1、单元素养评价(三) (第6章)(120分钟150分)一、单选题(每小题5分,共40分)1.(2019荆州高一检测)若幂函数f(x)=xa的图像过点(4,2),则f(a2)=()A.aB.-aC.aD.|a|【解析】选D.由题意f(4)=4a=2,解得a=,所以f(x)=,所以f(a2)=(a2=|a|.2.设a,则使函数y=xa的定义域是R,且为奇函数的所有a的值是()A.1,3B.-1,1C.-1,3D.-1,1,3【解析】选A.当a=-1时,y=x-1的定义域是,且为奇函数;当a=1时,函数y=x的定义域是R且为奇函数;当a=时,函数y=的定义域是x|x0且为非奇非偶函数.当a=3时,函数
2、y=x3的定义域是R且为奇函数.3.函数y=的值域是()A.2,+)B.(2,+)C.(0,1D.1,+)【解析】选D.由于0,所以函数y=30=1,故函数的值域为1,+).4.(2020龙海高一检测)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且当x0时,f(x)=log2(x+2)-1,则f(-6)=()A.2B.4C.-2D.-4【解析】选C.由题意可得f(6)=log2(6+2)-1=2,由于函数f(x)是定义在R上的奇函数,所以,f(-6)=-f(6)=-2.5.已知函数y=loga(x+c)(a,c为常数,其中a0,a1)的图像如图所示,则下列结论成立的是()A.a1,c1B.a1,0c
3、1C.0a1D.0a1,0c1【解析】选D.因为函数单调递减,所以0a1,当x=1时loga(x+c)=loga(1+c)1,即c0,当x=0时loga(x+c)=logac0,即c1,即0c0,所以2a-1=-1无解,若a1,则-log2(a+1)=-3,解得a+1=8,a=7,所以f(6-a)=f(-1)=2-1-1-2=-.7.(2020三明高一检测)已知函数f(x)=的值域为-8,1,则实数a的取值范围是()A.(-,-3B.-3,0)C.-3,-1D.-3【解析】选B.当0x4时f(x)=-x2+2x=-(x-1)2+1,所以-8f(x)1;当ax0时,f(x)=-,所以-f(x)1
4、,因为f(x)的值域为-8,1,所以故-3a0,a1)是“成功函数”,则t的取值范围是、()A.B.C.D.【解析】选A.因为f(x)=loga(ax+t)(a0,a1)是“成功函数”,当a1时,f(x)在其定义域内为增函数,当0a0,所以m2-m+t=0有两个不同的正数根,所以,解得t.二、多选题(每小题5分,共20分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)9.下列说法正确的是()A.若幂函数的图象经过点,则解析式为y=x-3B.若函数f(x)=,则f(x)在区间(-,0)上单调递减C.幂函数y=x(0)始终经过点(0,0)和(1,1)D.若函数f(x)=,则对于任意的x1,x
5、20,+)有f【解析】选CD.若幂函数的图象经过点,则解析式为y=,故A错误;函数f(x)=是偶函数且在上单调递减,故在上单调递增,B错误;幂函数y=x(0)始终经过点和,C正确;任意的x1,x20,+),要证f,即证,即证,即证(-)20,易知成立,故D正确.10.对于0a1,下列四个不等式中成立的是()A.loga(1+a)logaC.a1+a【解析】选B、D.因为0a1,所以a,从而1+aloga.又因为0a.11.设函数f(x)=2x,对于任意的x1,x2(x1x2),下列命题中正确的是()A.f(x1+x2)=f(x1)f(x2)B.f(x1x2)=f(x1)+f(x2)C.0D.f
6、x2则f(x1)f(x2),则0,若x1x2则f(x1)0,故C正确;f0,a1)的图象经过点(4,2),则下列命题正确的有()A.函数为增函数B.函数为偶函数C.若x1,则f(x)0D.若0x1x2,则1时,f(x)=log2xlog21=0成立.对D,因为f(x)=log2x往上凸,故若0x1x2,则1的解集是.【解析】1x2-2x-30-1x16-92x;(3)若关于x的方程f(x)+m-1=0在-1,1上有解,求m的取值范围.【解析】(1)设t=2x,因为x-1,1,所以t,y=t-t2=-+,所以t=时,f(x)max=,t=2时,f(x)min=-2.所以f(x)的值域为.(2)设
7、t=2x,由f(x)16-92x,得t-t216-9t,即t2-10t+160,所以2t8,即22x8,所以1x3,所以不等式的解集为x|1x-1.因为3x-10,所以-13x-10.所以-或-2,函数f(x)=log4(x-2)-log4(a-x).(1)求f(x)的定义域;(2)当a=4时,求不等式f(2x-5)f(3)的解集.【解析】(1)由题意得:解得因为a2,所以2xa,故f(x)的定义域为.(2)因为a=4,所以f(2x-5)=log4(2x-7)-log4(9-2x),f(3)=log41-log41=0,因为f(2x-5)f(3),所以log4(2x-7)-log4(9-2x)
8、0,即log4(2x-7)log4(9-2x),从而解得100,可得n22.7.所以至少满23年后基金共有本利和超过一百万元.21.(12分)已知函数f(x)=log2.(1)若函数f(x)是R上的奇函数,求a的值.(2)若函数f(x)的定义域是一切实数,求a的取值范围.(3)若函数f(x)在区间0,1上的最大值与最小值的差不小于2,求实数a的取值范围.【解析】(1)函数f(x)是R上的奇函数,则f(0)=0,求得a=0.又此时f(x)=-x是R上的奇函数.所以a=0为所求.(2)函数f(x)的定义域是一切实数,则+a0恒成立.即a-恒成立,由于-(-,0).故只要a0即可.(3)由已知函数f
9、(x)是减函数,故f(x)在区间0,1上的最大值是f(0)=log2(1+a),最小值是f(1)=log2.由题设log2(1+a)-log22.故-0,所以4x1,则x0,所以函数f(x)的定义域为(0,+).(2)g(x)=2f(x)-m2x+1=-m2x+1=4x-1-m2x+1=4x-m2x.令t=2x,因为x1,2,所以t2,4,则h(t)=t2-mt,t2,4,对称轴为t=,若t=2,即m4时,h(t)在2,4上为增函数,此时当t=2时最小,即h(2)=4-2m=,解得m=成立;若t=4,即m8时,h(t)在2,4上为减函数,此时当t=4时最小,即h(4)=16-4m=,解得m=(舍去);若t=(2,4),即4m8时,h(t)min=h=-,即此时不满足条件.综上所述,存在实数m=使得g(x)的最小值为.