M是PC上的一动点，当点M满足_DMPC(或BMPC)_时，平面MBD平面PCD.(只要填写一个你认为正确的条件即可)解析：连接AC，因为四边形ABCD各边都相等，所以四边形ABCD为菱形，所以BDAC.又PA底面ABCD，BD平面ABCD，所以BDPA.又PAACA，所以BD平面APC，所以BDPC.故当DMPC(或BMPC)时，有PC平面MBD，而PC平面PCD，所以平面MBD平面PCD.三、解答题(共45分)12(15分)如图所示，在四棱锥PABC
8、D中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，M，N分别是AB，PC的中点，PAADa.(1)求证：MN平面PAD；(2)求证：MN平面PCD. 题图答图证明：(1)如图，取CD的中点E，连接NE，ME.E，M，N分别是CD，AB，PC的中点，NEPD，EMDA，平面NEM平面PDA，MN平面PAD.(2)PA平面ABCD，CDPA.底面ABCD是矩形，CDAD，又PAADA，CD平面PAD，CDPD.ENPD，ENCD，又CDEM，EMENE，CD平面ENM，MNCD.PM MC，N是PC的中点，MNPC.又CDPCC，MN平面PCD.13(15分)如图，已知斜三棱柱ABCA1B1C1中，底面
9、ABC是等边三角形，侧面BB1C1C是菱形，B1BC60.(1)求证：BC AB1；(2)若ABa，AB1a，求三棱锥CABB1的体积题图 答图解：(1)证明：取BC的中点O，连接AO，B1O，如图侧面BB1C1C是菱形，且B1BC60，B1BC为等边三角形，B1OBC.又ABC是等边三角形，AOBC，又B1OAOO，B1O，AO平面AOB1，BC平面AOB1，而AB1平面AOB1，BCAB1.(2)由(1)知OABC，OB1BC，ABC和BB1C是全等的等边三角形，OAOB1，ABa，OAOB1a，AB1a，ABOA2OB，OB1OA，OB1BC，又OABCO，OA，BC平面ABC，OB1平
10、面ABC，VCABB1VB1ABCSABCOB1aaa.14(15分)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，BAC90，ABAC2，A1A4，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D是B1C1的中点(1)证明：A1D平面A1BC；(2)求直线A1B和平面BB1C1C所成的角的正弦值解：(1)证明：如图，设E为BC的中点，连接A1E，AE.由题意得A1E平面ABC，所以A1EAE.因为ABAC，所以AEBC.故AE平面A1BC.连接DE，由D，E分别为B1C1，BC的中点，得DEB1B且DEB1B，从而DEA1A且DEA1A，所以AA1DE为平行四边形于是A1DAE.因为AE平面A1BC，所以A1D平面A1BC.(2)作A1FDE，垂足为F，连接BF.因为A1E平面ABC，所以BCA1E.因为BCAE，所以BC平面AA1DE.所以BCA1F，所以A1F平面BB1C1C.所以A1BF为直线A1B和平面BB1C1C所成的角由ABAC2，CAB90，得EAEB.由A1E平面ABC，得A1AA1B4，A1E.由DEBB14，DA1EA，DA1E90，得A1F.所以sinA1BF.
