1、数学试题（理科）【满分150分，考试时间120分钟】一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1如图所示的组合体，其结构特征是A左边是三棱台，右边是圆柱 B左边是三棱柱，右边是圆柱C左边是三棱台，右边是长方体 D左边是三棱柱，右边是长方体2给出下列四个说法，其中正确的是A线段在平面内，则直线不在平面内；B三条平行直线共面；C两平面有一个公共点，则一定有无数个公共点； D空间三点确定一个平面.3一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A B C D4设、是三个不同平面，是一条直线，下列各组条件中可以推出的有， ， ， ABCD5直
2、线与平面内的两条直线都垂直，则直线与平面的位置关系是A平行B垂直 C在平面内 D无法确定6如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是A BCD7在正方体中，分别是的中点，为正方形的中心，则A直线是异面直线，且 B直线是异面直线且C直线是相交直线，且 D直线是相交直线且8一个透明封闭的正四面体容器中，恰好盛有该容器一半容积的水，任意转动这个正四面体，则水面在容器中的形状可能是：正三角形直角三角形正方形梯形，其中正确的个数有A1个 B2个 C3个 D4个9已知圆锥的顶点为，母线长为2，底面半径为，为底面圆周上两个动点，则下列说法不一定正确的是
3、A圆锥的高为1 B三角形为等边三角形C三角形面积的最大值为2 D直线与圆锥底面所成角的大小为10如图，网格纸上小正方形的边长为，粗实线画出的是某多面体的三视图，则此几何体的表面积为A BC D11如图，矩形中，为边的中点，将沿直线翻折成若为线段的中点，在翻折过程中，下面四个命题中不正确的是A是定值B点在某个球面上运动C存在某个位置，使D存在某个位置，使平面12如图，已知直三棱柱的底面是边长为的正三角形，侧棱长为.，分别是侧面和侧面上的动点，满足二面角为直二面角.若点在线段上，且，则点的轨迹的面积是A B C D二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13已知正四棱锥的底面边长为，高为
4、，则此四棱锥的侧棱与底面所成角的弧度数为_.14如图所示，在圆锥中，为底面圆的两条直径，且,，为的中点，则异面直线与所成角的正切值为_.15四面体的四个顶点都在球的表面上，平面，则球的表面积为_16如图是一座山的示意图，山呈圆锥形，圆锥的底面半径为10公里，母线长为40公里，是母线上一点，且公里.为了发展旅游业，要建设一条最短的从绕山一周到的观光铁路.这条铁路从出发后首先上坡，随后下坡，则下坡段铁路的长度为_公里.三、解答题：本大题共70分17(本题满分10分) （1）用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为4，求球的表面积（2）正三棱台的高为3，上、下底面边长分别为2和4，求这个棱台的
5、侧棱长和斜高(斜高是指侧面梯形的高)18(本题满分12分)如图，在直棱柱中，分别是棱，上的点，且平面.（1）证明：/；（2）求证：.19(本题满分12分)如图，在四棱锥中，平面，为的中点，为的中点，底面是菱形，对角线交于点求证：（1）平面平面；（2）平面平面20(本题满分12分)如图所示，在正四棱柱中，点E、F分别是棱BC、DC的中点.（1）求证：BD平面；（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.21(本题满分12分)已知四棱锥，底面是边长为的菱形， ， 为的中点， ，与平面所成角的正弦值为.（1）在棱上求一点，使平面；（2）求二面角的余弦值.22(本题满分12分)如图，为正六棱柱，底面边长，高
6、.（1）若，求异面直线和所成角的余弦值；（2）计算四面体的体积（用来表示）；（3）若正六棱柱底面边长和高满足：（为定值），则当底面边长和高分别取得何值时，正六棱柱的表面积与体积之比最小？理科数学试题答案一、选择题： 1-5：DCBAD 6-10:ACCBD 11-12:CB二、填空题： 13 14. 15. 16. 三、解答题： 17. （1）截面圆的半径r=2，球半径R=，.5分（2）正三棱台中，高，底面边长为，故，侧棱长=，又，斜高=.10分 18解：（1）因为平面，平面，平面平面，所以.又在直棱柱中，有，所以.6分（2）连接，因为棱柱为直棱柱，所以平面，又平面，所以.又因为，平面，平面，
7、所以平面.又平面，所以.在直棱柱中，有四边形为平行四边形.又因为，所以四边形为菱形，所以.又,平面,平面，所以平面，又平面，所以.12分19 .解：（1）因为E为PA的中点，O为AC的中点，所以EOPC又EO平面PCD，PC平面PCD，所以EO平面PCD同理可证，FO平面PCD，又EOFOO所以，平面EFO平面PCD.6分（2）因为PA平面ABCD，BD平面ABCD，所以PABD因为底面ABCD是菱形，所以ACBD，又PAACA所以BD平面PAC又BD平面PBD，所以平面PAC平面PBD.12分20.解：（1）证明：点E、F分别是棱BC、DC的中点，EFBD.又平面平面，平面.6分（2）以D为
8、原点，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系则设平面的一个法向量为由可得令 直线与平面所成角的正弦值为.12分21.解：（1）以为轴， 为轴， 与的交点为，过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系.其中： ， ， ， ， ， .设平面的法向量， ， .所以所以 所以，因此，故 设， ， ，则. 设平面的法向量为， ， 所以故.，所以，因此，所以为中点. .6分(2) 平面的法向量，平面的法向量， 由二面角为锐二面角，因此，二面角的余弦值为. .12分22.解：（1）补形如图：延长相交于点，延长相交于点，连接由正六边形性质知是平行四边形，从而得是直四棱柱，则且所以四边形是平行四边形，所以,所以异面直线和所成角的大小即为直线和所成角的大小.在三角形中，由平面几何知识和余弦定理得：，,.4分（2）如图，建立分别以为轴的空间直角坐标系，则，设平面法向量为,，令，则，,所以到平面的距离又，,.8分（3）由题知，正六棱柱的表面积正六棱柱的体积又所以当时，有最大值，也即取得最小值，此时，.12分
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