1、专练(四)技法14函数方程思想1已知在边长为1的正方形ABCD中，M为BC的中点，点E在线段AB上运动(包含端点)，则的取值范围是()A. B.C. D0,1答案：C解析：解法一将正方形ABCD放入如图所示的平面直角坐标系中，设E(x,0)，0x1.又M，C(1,1)，所以，(1x,1)，所以(1x,1)(1x)2.因为0x1，所以(1x)2，即的取值范围是.解法二()222，又0|1，所以2，即的取值范围是.2将一个底面半径为1，高为2的圆锥形工件切割成一个圆柱体，能切割出的圆柱的最大体积为()A. B.C. D.答案：B解析：如图所示，设圆柱的半径为r，高为x，体积为V，由题意可得，所以x
2、22r，所以圆柱的体积Vr2(22r)2(r2r3)(0r1)，设V(r)2(r2r3)(0r0)恒成立，则实数t的最大值是()A4 B7C8 D9答案：D解析：作函数f(x)x24x4(x2)2的简图如图所示由图象可知，当函数yf(xa)的图象经过点(1,4)时，有x1，t，f(xa)4x(a0)恒成立，此时t取得最大值，由(1a)24(1a)44，得a5或a1(舍)，所以4t(t52)2，所以t1(舍)或t9，故t9.42018全国卷ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsin Ccsin B4asin Bsin C，b2c2a28，则ABC的面积为_答案：解析： bsin
3、Ccsin B4asin Bsin C， 由正弦定理得sin Bsin Csin Csin B4sin Asin Bsin C.又sin Bsin C 0， sin A.由余弦定理得cos A0， cos A，bc， SABCbcsin A.5已知an为等差数列，前n项和为Sn(nN*)，bn是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2b312，b3a42a1，S1111b4.则an_，bn_.答案：3n22n解析：设等差数列an的公差为d，等比数列bn的公比为q.由已知b2b312，得b1(qq2)12，而b12，所以q2q60，解得q2或q3，又因为q0，所以q2.所以bn2n.由b3a42a
4、1，可得3da18.由S1111b4，可得a15d16，联立，解得a11，d3，由此可得an3n2.所以数列an的通项公式为an3n2，数列bn的通项公式为bn2n.6已知双曲线C：1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1(c,0)，F2(c,0)，P是双曲线C右支上一点，且|PF2|F1F2|，若直线PF1与圆x2y2a2相切，则双曲线的离心率为_答案：解析：取线段PF1的中点为A，连接AF2，又|PF2|F1F2|，则AF2PF1，直线PF1与圆x2y2a2相切，|AF2|2a，|PA|PF1|ac，4c2(ac)24a2，化简得(3c5a)(ac)0，则双曲线的离心率为.7已知函数f(x)
5、lg，其中a为常数，若当x(，1，f(x)有意义，则实数a的取值范围为_答案：解析：参数a深含在一个复杂的复合函数的表达式中，欲直接建立关于a的不等式(组)非常困难，故应转换思维角度，设法从原式中把a分离出来，重新认识a与变元x的依存关系，利用新的函数关系，使原问题“柳暗花明”由0，且a2a120，得12x4xa0，故a.当x(，1时，y与y都是减函数，因此，函数y在(，1上是增函数，所以max，所以a.故实数a的取值范围是.8关于x的不等式ex1x0在x上恰成立，则a的取值集合为_答案：2解析：关于x的不等式ex1x0在x上恰成立函数g(x)在上的值域为.因为g(x)，令(x)ex(x1)x
6、21，x，则(x)x(ex1)因为x，所以(x)0，故(x)在上单调递增，所以(x)0.因此g(x)0，故g(x)在上单调递增，则g(x)g2，所以a2，解得a2，所以a的取值集合为292018全国卷节选设抛物线C：y24x的焦点为F，过F且斜率为k(k0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|8.求l的方程解析：由题意得F(1,0)，l的方程为yk(x1)(k0)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得k2x2(2k24)xk20.16k2160，故x1x2.所以|AB|AF|BF|(x11)(x21).由题设知8，解得k1(舍去)或k1.因此l的方程为yx1.10已知数列an是各项均为正数
7、的等差数列，a12，且a2，a3，a41成等比数列(1)求数列an的通项公式an；(2)设数列an的前n项和为Sn，bn，若对任意的nN*，不等式bnk恒成立，求实数k的最小值解析：(1)因为a12，aa2(a41)，又因为an是正项等差数列，所以公差d0，所以(22d)2(2d)(33d)，解得d2或d1(舍去)，所以数列an的通项公式an2n.(2)由(1)知Snn(n1)，则bn.令f(x)2x(x1)，则f(x)2，当x1时，f(x)0恒成立，所以f(x)在1，)上是增函数，故当x1时，f(x)minf(1)3，即当n1时，(bn)max，要使对任意的正整数n，不等式bnk恒成立，则需使k(bn)max，所以实数k的最小值为.