1、2006年4月北京市石景山区高三统一测试数学（理）试题本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，第卷1至2页，第卷3至9页，第10页为草稿纸，共150分考试时间120分钟题号第卷第卷总分一二151617181920分数第卷（选择题 共40分）得分评卷人一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在 题后括号内1设全集，集合，则（U）=（ ） (A) (B) (C) (D) 2设复数，则等于（ ）(A) （B） （C） （D）3把一组数据中的每一个数据都减去80，得一组新数据，若求得新数据的平均数是1.2，方差是
2、4.4，则原来数据的平均数和方差分别是（ ） (A) 78.8，75.6 (B) 78.8，4.4 (C) 81.2，84.4 (D) 81.2，4.4 4条件，条件，则是的（ ）(A) 充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C) 充要条件 (D)既不充分也不必要条件5已知函数是定义在R上的奇函数，当时，则的值是（ ）(A) (B) (C) (D) 6设、是不同的直线，、是不同的平面，有以下四个命题：（1）；（2）；（3）；（4），其中，假命题是（ ）(A)（1）（2） (B) （2）（3） (C)（1）（3） (D)（2）（4）7在ABC中，、分别是角A、B、C所对的边，A=60， ABC
3、的面积=，则的值等于（ ）(A) (B) (C) (D) 8. 等差数列的前项和为，且，则过点和的直线的一个方向向量的坐标可以是（ ）(A) (，) (B) (C) (D) 第卷（非选择题 共110分）得分评卷人二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分把答案填在题中横线上9 在的展开式中，的系数是 ；各项系数的和是 （用数字作答）10正方体的全面积是24cm2，它的顶点都在一个球面上，这个球的半径是 cm；这个球的表面积是 cm211现从某校5名学生中选出4人分别参加高中“数学”、“物理”、“化学”竞赛，要求每科至少有1人参加，且每人只参加1科竞赛，则不同的参赛方案的种数是 （用数字作
4、答）12已知数列是由正整数组成的数列，且满足，其中，且，则= ，= 13. 已知满足约束条件则的最小值为 14. 设函数的定义域为，若存在常数，使对一切实数均成立，则称为函数给出下列函数：；是定义在上的奇函数，且满足对一切实数、均有其中是函数的序号为 三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤得分评卷人15.（本小题满分13分）已知函数 （）求的最小正周期；（）求当时，的最大值及最小值；（）求的单调递增区间得分评卷人 16.（本小题满分13分）袋中装有大小、质地相同的8个小球，其中红色小球4个，蓝色和白色小球各 2个某学生从袋中每次随机地摸出一个小球，记下颜
5、色后放回规定每次摸出红色小球记2分，摸出蓝色小球记1分，摸出白色小球记0分（）求该生在4次摸球中恰有3次摸出红色小球的概率；（）求该生两次摸球后恰好得2分的概率；（）求该生两次摸球后得分的数学期望得分评卷人17.（本小题满分12分）已知函数，在函数图像上一点处切线的斜率为3（）若函数在时有极值，求的解析式； （）若函数在区间，上单调递增，求的取值范围得分评卷人 18.（本小题满分14分） 如图，三棱锥中，（）求证：平面；（）若为线段上的点，设，问为何值时能使直线平面；（）求二面角的大小得分评卷人 19.（本小题满分14分）如图所示，已知圆，定点，为圆上一动点，点在上，点在上，且满足，点的轨迹为
6、曲线() 求曲线的方程；() 若点在曲线上，线段的垂直平分线为直线，且成等差数列，求的值，并证明直线过定点；（）若过定点(0，2)的直线交曲线于不同的两点、（点在点、之间），且满足，求的取值范围得分评卷人20.（本小题满分14分）已知函数对于任意（），都有式子成立（其中为常数）（）求函数的解析式； （）利用函数构造一个数列，方法如下：对于给定的定义域中的，令， 在上述构造过程中，如果（=1，2，3，）在定义域中，那么构造数列的过程继续下去；如果不在定义域中，那么构造数列的过程就停止.（）如果可以用上述方法构造出一个常数列，求的取值范围；（）是否存在一个实数，使得取定义域中的任一值作为，都可用上
7、述方法构造出一个无穷数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；（）当时，若，求数列的通项公式 2006年4月北京市石景山区高三统一测试数学（理）试题答案一、选择题：每小题5分，满分40分1A 2C 3D 4A 5B 6D 7A 8B 二、填空题：每小题5分，满分30分（对有两空的小题，第一空3分，第二空2分）940；243 10； 1118012； 135 14三、解答题：本大题满分80分15（本小题满分13分）解：= 5分（）T= 7分（） ， 当=0，即时，有最小值， 9分当=，即时，有最大值 11分（） ，Z ， ，Z 的单调递增区间是 （Z） 13分 16（本小题满分13分）解：（
8、）“摸出红色小球”，“摸出蓝色小球”，“摸出白色小球”分别记为事件A，B，C1分由题意得：， 3分因每次摸球为相互独立事件，故4次摸球中恰有3次摸出红色小球的概率为： 5分（）该生两次摸球后恰好得2分的概率9分（）两次摸球得分的可能取值为0，1，2，3，4则； ； 12分 13分17（本小题满分12分）解： 由求导数得， 1分由在函数图像上一点处切线的斜率为3知，即，化简得 3分（）因为在时有极值，所以，即 5分由联立解得 6分（），由知， 在区间上单调递增，依题意在上恒有，即在上恒成立 8分 在时， 在 时，无实数解 在时， 综合上述讨论可知，的取值范围是 12分18(本小题满分14分)方法
9、一：（） ， ， ， 平面 3分（）当M为PC中点时，即时，直线平面， 4分证明如下：由（）知平面，平面， ， 5分在等腰中， M为中点， ， 6分又， 平面 8分（）由()知当M为PC中点时，平面， 平面， 平面平面 9分过作于， 平面 作于，连结，由三垂线定理可知， 为二面角的平面角 11分设，则在中，由()知平面，平面， 在中，由面积公式得, 12分同理，在中，由面积公式得， 13分在中，所以二面角的大小为 14分方法二：()同方法一 3分()如图，以A为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系 设，则， 4分当M为PC中点时，即时，直线平面 5分证明如下：当M为PC中点时，
10、, ，即 6分， ，即 7分又， 平面 8分（）可证平面 则平面法向量为， 9分下面求平面PBC的法向量设平面PBC的法向量为，,，令，则， 12分所以二面角的大小为 14分19 （本小题满分14分）解：()由题意知，圆的圆心为，半径 为线段的垂直平分线， 又 ， 动点的轨迹是以点（1，0），（1，0）为焦点且长轴长为的椭圆 2分 曲线的方程为 3分()由()知，曲线的轨迹为椭圆，为右焦点，其右准线方程为设到直线的距离为根据椭圆的定义知,得 同理可得：， 5分 成等差数列， ，代入得 6分下面证明直线过定点由，可设线段的中点为（ 得 直线的斜率，则直线的方程为：，即 8分 直线过定点，定点为
11、9分（）当直线斜率存在时，设直线方程为，代入椭圆，得由得 10分设， 又 ，即 由联立得， 即，整理得 12分 ， ， ，解得且又 ， 13分当直线斜率不存在时，直线方程为，此时，即 ，即所求的取值范围是 14分20（本小题满分14分）解：（）令（），则，而，故=， =（） 3分（）（）根据题意，只需当时，方程有解， 4分亦即方程 有不等于的解 将代入方程左边，左边为1，与右边不相等故方程不可能有解5分 由 =，得 或，即实数a的取值范围是 7分（）假设存在一个实数，使得取定义域中的任一值作为x1，都可以用上述方法构造出一个无穷数列，那么根据题意可知，=在R中无解，8分亦即当时，方程无实数解由于不是方程的解，所以对于任意xR，方程无实数解，因此解得 即为所求的值 11分（）当时，所以，两边取倒数，得，即所以数列是首项为，公差的等差数列故，所以，即数列的通项公式为 14分若有其它解法，请酌情给分