1、2017-2018学年度第二学期期中考试高二理科数学试题（B）第卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 复数的虚部为（ ）A. B. C. -2 D. 0【答案】C【解析】分析：先利用复数的乘法法则化简，再指出其虚部详解：因为，所以其虚部为.故选C点睛：本题考查复数的乘法法则、复数的概念等知识，意在考查学生的基本计算能力2. 已知函数，且，则的值为（ ）A. B. 1 C. -1 D. 0【答案】B【解析】分析：先求导，再代值进行求解详解：因为，所以，又，则，即.故选B点睛：本题考查基本初等函数的求导公式等知识，
2、意在考查学生的基本计算能力3. 有一段演绎推理是这样的：“指数函数都是增函数；已知是指数函数；则是增函数”的结论显然是错误的，这是因为（ ）A. 大前提错误 B. 小前提错误C. 推理形式错误 D. 非以上错误【答案】A【解析】“指数函数都是增函数”是错误的,即大前提错误,故选A.4. 在复平面内，复数所对应的点位于（ ）A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】A【解析】，z在复平面内对应的点为，在第一象限，故选：A5. 定积分等于（ ）A. 3 B. 6 C. -3 D. -6【答案】D【解析】分析：利用微积分基本定理进行求解详解：由微积分基本定理，得：点睛：本
3、题考查微积分基本定理等知识，意在考查学生的基本计算能力6. 已知，复数，则（ ）A. -2 B. 1 C. 0 D. 2【答案】D【解析】分析：先利用复数的除法法则化简等式的右边，再利用复数相等的定义得到相关值详解：因为，所以，即.故选D点睛：本题考查复数的除法法则、复数相等的概念等知识，意在考查学生的基本计算能力7. 已知函数，其导函数的图象如图所示，则（ ）A. 至少有两个零点B. 在处取极小值C. 在上为减函数D. 在处切线斜率为0【答案】C【解析】根据导函数的图像只能得到原函数的单调性，和单调区间，得不到函数值，故得到A是错的，在x=3处，左右两端都是减的，股不是极值；故B是错的；C，
4、在上是单调递减的，故答案为C；D在1出的导数值大于0，故得到切线的斜率大于0，D不对。故答案为C。8. 设复数满足，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：利用复数的除法法则进行求解详解：由题意，得.故选D点睛：本题考查复数的除法等知识，意在考查学生的基本计算能力9. 对于命题：三角形的内角至多有一个是钝角，若用反证法证明，则下列假设正确的是（ ）A. 假设至少有一个钝角B. 假设至少有两个钝角C. 假设三角形的三个内角没有一个钝角D. 假设没有一个钝角或至少有两个钝角【答案】B【解析】用反证法证明数字命题时，应先假设要证的命题的否定成立，而要证命题“三角形的内角至多有一个钝角
5、”的否定为“三角形的内角至少有两个钝角”，所以应假设三角形的内角至少有两个钝角，故选10. 用数学归纳法证明不等式的过程中，由到时，不等式的左边（ ）A. 增加了一项B. 增加了两项C. 增加了两项，又减少了一项D. 增加了一项，又减少了一项【答案】C【解析】当时,不等式左边为+,故增加了两项+,减少了一项,故选C.11. 函数的图象大致是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】令 ，故选B.12. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，有成立，则不等式的解集是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】很明显不是不等式的解，令，为奇函数，则为偶函数，当时，函数在区间上单调递增，且，不
6、等式等价于，即，由的单调性可得，结合偶函数关于轴对称可得不等式的解集是.本题选择A选项.点睛：函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中。某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用。因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的。根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧。许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效。第卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案
7、填在答题纸上）13. 若复数满足，则复数的模为_【答案】【解析】分析：先利用复数的四则运算求出复数，再利用模的计算公式进行求解详解：由，得，则点睛：本题考查复数的四则运算、模的计算等知识，意在考查学生的基本计算能力14. 如图，函数的图象在点处的切线方程是，则的值为_【答案】-1【解析】分析：利用导数的几何意义求出，再利用切点在切线上求出详解：由题意，得，则点睛：1.解决本题时，要注意切点既在曲线上，又在切线上，学生往往忽视“点在切线上”；2.利用导数的几何意义求曲线的切线时，要注意区分“曲线在某点处的切线”和 “曲线过某点的切线”的不同15. 由直线与曲线围成的封闭图形的面积是_【答案】【解
8、析】作出两条曲线所对应的封闭区域，如图所示，由，得，解得或，则根据定积分的几何意义可知所示的封闭区域的面积，故答案为 【答案】【解析】此类比仅是数量的变化，即在空间中，四点共面的充要条件是：对于平面内任一点，有且只有一对实数满足向量关系式，且三、解答题 （本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知函数，求：（）函数的图象在点处的切线方程；（）的单调递减区间.【答案】（）；（）.【解析】试题分析：（1）求导得，故，又，根据点斜式方程可得切线方程；（2）令，解不等式可得函数的单调递减区间。试题解析：（1），又，函数的图象在点处的切线方程为，即。（2）由（1）得，
9、令，解得或。函数的单调递减区间为。点睛：（1）利用导数研究曲线的切线问题，一定要熟练掌握以下条件：函数在切点处的导数值也就是切线的斜率即已知切点坐标可求切线斜率，已知斜率可求切点坐标切点既在曲线上，又在切线上切线有可能和曲线还有其它的公共点（2）求曲线切线时，要分清在点P处的切线与过P点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者18. （）求证：（）已知，且，求证：和中至少有一个小于2.【答案】（）见解析；（）见解析.【解析】分析：（）利用分析法进行证明；（）利用反证法进行证明详解：（）证明：因为和 都是正整数，所以只需证，只需证，即证，即证，即证，即证，因为显然成立，所以原不等式成立.（）
10、假设则因为，有所以，故.这与题设条件相矛盾，所以假设错误.因此和中至少有一个小于2.点睛：本题考查分析法、反证法等知识，意在考查学生的逻辑思维能力和基本运算能力19. 已知函数.（）若，求函数的最小值；（）若函数在上是减函数，求实数的取值范围.【答案】（）；（）.【解析】分析：（）求导，利用导数的符号变化确定函数的单调性，进而得到函数的最小值；（）求导，利用导函数在给定区间上恒为非正值进行求解详解：（），则， ，由，所以，当，；，在单调递减，在单调递增. （）由已知在上恒成立，.令， 在上单调递减，.点睛：已知函数在区间上单调递增，求有关参数问题，往往有两个思路：先求出函数的单调递增区间，再利
11、用进行求解；将函数在区间上单调递增转化为在区间上恒成立20. 已知数列满足，.（）求值；（）归纳猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明.【答案】（）；（）.【解析】试题分析：(1)利用递推关系可求得；(2) 猜想 ，按照数学归纳法的过程证明猜想即可.试题解析：解:(1)计算得 猜想 证明如下：当n=1时，猜想显然成立；假设当n=k（kN+）时猜想成立，即成立， 则当时，即时猜想成立由得对任意，有21. 已知某商品的进货单价为1元/件，商户甲往年以单价2元/件销售该商品时，年销量为1万件.今年拟下调销售单价以提高销量增加收益.据估算，若今年的实际销售单价为元/件，则新增的年销量（万件）.（）写出
12、今年商户甲的收益（单位：万元）与的函数关系式；（）商户甲今年采取降低单价提高销量的营销策略，是否能获得比往年更大的收益（即比往年收益更多）？请说明理由.【答案】（） ；（）见解析.详解：（）由题意知，今年的年销售量为（万件）.因为每销售一件，商户甲可获利元，所以今年商户甲的收益 （）由 得 令，解得或 当时，是增函数；当时，是减函数；当时，是增函数；为极大值点，极大值为，当或2时，在区间上的最大值为1（万元），而往年的收益为（万元），所以商户甲采取降低单价提高销量的营销策略不能获得比往年更大的收益.点睛：1.利用函数解决应用问题时，根据题意列出函数表达式后，还要根据实际意义写出函数的定义域；2
13、.利用导数求函数在某区间上的最值时，往往先研究函数在该区间上的单调性，进而求出极值，再比较极值和端点函数值确定最值22. 已知函数.（）当时，求的单调区间；（）当时，求函数在区间上的最小值.【答案】（）见解析；（）见解析.【解析】分析：（）求出函数的定义域，求导，通过讨论的取值确定导数的符号变化，进而确定函数的单调区间；（）先由（）得到函数的单调区间，再通过讨论与的大小确定函数在给定区间上的最值详解：（）由函数可知，函数的定义域是，且 ，当时， ，令，得；令，得，的单调增区间为，单调减区间是；当时，令得或，若，即，则恒成立，在上单调递增，若，即，则和时， ，当时， ，在和上单调递增，在上单调递
14、减；若，即，则和时， ，当时，在和上单调递增，在上单调递减，综上所述，当时，的单调区间为，单调减区间是，当时， 的单调增区间为和，单调减区间是；当时， 的单调增区间是；当时， 的单调增区间是和，单调减区间是（）由（）可知，当，即时， 在上单调递增，在上的最小值是；当时，即时，在上单调递减，在上单调递增，在上的最小值是 ，当时，即时， 在上单调递减，在的最小值是 ，综上所述，当时， 在上的最小值是；当时， 在上的最小值是；当时， 在上的最小值是点睛：1.利用导数求函数在某区间上的最值时，往往先研究函数在该区间上的单调性，进而求出极值，再比较极值和端点函数值确定最值；2.分类讨论思想是高中数学重要的一种数学思想，要根据题意合理确定分类的标准和讨论的方法
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