1、练典型习题提数学素养一、选择题1(2019高考北京卷)已知椭圆1(ab0)的离心率为，则()Aa22b2B3a24b2Ca2b D3a4b解析：选B.由题意得，所以，又a2b2c2，所以，所以4b23a2.故选B.2以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为()A1 B.C2 D2解析：选D.设a，b，c分别为椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距，依题意知，2cb1bc1，2a222，当且仅当bc1时，等号成立故选D.3若点P为抛物线y2x2上的动点，F为抛物线的焦点，则|PF|的最小值为()A2 B.C. D.解析：选D.由题意知x2y，则F(0，)，设P(x
2、0，2x)，则|PF|2x，所以当x0时，|PF|min.4(2019高考天津卷)已知抛物线y24x的焦点为F，准线为l.若l与双曲线1(a0，b0)的两条渐近线分别交于点A和点B，且|AB|4|OF|(O为原点)，则双曲线的离心率为()A. B.C. 2 D.解析：选D.由题意知F(1，0)，l：x1，双曲线的渐近线方程为yx，则|AB|4|OF|4，而|AB|2，所以2，所以e，故选D.5(一题多解)(2019高考全国卷)设F为双曲线C：1(a0，b0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2y2a2交于P，Q两点若|PQ|OF|，则C的离心率为()A. B.C2 D.解析：选A.
3、通解：依题意，记F(c，0)，则以OF为直径的圆的方程为y2，将圆y2与圆x2y2a2的方程相减得cxa2，即x，所以点P，Q的横坐标均为.由于PQ是圆x2y2a2的一条弦，因此a2，即a2，即a2，所以c22ab，即a2b22ab(ab)20，所以ab，因此C的离心率e，故选A.优解一：记F(c，0)连接OP，PF，则OPPF，所以SOPF|OP|PF|OF|PQ|，即acc，即c22ab，即a2b22ab(ab)20，所以ab，因此C的离心率e ，故选A.优解二：记F(c，0)依题意，PQ是以OF为直径的圆的一条弦，因此OF垂直平分PQ.又|PQ|OF|，因此PQ是该圆与OF垂直的直径，所
4、以FOP45，点P的横坐标为，纵坐标的绝对值为，于是有a，即e，即C的离心率为，故选A.6已知直线l：ykx2过双曲线C：1(a0，b0)的左焦点F和虚轴的上端点B(0，b)，且与圆x2y28交于点M，N，若|MN|2，则双曲线的离心率e的取值范围是()A(1， B(1，C，) D，)解析：选C.设圆心到直线l的距离为d(d0)，因为|MN|2，所以22，即00，b0)的左焦点F和虚轴的上端点B(0，b)，得|k|.所以，即，所以，即1，所以e，即双曲线的离心率e的取值范围是，)故选C.二、填空题7已知双曲线1(b0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B
5、，C，D四点，四边形的ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为_解析：根据对称性，不妨设A在第一象限，A(x，y)，所以所以xyb212，故双曲线的方程为1.答案：18已知抛物线C：y22px(p0)的准线l，过M(1，0)且斜率为的直线与l相交于点A，与C的一个交点为点B，若，则p_解析：设直线AB：yx，代入y22px得：3x2(62p)x30，又因为，即M为A，B的中点，所以xB()2，即xB2，得p24p120，解得p2，p6(舍去)答案：29(2019昆明市质量检测)已知抛物线y24x上一点P到准线的距离为d1，到直线l：4x3y110的距离为d2，则d1d2的最小值为_解析：如图，设
6、抛物线的准线为m，焦点为F，分别过点P，F作PAm，PMl，FNl，垂足分别为A，M，N.连接PF，因为点P在抛物线上，所以|PA|PF|，所以(d1d2)min(|PF|PM|)min|FN|.点F(1，0)到直线l的距离|FN|3，所以(d1d2)min3.答案：3三、解答题10(2019长春市质量监测(二)已知椭圆C：1(ab0)的中心是坐标原点O，左、右焦点分别为F1，F2，设P是椭圆C上一点，满足PF2x轴，|PF2|，椭圆C的离心率为.(1)求椭圆C的标准方程；(2)过椭圆C的左焦点且倾斜角为45的直线l与椭圆C相交于A，B两点，求AOB的面积解：(1)由题意知，离心率e，|PF2
7、|，得a2，b1，所以椭圆C的标准方程为y21.(2)由条件可知F1(，0)，直线l：yx，联立直线l和椭圆C的方程，得，消去y得5x28x80，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2，所以|y1y2|x1x2|，所以SAOB|y1y2|OF1|.11(2019高考全国卷)已知抛物线C：y23x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P.(1)若|AF|BF|4，求l的方程；(2)若3，求|AB|.解：设直线l：yxt，A(x1，y1)，B(x2，y2)(1)由题设得F，故|AF|BF|x1x2，由题设可得x1x2.由可得9x212(t1)x4t20，则
8、x1x2.从而，得t.所以l的方程为yx.(2)由3可得y13y2.由可得y22y2t0.所以y1y22.从而3y2y22，故y21，y13.代入C的方程得x13，x2.故|AB|.12已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为，其中一个顶点是抛物线x24y的焦点(1)求椭圆C的标准方程；(2)若过点P(2，1)的直线l与椭圆C在第一象限相切于点M，求直线l的方程和点M的坐标解：(1)设椭圆C的方程为1(ab0)，由题意得b，解得a2，c1.故椭圆C的标准方程为1.(2)因为过点P(2，1)的直线l与椭圆C在第一象限相切，所以直线l的斜率存在，故可设直线l的方程为yk(x2)1(k0)由得(34k2)x28k(2k1)x16k216k80.因为直线l与椭圆C相切，所以8k(2k1)24(34k2)(16k216k8)0.整理，得2k10，解得k.所以直线l的方程为y(x2)1x2.将k代入式，可以解得M点的横坐标为1，故切点M的坐标为.