1、课时素养评价二十六函数奇偶性的应用(15分钟35分)1.已知函数y=f(x)为奇函数,且当x0时,f(x)=x2-2x+3,则当x0时,f(x)的解析式是()A.f(x)=-x2+2x-3B.f(x)=-x2-2x-3C.f(x)=x2-2x+3D.f(x)=-x2-2x+3【解析】选B.若x0,因为当x0时,f(x)=x2-2x+3,所以f(-x)=x2+2x+3,因为函数f(x)是奇函数,所以f(-x)=x2+2x+3=-f(x),所以f(x)=-x2-2x-3,所以x0时,f(x)=-x2-2x-3.2.若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)+g(x)=x2+3x+1,
2、则f(x)等于()A.x2B.2x2C.2x2+2D.x2+1【解析】选D.因为f(x)+g(x)=x2+3x+1,所以f(-x)+g(-x)=x2-3x+1.又f(x)是偶函数,且g(x)是奇函数,所以f(x)-g(x)=x2-3x+1.由联立,得f(x)=x2+1.3.设f(x)是R上的偶函数,且在(0,+)上是减函数,若x10,则()A.f(-x1)f(-x2)B.f(-x1)=f(-x2)C.f(-x1)-x10,f(x)在(0,+)上单调递减,所以f(x2)f(-x1).又f(x)是R上的偶函数,所以f(-x2)=f(x2),所以f(-x2)f(-x1).4.函数f(x)是定义在实数
3、集上的偶函数,且在0,+)上是增函数,f(3)1B.a1或a-2D.-1a2【解析】选C.因为函数f(x)在实数集上是偶函数,且f(3)f(2a+1),所以f(3)f(|2a+1|),又函数f(x)在0,+)上是增函数,所以31或a0时,f(x)=+1,则当x0时,f(x)=+1,所以当x0,f(x)=f(-x)=+1,即x0时,-x0,所以f(-x)=-x(1-x).又f(-x)=-f(x),所以f(x)=x(1-x)=-x2+x=-+,所以f(x)有最大值.方法二(奇函数的图象特征):当x0时,f(x)有最大值.2.(2020泰安高一检测)设F(x)=f(x)+f(-x),xR,若是函数F
4、(x)的增区间,则一定是F(x)的减区间的是()A.B.C.D.【解析】选B.因为F(-x)=F(x),所以F(x)是偶函数,因而在上F(x)是减函数.3.若f(x)是偶函数,其定义域为(-,+),且在0,+)上是减函数,则f与f的大小关系是()A.ffB.ff的实数x的取值范围是()A.B.C.D.【解析】选A.因为偶函数f(x)在区间0,+)上是减函数,且满足f(2x-1)f,所以不等式等价为f(|2x-1|)f,即|2x-1|,所以-2x-1,计算得出x,故x的取值范围是.【误区警示】利用偶函数的单调性解不等式,别忘了转化为绝对值不等式求解.二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5
5、分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)5.若函数y=f(x)是偶函数,定义域为R,且该函数图象与x轴的交点有3个,则下列说法正确的是()A.3个交点的横坐标之和为0B.3个交点的横坐标之和不是定值,与函数解析式有关C.f(0)=0D.f(0)的值不能确定【解析】选AC.由于偶函数图象关于y轴对称,若(x0,0)是函数与x轴的交点,则(-x0,0)一定也是函数与x轴的交点,当交点个数为3个时,有一个交点一定是原点,从而AC正确.6.设y=f(x)为偶函数,且在区间(-,0)内单调递增,f(-2)=0,则下列区间中使得xf(x)0的有()A.(-1,1)B.(0,2)C.(-2,0)D.(2,4
6、)【解析】选CD.根据题意,偶函数f(x)在(-,0)上是增函数,又f(-2)=0,则函数f(x)在(0,+)上是减函数,且f(-2)=f(2)=0,函数f(x)的草图如图,又由xf(x)0或,由图可得-2x2,即不等式的解集为(-2,0)(2,+).三、填空题(每小题5分,共10分)7.如果函数F(x)=是奇函数,则f(x)=_.【解题指南】根据求谁设谁的原则,设x0,根据函数的奇偶性求出x0时的解析式.【解析】当x0,F(-x)=-2x-3,又F(x)为奇函数,故F(-x)=-F(x),所以F(x)=2x+3,即f(x)=2x+3.答案:2x+3【补偿训练】设函数y=f(x)是偶函数,它在
7、0,1上的图象如图.则它在-1,0上的解析式为_.【解析】由题意知f(x)在-1,0上为一条线段,且过(-1,1),(0,2),设f(x)=kx+b,代入解得k=1,b=2.所以f(x)=x+2.答案:f(x)=x+28.(2020南京高一检测)已知y=f(x)是R上的奇函数,当x0时,f(x)=x2-5x,则f(x-1)f(x)的解集为_.【解析】根据题意,设x0,所以f(-x)=x2+5x,又由f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(x)=-f(-x)=-x2-5x,则有f(x)=其图象如图:则f(x)在上是减函数,当xf(x),则有-3x-1-x或-x-1x或x-1x3,解得:-2x3,即
8、不等式的解集为(-2,3).答案:(-2,3)四、解答题(每小题10分,共20分)9.已知函数y=f(x)是定义域为R的偶函数,且当x0时,f(x)=-x2+2x.(1)求出函数f(x)在R上的解析式.(2)画出函数f(x)的图象.(3)根据图象,写出函数f(x)的减区间及值域.【解析】(1)因为函数f(x)是定义域为R的偶函数,所以f(x)=f(-x).当x0,所以f(x)=f(-x)=-x2-2x.综上,f(x)=(2)函数f(x)的图象如图所示:(3)由(2)中图象可知,f(x)的减区间为-1,0,1,+),函数f(x)的值域为(-,1.10.函数f(x)=,(1)判断函数是否具有奇偶性
9、.(2)判断函数在(-,0)上的单调性,并证明.【解析】(1)f(x)=的定义域为x|x0,因为对于任意xx|x0,都有-xx|x0,且f(-x)=f(x),所以函数f(x)为偶函数.(2)函数f(x)在(-,0)上是增函数,证明如下:任取(-,0)上的任意两个值x1,x2,且x1x2,所以f(x1)-f(x2)=-=,因为x1,x2(-,0),且x10,x2+x10,所以0,即f(x1)f(x2),则函数f(x)在(-,0)上是增函数.1.已知f(x)是定义域为R的偶函数,当x0时,f(x)=x2-4x,那么,不等式f(x+2)5的解集是_.【解析】因为f(x)为偶函数,所以f(|x+2|)
10、=f(x+2),则f(x+2)5可化为f(|x+2|)5,则|x+2|2-4|x+2|5,即(|x+2|+1)(|x+2|-5)0,所以|x+2|5,解得-7x3,所以不等式f(x+2)5的解集是(-7,3).答案:(-7,3)2.(2020南京高一检测)已知偶函数f(x)=的定义域为E,值域为F.(1)求实数b的值;(2)若E=1,2,a,F=,求实数a的值.(3)若E=,F=2-3m,2-3n,求m,n的值.【解析】(1)因为f(x)为偶函数,所以f(-x)=f(x),即=,所以b=-1;(2)因为f(2)=,f(1)=0,所以令f(a)=0,即=0,a=1,a=1不满足集合的互异性,故a=-1;令f(a)=,即=,a=2,a=2不满足集合的互异性,故a=-2,综上,a=-1或-2;(3)因为f(x)=是偶函数,且f(x)=1-,所以函数f(x)在(-,0)上是减函数,在(0,+)上是增函数.因为x0,所以由题意可知:0或0.若0,则有即此时方程组无负解;若0,则有即所以m,n为方程x2-3x+1=0的两个根.因为0n0,所以m=,n=.