1、模块素养评价 (120分钟150分)一、单选题(每小题5分,共40分)1.已知复数z=,则z的共轭复数=()A.-iB.-+iC.+iD.-i【解析】选A.因为z=,所以z=-+i,所以z的共轭复数=-i.2.如图是国家统计局2019年4月11日发布的2018年3月到2019年3月全国居民消费价格的涨跌幅情况折线图.(注:2019年2月与2018年2月相比较称同比,2019年2月与2019年1月相比较称环比),根据该折线图,下列结论错误的是()A.2018年3月至2019年3月全国居民消费价格同比均上涨B.2018年3月至2019年3月全国居民消费价格环比有涨有跌C.2019年3月全国居民消费
2、价格同比涨幅最大D.2019年3月全国居民消费价格环比变化最快【解析】选C.对于选项A,由题干图可以看出同比涨跌幅均为正数,故A正确;对于选项B,由题干图可以看出环比涨跌幅有正数有负数,故B正确;对于选项C,由题干图可以看出同比涨幅最大的是2018年9月份和2018年10月份,故C错误;对于选项D,从图可以看出2019年3月全国居民消费价格环比变化最快,故D正确.3.已知sin=,则cos的值为()A.-B.C.-D.【解析】选C.由cos=-cos=-cos=-cos=2sin2-1=2-1=-.4.设向量a=(0,2),b=(,1),则a,b的夹角等于()A.B.C.D.【解析】选A. 因
3、为a=(0,2),b=(,1),所以cos = =,所以等于.5.为了提升全民身体素质,学校十分重视学生体育锻炼.某校篮球运动员进行投篮练习,若他前一球投进则后一球投进的概率为,若他前一球投不进则后一球投进的概率为.若他第1球投进的概率为,则他第3球投进的概率为()A.B.C.D.【解析】选D.分以下两种情况讨论:(1)第2球投进,其概率为+=,第3球投进的概率为=;(2)第2球投不进,其概率为1-=,第3球投进的概率为=.综上所述:第3球投进的概率为+=.6.如图,在正方体ABCD -A1B1C1D1中,给出以下四个结论:D1C平面A1ABB1;A1D1与平面BCD1相交;AD平面D1DB;
4、平面BCD1平面A1ABB1,正确的结论个数是()A.1B.2C.3D.4【解析】选B.由在正方体ABCD-A1B1C1D1中,可得:在中,因为D1CA1B,D1C平面A1ABB1,A1B平面A1ABB1,所以D1C平面A1ABB1,故正确;在中,因为A1D1BC,BC平面BCD1,A1D1平面BCD1=D1,所以A1D1平面BCD1,故错误;在中,因为ADB=45,所以AD与平面D1DB相交但不垂直,故错误;在中,因为BC平面A1ABB1,BC平面BCD1,所以平面BCD1平面A1ABB1,故正确.7.已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且(a+b)2=c2+ab, B=30,
5、a=4,则ABC的面积为()A.4B.3C.4D.6【解析】选C. 因为(a+b)2=c2+ab,即a2+b2-c2=-ab.所以cos C= =-,所以C=120,又B=30,所以A=B=30.即a=b=4,故ABC的面积S=absin C=44=4.8.已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上,ABC是边长为1的正三角形,SC为球O的直径,且SC=2,则此棱锥的体积为()A.B.C.D.【解析】选A.根据题意作出图形:已知球心为O,设过A,B,C三点的小圆的圆心为O1,则OO1平面ABC,延长CO1交球于点D,连接SD,则SD平面ABC.因为CO1=,所以OO1=,所以高SD=2OO
6、1=,因为ABC是边长为1的正三角形,所以SABC=,所以V三棱锥S-ABC=.二、多选题(每小题5分,共20分,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)9.ABC是边长为2的等边三角形,已知向量a,b满足=2a,=2a+b,则下列结论中正确的是()A.a为单位向量B.b为单位向量C.abD.(4a+b)【解析】选AD.因为等边三角形ABC的边长为2,=2a,所以|=2|a|=2,所以|a|=1,故A正确;因为=+=2a+,所以=b,所以|b|=2,故B错误;由于=2a,=b,所以a与b的夹角为120,故C错误;又因为(4a+b)=4ab+|b|2=412+4=0,所以(4a+b
7、),故D正确.10.甲、乙、丙三家企业产品的成本(单位:元)分别为10 000,12 000,15 000,其成本构成如图所示,则关于这三家企业下列说法正确的是()A.成本最大的企业是丙企业B.费用支出最高的企业是丙企业C.支付工资最少的企业是乙企业D.材料成本最高的企业是丙企业【解析】选ABD.由扇形统计图可知,甲企业的材料成本为10 00060%=6 000(元),支付工资为10 00035%=3 500(元),费用支出为10 0005%=500(元);乙企业的材料成本为12 00053%=6 360(元),支付工资为12 00030%=3 600(元),费用支出为12 00017%=2
8、040(元);丙企业的材料成本为15 00060%=9 000(元),支付工资为15 00025%=3 750(元),费用支出为15 00015%=2 250(元).所以,成本最大的企业是丙企业,费用支出最高的企业是丙企业,支付工资最少的企业是甲企业,材料成本最高的企业是丙企业.11.如图,设ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,=2bsin B,且CAB=.若点D是ABC外一点,DC=1,DA=3,下列说法中,正确的结论是()A.ABC的内角B=B.ABC的内角C=C.四边形ABCD面积的最大值为+3D.四边形ABCD面积无最大值【解析】选ABC.因为=2bsin B,所以=2si
9、n2B,所以sin(A+C)=2sin2B,所以sin B=2sin2B,所以sin B=.因为CAB=,所以B,所以B=,所以C=-A-B=,因此A,B正确;四边形ABCD的面积等于SABC+SACD=AC2+ADDCsinADC= (AD2+DC2-2ADDCcosADC)+ADDCsinADC=(9+1-6cosADC)+3sinADC=+3sin+3.因此C正确,D错误.12.如图,点N为边长为1的正方形ABCD的中心,ECD为正三角形,平面ECD平面ABCD,M是线段ED的中点,则()A.直线BM,EN是异面直线B.BMENC.直线BM与平面ECD所成角的正弦值为D.三棱锥N-ECD
10、的体积为【解析】选BC.对于A选项,连接BD,则点N为BD的中点,所以E,N平面BDE,所以EN平面BDE,同理可知BM平面BDE,所以,BM与EN不是异面直线,A选项错误;对于C选项,因为四边形ABCD是边长为1的正方形,所以BCCD,因为平面ABCD平面ECD,交线为CD,BC平面ABCD,所以BC平面ECD,所以,直线BM与平面ECD所成角为BMC,因为M为DE的中点,且CDE是边长为1的正三角形,则CM=,所以BM=,所以sinBMC=,C选项正确;对于B选项,取CD的中点O,连接ON,OE,则ONBC且ON=BC=,OE=,因为BC平面CDE,所以ON平面CDE,因为OE平面CDE,
11、所以ONOE,所以EN=1,所以BMEN,B选项正确;对于D选项,因为ON平面CDE,SCDE=12=,所以,VN-ECD=SCDEON=,D选项错误.三、填空题(每小题5分,共20分)13.从分别写有1,2,3,4,5的五张卡片中,任取两张,这两张卡片上的数字之差的绝对值等于1的概率为_.【解析】从分别写有1,2,3,4,5的五张卡片中,任取两张,样本点有:(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)共10个,这两张卡片上的数字之差的绝对值等于1包含的基本事件有:(1,2), (2,3),(3,4),(4,5),共4种
12、情况,所以这两张卡片上的数字之差的绝对值等于1的概率为P=.答案:14.已知sin(+)=,tan=,其中(0,),则cos=_.【解析】因为tan=,故tan =,又(0,),故.所以sin =,cos =.又,故+,又sin(+)=,所以+.故cos(+)=-=-.故cos =cos=coscos+sinsin =-+=-.答案:-15.已知六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形,PA平面ABC,PA=2AB.则下列命题中正确的有_.(填序号)PBAD;平面PAB平面PAE;BC平面PAE;直线PD与平面ABC所成的角为45.【解析】因为AD与PB在平面内的射影AB不垂直,所以不成立;因为
13、PA平面ABC,所以PAAB,在正六边形ABCDEF中,ABAE,PAAE=A,所以AB平面PAE,且AB面PAB,所以平面PAB平面PAE,故成立;因为BCAD平面PAD,平面PAD平面PAE=PA,所以直线BC平面PAE也不成立,即不成立.在RtPAD中,PA=AD=2AB,所以PDA=45,故成立.答案:16.若ABC的面积为(a2+c2-b2),且C为钝角,则B=_;的取值范围是_.【解析】因为SABC=acsin B,所以=,即cos B=,所以=,B=,则=+,因为C为钝角,B=,所以0A.18.(12分)(2020全国卷)某厂接受了一项加工业务,加工出来的产品(单位:件)按标准分
14、为A,B,C,D四个等级.加工业务约定:对于A级品、B级品、C级品,厂家每件分别收取加工费90元,50元,20元;对于D级品,厂家每件要赔偿原料损失费50元.该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务.甲分厂加工成本费为25元/件,乙分厂加工成本费为20元/件.厂家为决定由哪个分厂承接加工业务,在两个分厂各试加工了100件这种产品,并统计了这些产品的等级,整理如下:甲分厂产品等级的频数分布表等级ABCD频数40202020乙分厂产品等级的频数分布表等级ABCD频数28173421(1)分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率;(2)分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润,以平均
15、利润为依据,厂家应选哪个分厂承接加工业务?【解题指南】(1)根据两个频数分布表即可求出;(2)根据题意分别求出甲、乙两分厂加工100件产品的总利润,即可求出平均利润,由此作出选择.【解析】(1)由试加工产品等级的频数分布表知,甲分厂加工出来的一件产品为A级品的概率的估计值为=0.4;乙分厂加工出来的一件产品为A级品的概率的估计值为=0.28.(2)由数据知甲分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为利润6525-5-75频数40202020因此甲分厂加工出来的100件产品的平均利润为=15.由数据知乙分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为利润70300-70频数28173421因此乙分
16、厂加工出来的100件产品的平均利润为=10.比较甲乙两分厂加工的产品的平均利润,应选甲分厂承接加工业务.【补偿训练】 “中国人均读书4.3本(包括网络文学和教科书),比韩国的11本、法国的20本、日本的40本、犹太人的64本少得多,是世界上人均读书量最少的国家”,这个论断被各类媒体反复引用.出现这样的统计结果无疑是令人尴尬的,而且和其他国家相比,我国国民的阅读量如此之低,也和我国是传统的文明古国、礼仪之邦的地位不相符.某小区为了提高小区内人员的读书兴趣,特举办读书活动,准备进一定量的书籍丰富小区图书站,由于不同年龄段需看不同类型的书籍,为了合理配备资源,现对小区内看书人员进行年龄调查,随机抽取
17、了一天40名读书者进行调查,将他们的年龄分成6段:20,30),30,40),40,50), 50,60),60,70),70,80后得到如图所示的频率分布直方图.问:(1)估计在这40名读书者中年龄分布在40,70)的人数;(2)求这40名读书者年龄的平均数和中位数;(3)若从年龄在20,40)的读书者中任取2名,求这两名读书者年龄在30,40)的人数恰为1的概率.【解析】(1)由频率分布直方图知,年龄在40,70)的频率为(0.020+0.030+0.025)10=0.750,所以,40名读书者年龄分布在40,70)的人数为400.750=30(人).(2)40名读书者年龄的平均数为:25
18、0.05+350.1+450.2+550.3+650.25+750.1=54(岁),设中位数为x,0.05+0.1+0.2+(x-50)0.03=0.5,解之得x=55,即40名读书者年龄的中位数为55岁.(3)年龄在20,30)的读书者有2人,记为a,b;年龄在30,40)的读书者有4人,记为A,B,C,D,从上述6人中选出2人,共有如下样本点:(a,b),(A,B),(A,C),(A,D), (B,C),(B,D),(C,D),(a,A),(a,B),(a,C),(a,D),(b,A),(b,B),(b,C),(b,D),共有基本事件数为15个,记选取的两名读者中恰好有一人年龄在30,40
19、)中为事件A,则事件A包含的样本点数为8个:(a,A),(a,B),(a,C),(a,D),(b,A),(b,B),(b,C),(b,D),故P(A)=.19.(12分)已知A,B,C为ABC的三内角,且其对边分别为a,b,c.且acos C+c=b.(1)求A的值; (2)若a=2,三角形面积S=,求b+c的值.【解析】(1)由acos C+c=b,得sin Acos C+sin C=sin B,因为sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C,所以sin Acos C+sin C=sin Acos C+cos Asin C,即sin C=cos Asin C,因
20、为sin C0,所以cos A=,因为A,所以A=.(2)由(1)有SABC=bcsin A=bcsin=,bc=4,又由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos=b2+c2-bc.又a=2,所以b2+c2=a2+bc=16,(b+c)2=24,所以b+c=2.20.(12分)从含有两件正品a1,a2和一件次品b1的3件产品中每次任取1件,每次取出后不放回,连续取两次.(1)求取出的两件产品中恰有一件次品的概率;(2)如果将“每次取出后不放回”这一条件换成“每次取出后放回”,则取出的两件产品中恰有一件次品的概率是多少?【解析】(1)每次取一件,取后不放回地连续取两次,其可能的结果组成的基本事件
21、空间为=(a1,a2),(a1,b1),(a2,a1),(a2,b1),(b1,a1), (b1,a2),其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品,右边的字母表示第2次取出的产品.由6个基本事件组成,而且可以确定这些基本事件的出现是等可能的.用A表示“取出的两件中,恰好有一件次品”这一事件,则A=(a1,b1),(a2,b1),(b1,a1),(b1,a2).事件A由4个基本事件组成,所以P(A)=.(2)有放回地连续取出两件,其一切可能的结果组成的基本事件空间为=(a1,a1),(a1,a2),(a1,b1),(a2,a1),(a2,a2),(a2,b1),(b1,a1), (b1,a2)
22、,(b1,b1),由9个基本事件组成.由于每一件产品被取到的机会均等,因此可以确定这些基本事件的出现是等可能的.用B表示“恰有一件次品”这一事件,则B=(a1,b1),(a2,b1),(b1,a1),(b1,a2).事件B由4个基本事件组成,所以P(B)=.21.(12分)已知向量a,b满足=1,= 1(x0,xR).(1)求ab关于x的解析式f(x);(2)求向量a与b夹角的最大值;(3)若ab且方向相同,试求x的值.【解析】(1)由题意得=3,即x2a2+2xab+b2=3a2-6xab+3x2b2.又=1,所以8xab=2x2+2,所以ab=(x0),即f(x)=(x0).(2)设向量a
23、与b夹角为,则cos =f(x)=,当=,即x=1时,cos 有最小值,0,故max=. (3)因为ab且方向相同,=1,所以a=b,所以ab=(x+)=1,解得x=2.22.(12分)四棱锥P-ABCD的底面为菱形,AB=4,ABC=60,M为PB的中点,N为BD上一点,且BN=ND,若PA=PC=5,PB=.(1)求证:MN平面PAC;(2)求证:PN平面ABCD;(3)求直线PN与平面PCD所成角的正弦值.【解析】(1)连接AC,交BD于点O,连接PO,则=,所以MNPO,又PO平面PAC,MN平面PAC,从而MN平面PAC.(2)连接PN,因为PA=PC,O是AC中点,所以POAC,又PA=PC=5,AO=2,所以PO=PB,又N是BO中点,所以PNBD,且易求PN=3,NC=,所以PN2+NC2=PC2,从而PNNC,又BDNC=N,所以PN平面ABCD.(3)设N到平面PCD的距离为h,PN与平面PCD所成角为,则sin =,因为VN-PCD=VP-NCD,所以SPCDh=SNCDPN,计算可得SNCD=3,PD=3,所以SPCD=3,又因为PN=3,所以h=,从而sin=.