1、北京市房山区20152016学年度高一上学期期末数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项，直接写在答题纸上1已知集合A=1，2，3，4，5，集合B=2，2，3，4，5，9，则集合AB=（）A2，3，4B2，3，4，5C1，2，3，4，5D2，1，2，3，4，52已知函数f（x）为奇函数，且当x0时，则f（1）=（）A2B2C3D33已知，则tan=（）ABCD4函数的图象一定经过（）A第一、二、三象限B第一、二、四象限C第一、三、四象限D第二、三、四象限5已知函数f（x）=log2（x+1），若f（）=1，=（）A0B1C2D3
2、6下列各式的值为的是（）Asin15cos15B12sin275CD7下列各函数为偶函数，且在0，+）上是减函数的是（）Ay=x+3By=x2+xCy=x|x|Dy=|x|8如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin（x+）+k据此函数可知，这段时间水深（单位：m）的最大值为（）A5B6C8D109已知a=tan1，b=tan2，c=tan3，则a，b，c的大小关系为（）AabcBacbCcbaDcab10当x1x2时，有f（），则称函数f（x）是“严格下凸函数”，下列函数是严格下凸函数的是（）Ay=xBy=|x|Cy=x2Dy=log2x二、填空题：本大题共6小题，每
3、题5分，共30分将答案直接写在答题纸上11已知函数f（x）=，那么f（2）=12若函数f（x）的定义域是0，4，则函数f（2x3）的定义域是13已知集合A=x|2x3，B=x|xm，若AB，则实数m的取值范围为14若是第三象限角，且，则是第象限角15已知，都是第二象限角，则cos（+）=16某种病毒每经30分钟由1个病毒可分裂成2个病毒，经过x小时后，病毒个数y与时间x（小时）的函数关系式为，经过5小时，1个病毒能分裂成个三、解答题：本大题共6小题，写出必要的文字说明，计算或证明过程其中第16题满分70分，第17题到第22题，每题满分70分；共计70分将解题过程直接在答题纸上17已知全集U=x
4、|6x5，M=x|3x2，N=x|0x2（）求MN；（）求U（MN）18已知sin=2cos，求值：（）；（） 19（北京卷文15）已知函数f（x）=2cos2x+sin2x（）求f（）的值；（）求f（x）的最大值和最小值20设m是实数，函数（）求f（x）的定义域；（）用定义证明：对于任意实数m，函数f（x）在（0，+）上为增函数21已知函数f（x）的定义域为R，当x，yR时，恒有f（x+y）=f（x）+f（y）（）求f（0）的值；（）写出一个具体函数，满足题目条件；（）求证：f（x）是奇函数22已知函数f（x）=loga（1+x），g（x）=loga（1x），（a0，且a1）（1）设a=2，
5、函数f（x）的定义域为3，63，求函数f（x）的最值（2）求使f（x）g（x）0的x的取值范围北京市房山区20152016学年度高一上学期期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项，直接写在答题纸上1已知集合A=1，2，3，4，5，集合B=2，2，3，4，5，9，则集合AB=（）A2，3，4B2，3，4，5C1，2，3，4，5D2，1，2，3，4，5【考点】交集及其运算【专题】计算题；集合思想；集合【分析】由A与B，求出两集合的交集即可【解答】解：A=1，2，3，4，5，B=2，2，3，4，5，9，AB=2，
6、3，4，5，故选：B【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键2已知函数f（x）为奇函数，且当x0时，则f（1）=（）A2B2C3D3【考点】函数奇偶性的性质【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用【分析】由条件利用函数的奇偶性和单调性的性质可得 f（1）=f（1），运算求得结果【解答】解：已知函数f（x）为奇函数，且当x0时，f（1）=f（1）=（1+2）=3，故选：C【点评】本题主要考查函数的奇偶性的应用，属于基础题3已知，则tan=（）ABCD【考点】同角三角函数基本关系的运用【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值【分析】由条件利用同角三角函数的
7、基本关系，求得tan的值【解答】解：已知，cos=，则tan=，故选：C【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用，以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题4函数的图象一定经过（）A第一、二、三象限B第一、二、四象限C第一、三、四象限D第二、三、四象限【考点】函数的图象【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用【分析】根据函数为减函数，且图象经过（2，2）、（0，1），可得它的图象经过第二、三、四象限【解答】解：函数为减函数，且图象经过（2，2）、（0，1），故它的图象经过第二、三、四象限，故选：D【点评】本题主要考查函数的单调性，函数的图象特征，属于基础题5已知函数f（x）=log2
8、（x+1），若f（）=1，=（）A0B1C2D3【考点】对数函数的单调性与特殊点【专题】函数的性质及应用【分析】根据f（）=log2（+1）=1，可得+1=2，故可得答案【解答】解：f（）=log2（+1）=1+1=2，故=1，故选B【点评】本题主要考查了对数函数概念及其运算性质，属容易题6下列各式的值为的是（）Asin15cos15B12sin275CD【考点】三角函数的化简求值【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值【分析】由条件利用二倍角公式求得各个选项中式子的值，从而得出结论【解答】解：根据sin15cos15=sin30=；12sin275=cos150=cos30=，=tan45=
9、1，21=cos=，故选：A【点评】本题主要考查二倍角公式的应用，属于基础题7下列各函数为偶函数，且在0，+）上是减函数的是（）Ay=x+3By=x2+xCy=x|x|Dy=|x|【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用【分析】根据偶函数的定义，偶函数图象的特点便可判断每个选项函数是否为偶函数，这样便可判断选项A，B，C错误，即正确选项为D【解答】解：Ay=x+3的图象不关于y轴对称，不是偶函数，该选项错误；Bx=1时，y=0；x=1时，y=2；f（1）f（1），该函数不是偶函数，该选项错误；Cx=1时，y=1；x=1时，y=1；f（1）f（1
10、），不是偶函数，该选项错误；Dy=|x|定义域为R，且f（x）=|x|=|x|=f（x）；该函数为偶函数；x0时，y=|x|=x为减函数，该选项正确故选：D【点评】考查偶函数的定义，偶函数图象的对称性，以及一次函数的图象，一次函数的单调性，特殊值法说明一个函数不是偶函数的方法8如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin（x+）+k据此函数可知，这段时间水深（单位：m）的最大值为（）A5B6C8D10【考点】由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式【专题】三角函数的图像与性质【分析】由题意和最小值易得k的值，进而可得最大值【解答】解：由题意可得当sin（x+）取最小值
11、1时，函数取最小值ymin=3+k=2，解得k=5，y=3sin（x+）+5，当当sin（x+）取最大值1时，函数取最大值ymax=3+5=8，故选：C【点评】本题考查三角函数的图象和性质，涉及三角函数的最值，属基础题9已知a=tan1，b=tan2，c=tan3，则a，b，c的大小关系为（）AabcBacbCcbaDcab【考点】正切函数的图象【专题】计算题；转化思想；转化法；三角函数的图像与性质【分析】利用正切函数的单调性以及三角函数的诱导公式进行化简比较即可【解答】解：a=tan11，b=tan2=tan（2）0，c=tan3=tan（3）0230，tan（2）tan（3）0，tan（2
12、）tan（3）0综上可得，a0cb，故选：B【点评】本题主要考查函数值的大小比较，考查诱导公式、正切函数的单调性的应用，体现了转化的数学思想，属于中档题10当x1x2时，有f（），则称函数f（x）是“严格下凸函数”，下列函数是严格下凸函数的是（）Ay=xBy=|x|Cy=x2Dy=log2x【考点】对数函数的单调性与特殊点；函数单调性的性质【专题】计算题；新定义【分析】先求出f（）的解析式以及的解析式，利用函数的单调性、基本不等式判断f（）和 的大小关系，再根据“严格下凸函数”的定义域，得出结论【解答】解：A、对于函数y=f（x）=x，当x1x2时，有f（）=，=，f（）=，故不是严格下凸函数
13、B、对于函数y=f（x）=|x|，当x1x2 0时，f（）=|=，=，f（）=，故不是严格下凸函数C、对于函数 y=f（x）=x2，当x1x2时，有f（）=，=，显然满足f（），故是严格下凸函数D、对于函数y=f（x）=log2x，f（）=，=，f（），故不是严格下凸函数故选C【点评】本题主要考查对数函数的单调性和特殊点，基本不等式的应用，“严格下凸函数”的定义，属于中档题二、填空题：本大题共6小题，每题5分，共30分将答案直接写在答题纸上11已知函数f（x）=，那么f（2）=1【考点】函数的值【专题】计算题；函数思想；试验法；函数的性质及应用【分析】由分段函数代入2即可【解答】解：20，f（
14、2）=223=1，故答案为：1【点评】本题考查了分段函数的简单应用，注意自变量的取值即可12若函数f（x）的定义域是0，4，则函数f（2x3）的定义域是【考点】函数的定义域及其求法【专题】计算题；函数思想；数学模型法；函数的性质及应用【分析】由已知函数的定义域，可得02x34，解此不等式得答案【解答】解：函数f（x）的定义域是0，4，则由02x34，得，函数f（2x3）的定义域是故答案为：【点评】本题考查函数的定义域及其求法，关键是掌握该类问题的求解方法，是基础题13已知集合A=x|2x3，B=x|xm，若AB，则实数m的取值范围为（，2【考点】集合的包含关系判断及应用【专题】计算题；集合【分
15、析】由集合A=x|2x3，B=x|xm，且AB，可得m2，用区间表示可得m的取值范围【解答】解：集合A=x|2x3，B=x|xm，且AB，m2，实数m的取值范围是：（，2，故答案为：（，2【点评】本题考查的知识点是集合的包含关系判断及应用，其中根据子集的定义，得到m2是解答的关键14若是第三象限角，且，则是第四象限角【考点】三角函数值的符号【专题】分类讨论；转化思想；三角函数的求值；不等式的解法及应用【分析】是第三象限角，可得2k+2k，解得：k+（kZ）对k分类讨论即可得出【解答】解：是第三象限角，2k+2k，解得：k+（kZ）当k=2n（nZ）时，2n+2n+，不满足，舍去当k=2n+1（
16、nZ）时，2n+2n+，满足则是第四象限角故答案为：四【点评】本题考查了三角函数值的符号、不等式的性质、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题15已知，都是第二象限角，则cos（+）=【考点】两角和与差的余弦函数【专题】计算题；转化思想；分析法；三角函数的求值【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求cos，sin的值，利用两角和的余弦函数公式即可求值得解【解答】解：，都是第二象限角，cos=，sin=，cos（+）=coscossinsin=（）（）=故答案为：【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角和的余弦函数公式在三角函数求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属
17、于基础题16某种病毒每经30分钟由1个病毒可分裂成2个病毒，经过x小时后，病毒个数y与时间x（小时）的函数关系式为y=4x，经过5小时，1个病毒能分裂成1024个【考点】函数解析式的求解及常用方法；函数的值【专题】计算题；应用题；函数思想；综合法；函数的性质及应用【分析】可以通过归纳的方法得出病毒个数y与x（小时）的函数关系式：分别求经过1个30分钟，2个30分钟，3个30分钟病毒所分裂成的个数，从而得出x小时后所分裂的个数y，即得出y，x的函数关系式，而令关系式中的x=5便可得出经过5小时，一个病毒所分裂成的个数【解答】解：设原有1个病毒；经过1个30分钟变成2=21个；经过2个30分钟变成
18、22=4=22个；经过3个30分钟变成42=8=23个；经过个30分钟变成22x=4x个；病毒个数y与时间x（小时）的函数关系式为y=4x；经过5小时，1个病毒能分裂成45=1024个故答案为：y=4x，1024【点评】考查根据实际问题建立函数关系式的方法，以及归纳的方法得出函数关系式，已知函数求值的方法三、解答题：本大题共6小题，写出必要的文字说明，计算或证明过程其中第16题满分70分，第17题到第22题，每题满分70分；共计70分将解题过程直接在答题纸上17已知全集U=x|6x5，M=x|3x2，N=x|0x2（）求MN；（）求U（MN）【考点】交、并、补集的混合运算；并集及其运算【专题】
19、对应思想；定义法；集合【分析】（）根据并集的定义，求出MN即可；（）根据交集与补集的定义，进行计算即可【解答】解：（）因为M=x|3x2，N=x|0x2，所以MN=x|3x2； （）因为U=x|6x5，M=x|3x2，N=x|0x2，所以MN=x|0x2； 所以U（MN）=x|6x0或2x5 【点评】本题考查了并集、交集和补集的定义与运算问题，是基础题目18已知sin=2cos，求值：（）；（） 【考点】三角函数的化简求值【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系，求得所给式子的值【解答】解：（）因为sin=2cos，所以tan=2，（） 【点评】本题主要
20、考查同角三角函数的基本关系的应用，属于基础题19（北京卷文15）已知函数f（x）=2cos2x+sin2x（）求f（）的值；（）求f（x）的最大值和最小值【考点】三角函数的最值；二倍角的余弦【专题】计算题【分析】（I）直接代入函数解析式求解即可（II）先用降幂公式，辅助角公式，再用换元法将函数转化为二次函数求最值【解答】解：（I）f（）=2（II）f（x）=2（2（cosx）21）+（1（cosx）2）=3（cosx）21cosx1，1cosx=1时f（x）取最大值2cosx=0时f（x）取最小值1【点评】本题主要考查了三角函数的求值，恒等变换和最值问题，也考查了二倍角公式及辅助角公式20设m
21、是实数，函数（）求f（x）的定义域；（）用定义证明：对于任意实数m，函数f（x）在（0，+）上为增函数【考点】函数单调性的判断与证明；函数的定义域及其求法【专题】证明题；函数思想；综合法；函数的性质及应用【分析】（）可以看出要使f（x）有意义则需x0，这样便得出f（x）的定义域；（）根据增函数的定义，设任意的x1x20，然后作差，通分，便可得到，根据指数函数的单调性便可证明f（x1）f（x2），从而得出对任意实数m，函数f（x）在（0，+）上为增函数【解答】解：（I）解：由3x10得，x0；f（x）的定义域是（，0）（0，+）；（II）证明：设x1x20则：=；指数函数y=3x在R上是增函数，
22、且x1x20；f（x1）f（x2）；对于任意实数m，函数f（x）在（0，+）上为增函数【点评】考查函数定义域的概念及求法，增函数的定义，以及根据增函数的定义证明一个函数为增函数的方法和过程，作差的方法比较f（x1），f（x2），作差后，是分式的一般要通分，以及指数函数的单调性21已知函数f（x）的定义域为R，当x，yR时，恒有f（x+y）=f（x）+f（y）（）求f（0）的值；（）写出一个具体函数，满足题目条件；（）求证：f（x）是奇函数【考点】抽象函数及其应用【专题】计算题；函数思想；分析法；函数的性质及应用【分析】（）令x=y=0，即可求出，（）根据题意，写出函数即可，（）根据函数的奇偶性
23、的定义即可判断【解答】解：（）令x=y=0，则f（0+0）=f（0）+f（0），所以f（0）=f（0）+f（0），所以f（0）=0，（）f（x）=0或f（x）=2x等均可 （）证明：令y=x，则f（xx）=f（x）+f（x），所以f（0）=f（x）+f（x），因为f（0）=0，所以f（x）+f（x）=0，所以f（x）=f（x），所以f（x）是奇函数【点评】本题考查了抽象函数的问题，以及函数的奇偶性，关键是赋值，属于基础题22已知函数f（x）=loga（1+x），g（x）=loga（1x），（a0，且a1）（1）设a=2，函数f（x）的定义域为3，63，求函数f（x）的最值（2）求使f（x）g（
24、x）0的x的取值范围【考点】对数函数图象与性质的综合应用【专题】函数的性质及应用【分析】（1）当a=2时，根据函数f（x）=log2（x+1）为3，63上的增函数，求得函数的最值（2）f（x）g（x）0，即loga（1+x）loga（1x），分当a1和当0a1两种情况，分别利用函数的单调性解对数不等式求得x的范围【解答】解：（1）当a=2时，函数f（x）=log2（x+1）为3，63上的增函数，故f（x）max=f（63）=log2（63+1）=6，f（x）min=f（3）=log2（3+1）=2（2）f（x）g（x）0，即loga（1+x）loga（1x），当a1时，由1+x1x0，得0x1，故此时x的范围是（0，1）当0a1时，由01+x1x，得1x0，故此时x的范围是（1，0）【点评】本题主要考查指数函数的性质应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题