2022届高三数学二轮复习-高考中的不等式问题研究讲义 WORD版含答案.docx

1、2022届高三二轮专题复习-不等式专题高考中的不等式问题选讲高考中的不等式问题分两大类，一类是考查经典不等式，如柯西不等式，均值不等式，另一类是绝对值不等式问题，考查含参数取值问题，分段函数不等式问题.一、经典不等式的考查1.（全国I理23）选修45：不等式选讲已知a，b，c为正数，且满足abc=1证明：（1）；（2）解：（1）因为，又，故有.所以.（2）因为为正数且，故有=24.所以.点评：本题考查柯西不等式与均值不等式问题。2.已知，证明：(1)；(2).解：（1）（2），所以，因此3.(江苏)选修45：不等式选讲若，为实数，且，求的最小值解：4.由柯西不等式，得因为，所以，当且仅当时，不

2、等式取等号，此时，所以的最小值为44.已知，证明：(1)；(2)证明：（1）（2），所以，因此5.已知，为实数，且，证明证明：由柯西不等式可得：，因为所以，因此.【课外拓展题】问题：设求证：.（1）证明：（1）.（2）设则 所以（2）成立.所以6.【2021-浙江高考-T8】已知是互不相同的锐角，则在三个值中，大于的个数的最大值是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】【分析】利用基本不等式或排序不等式得，从而可判断三个代数式不可能均大于，再结合特例可得三式中大于个数的最大值.【详解】法1：由基本不等式有，同理，故，故不可能均大于.取，则，故三式中大于的个数的最大值为2，故选：

3、C.法2：不妨设，则，由排列不等式可得：，而，故不可能均大于.取，则，故三式中大于的个数的最大值为2，故选：C.【点睛】思路分析：代数式的大小问题，可根据代数式的积的特征选择用基本不等式或排序进行放缩，注意根据三角变换的公式特征选择放缩的方向.二、 分段不等式问题7.(2018全国卷) 选修45：不等式选讲设函数(1)画出的图像；(2)当时，求的最小值解：(1)的图像如图所示(2)由(1)知，的图像与轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当且时，在成立，因此的最小值为58.已知函数（I）在图中画出的图像；（II）求不等式的解集解：(1)如图所示：(2) ，当，解得或，当

4、，解得或，或，当，解得或，或，综上，或或，解集为9.设函数,其中（）当时，求不等式的解集；（）若不等式的解集为 ，求a的值解：（）当时，可化为由此可得 或故不等式的解集为或() 由 得，此不等式化为不等式组 或，即或，因为，所以不等式组的解集为，由题设可得=，故10.已知函数，M为不等式的解集（I）求M；（II）证明：当a，时，解：（I）当时，若；当时，恒成立；当时，若，综上可得，（）当时，有，即，则，则，即， 证毕11.设，且.（1）求的最小值；（2）若成立，证明：或.证明：解析（1）由于，故由已知得，当且仅当x=，y=，时等号成立所以的最小值为.（2）由于=，故由已知，当且仅当，时等号成立

5、因此的最小值为由题设，所以解得或.12.【2021浙江高考-T17】已知平面向量满足.记向量在方向上的投影分别为x，y，在方向上的投影为z，则的最小值为_.【答案】解:由题意，设，则，即，又向量在方向上的投影分别为x，y，所以，所以在方向上的投影，即,所以，当且仅当即时，等号成立，所以的最小值为.故答案为：.13.设函数(1)当时，求不等式的解集；(2)若，求的取值范围【解析】(1)当时，可得的解集为(2)等价于而，且当时等号成立故等价于由可得或，所以的取值范围是14.如图所示，某几何体由底面半径和高均为5的圆柱与半径为5的半球对接而成，在该封闭的几何体内部放入一个小圆柱体，且小圆柱体的上、下

6、底面均与外层圆柱的底面平行，则小圆柱体积的最大值为()A. B.C81 D128答案B解析小圆柱的高分为上、下两部分，上部分的高同大圆柱的高相等，为5，下部分深入底部半球内设小圆柱下部分的高为h(0h5)，底面半径为r(0r5)由于r，h和球的半径构成直角三角形，即r2h252，所以小圆柱的体积Vr2(h5)(25h2)(h5)(0h5)，把V看成是关于h的函数，求导得V(3h5)(h5)当0h0，V单调递增；当h5时，V0，V单调递减所以当h时，小圆柱的体积取得最大值即Vmax，故选B.15.【模拟题】最值应用题一件刚出土的珍贵文物要在博物馆大厅中央展出，如图，需要设计各面是玻璃平面的无底正

7、四棱柱将其罩住，罩内充满保护文物的无色气体已知文物近似于塔形，高1.8米，体积0.5立方米，其底部是直径为0.9米的圆形，要求文物底部与玻璃罩底边至少间隔0.3米，文物顶部与玻璃罩上底面至少间隔0.2米，气体每立方米1 000元，则气体的费用最少为()A4 500元 B4 000元 C2 880元 D2 380元答案B解析因为文物底部是直径为0.9米的圆形，文物底部与玻璃罩底边至少间隔0.3米，所以由正方形与圆的位置关系可知，底面正方形的边长为0.920.31.5米，又文物高1.8米，文物顶部与玻璃罩上底面至少间隔0.2(米)，所以正四棱柱的高为1.80.22(米)，则正四棱柱的体积V1.52

8、24.5(立方米)因为文物的体积为0.5立方米，所以罩内空气的体积为4.50.54(立方米)，因为气体每立方米1 000元，所以气体的费用最少为41 0004 000(元)，故选B.高考压轴猜想题：16.【猜想命题】已知，证明：(1)；(2)证明：（1）（2） 因为所以所以17.【高考题改编】已知函数(1)求不等式的解集；(2)若不等式的解集是空集，求的取值范围解：（1），当时，无解；当时，由得，解得当时，由解得所以的解集为（2）由得，而且当时，解集是空集，故m的取值范围：18.拓展演练I.单选题（1）已知正实数x，y满足.则的最小值为（ ）A4BCD（2）已知实数，满足，则的取值范围是（ ）ABCDII、多选题（3）对于实数，下列说法正确的是( )A若，则B若，则C若，则D若，则（4）（多选）若，则下列不等式中一定不成立的是（ ）ABCD（5）已知且，那么下列不等式中，恒成立的有（ ）ABCD