1、北京市房山区周口店中学2014-2015学年高二上学期期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的）1（5分）已知直线经过点A（0，4）和点B（1，2），则直线AB的斜率为（）A3B2C2D不存在2（5分）过点（1，3）且平行于直线x2y+3=0的直线方程为（）Ax2y+7=0B2x+y1=0Cx2y5=0D2x+y5=03（5分）下列说法不正确的是（）A空间中，一组对边平行且相等的四边形是一定是平行四边形B同一平面的两条垂线一定共面C过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内D过一条直线有且
2、只有一个平面与已知平面垂直4（5分）已知点A（1，2），B（3，1），则线段AB的垂直平分线的方程是（）A4x+2y=5B4x2y=5Cx+2y=5Dx2y=55（5分）若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）ABC1D26（5分）直线5x2y10=0在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，则（）Aa=2，b=5Ba=2，b=5Ca=2，b=5Da=2，b=57（5分）圆（x1）2+y2=1与直线的位置关系是（）A相交B相切C相离D直线过圆心8（5分）圆C1：（x+2）2+（y2）2=1与圆C2：（x2）2+（y5）2=16的位置关系是（）A外离B相交C内切D外切9（5分）若M、
3、N分别是ABC边AB、AC的中点，MN与过直线BC的平面的位置关系是（）AMNBMN与相交或MNCMN或MNDMN或MN与相交或MN10（5分）两圆相交于点A（1，3）、B（m，1），两圆的圆心均在直线xy+c=0上，则m+c的值为（）A1B2C3D0二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）11（5分）若两个球的表面积之比是4：9，则它们的体积之比是12（5分）底面直径和高都是4cm的圆柱的侧面积为cm213（5分）已知直线l1：x+2y+1=0与直线l2：4x+ay2=0垂直，那么l1与l2的交点坐标是14（5分）圆x2+y24x4y10=0上的点到直线x+y14=0的最大距离与最小距
4、离之差是15（5分）直线x+2y=0被曲线x2+y26x2y15=0所截得的弦长等于16（5分）如图，在三棱锥PABC中，PA底面ABC，BAC=90，F是AC的中点，E是PC上的点，且EFBC，则=三、解答题（共5小题，共70分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）17（12分）直线l经过两点（2，1），（6，3）（1）求直线l的方程；（2）圆C的圆心在直线l上，并且与x轴相切于（2，0）点，求圆C的方程18（12分）已知ABC三边所在直线方程为AB：3x+4y+12=0，BC：4x3y+16=0，CA：2x+y2=0，求AC边上的高所在的直线方程19（14分）如图，已知ABC是正三角形，
5、EA、CD都垂直于平面ABC，且EA=AB=2a，DC=a，F是BE的中点，求证：（1）FD平面ABC； （2）AF平面EDB20（14分）如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F、G分别是CB、CD、CC1的中点，（1）求证：平面AB1D1平面EFG；（2）求证：平面AA1C面EFG21（18分）已知圆C：（x1）2+y2=9内有一点P（2，2），过点P作直线l交圆C于A、B两点（1）当l经过圆心C时，求直线l的方程；（2）当弦AB被点P平分时，写出直线l的方程；（3）当直线l的倾斜角为45时，求弦AB的长北京市房山区周口店中学2014-2015学年高二上学期期中数学试卷参考答案与试
6、题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的）1（5分）已知直线经过点A（0，4）和点B（1，2），则直线AB的斜率为（）A3B2C2D不存在考点：斜率的计算公式 专题：计算题分析：把直线上两点的坐标代入斜率公式进行运算，求出结果解答：解：由直线的斜率公式得直线AB的斜率为k=2，故选 B点评：本题考查直线的斜率公式的应用2（5分）过点（1，3）且平行于直线x2y+3=0的直线方程为（）Ax2y+7=0B2x+y1=0Cx2y5=0D2x+y5=0考点：直线的一般式方程；两条直线平行的判定 专题：计算题分析：由题意可先设所求的
7、直线方程为x2y+c=0再由直线过点（1，3），代入可求c的值，进而可求直线的方程解答：解：由题意可设所求的直线方程为x2y+c=0过点（1，3）代入可得16+c=0 则c=7x2y+7=0故选A点评：本题主要考查了直线方程的求解，解决本题的关键根据直线平行的条件设出所求的直线方程x2y+c=03（5分）下列说法不正确的是（）A空间中，一组对边平行且相等的四边形是一定是平行四边形B同一平面的两条垂线一定共面C过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内D过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直考点：平面的基本性质及推论 专题：证明题分析：根据证明平行四边形的条件判断A
8、，由线面垂直的性质定理和定义判断B和C，利用实际例子判断D解答：解：A、一组对边平行且相等就决定了是平行四边形，故A不符合题意；B、由线面垂直的性质定理知，同一平面的两条垂线互相平行，因而共面，故B不符合题意；C、由线面垂直的定义知，这些直线都在同一个平面内即直线的垂面，故C不符合题意；D、由实际例子，如把书本打开，且把书脊垂直放在桌上，则由无数个平面满足题意，故D符合题意故选D点评：本题考查了平面几何和立体几何中的定理和定义，只要抓住定理中的关键条件进行判断，可借助于符合条件的几何体进行说明，考查了空间想象能力和对定理的运用能力4（5分）已知点A（1，2），B（3，1），则线段AB的垂直平分
9、线的方程是（）A4x+2y=5B4x2y=5Cx+2y=5Dx2y=5考点：直线的点斜式方程；两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系；中点坐标公式 专题：计算题分析：先求出中点的坐标，再求出垂直平分线的斜率，点斜式写出线段AB的垂直平分线的方程，再化为一般式解答：解：线段AB的中点为，kAB=，垂直平分线的斜率 k=2，线段AB的垂直平分线的方程是 y=2（x2）4x2y5=0，故选B点评：本题考查两直线垂直的性质，线段的中点坐标公式，以及用直线方程的点斜式求直线方程的求法5（5分）若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）ABC1D2考点：由三视图求面积、体积 专题：计算题分析：几何体
10、的三视图可知几何体是放倒的三棱柱，底面是直角三角形，利用三视图的数据，直接求出棱柱的体积即可解答：解：由题意可知几何体的三视图可知几何体是放倒的三棱柱，底面是直角三角形，直角边分别为：1，棱柱的高为，所以几何体的体积为：=1故选C点评：本题考查三视图与几何体的关系，考查想的视图能力与空间想象能力6（5分）直线5x2y10=0在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，则（）Aa=2，b=5Ba=2，b=5Ca=2，b=5Da=2，b=5考点：直线的一般式方程 专题：计算题分析：根据截距的定义可知，在x轴的截距即令y=0求出的x的值，在y轴上的截距即令x=0求出y的值，分别求出即可解答：解：令y=0
11、，得到5x10=0，解得x=2，所以a=2；令x=0，得到2y10=0，解得y=5，所以b=5故选B点评：此题考查学生理解直线截距的定义，是一道基础题7（5分）圆（x1）2+y2=1与直线的位置关系是（）A相交B相切C相离D直线过圆心考点：直线与圆的位置关系 专题：计算题分析：要判断圆与直线的位置关系，方法是利用点到直线的距离公式求出圆心到此直线的距离d，和圆的半径r比较大小，即可得到此圆与直线的位置关系解答：解：由圆的方程得到圆心坐标为（1，0），半径r=1，所以（1，0）到直线y=x的距离d=1=r，则圆与直线的位置关系为相交故选A点评：考查学生灵活运用点到直线的距离公式化简求值，掌握直线
12、与圆位置关系的判别方法8（5分）圆C1：（x+2）2+（y2）2=1与圆C2：（x2）2+（y5）2=16的位置关系是（）A外离B相交C内切D外切考点：直线与圆的位置关系 专题：计算题分析：先根据圆的标准方程得到分别得到两圆的圆心坐标及两圆的半径，然后利用圆心之间的距离d与两个半径相加、相减比较大小即可得出圆与圆的位置关系解答：解：由圆C1：（x+2）2+（y2）2=1与圆C2：（x2）2+（y5）2=16得：圆C1：圆心坐标为（2，2），半径r=1；圆C2：圆心坐标为（2，5），半径R=4两个圆心之间的距离d=5，而d=R+r，所以两圆的位置关系是外切故选D点评：考查学生会根据d与R+r及R
13、r的关系判断两个圆的位置关系，会利用两点间的距离公式进行求值9（5分）若M、N分别是ABC边AB、AC的中点，MN与过直线BC的平面的位置关系是（）AMNBMN与相交或MNCMN或MNDMN或MN与相交或MN考点：空间中直线与平面之间的位置关系 专题：证明题分析：MN是ABC的中位线，所以MNBC，因为平面过直线BC，故MN或MN解答：解：MN是ABC的中位线，所以MNBC，因为平面过直线BC，若平面过直线MN，符合要求；若平面不过直线MN，由线线平行的判定定理MN故选C点评：本题考查空间的线线、线面位置关系，考查空间想象能力和逻辑推理能力10（5分）两圆相交于点A（1，3）、B（m，1），两
14、圆的圆心均在直线xy+c=0上，则m+c的值为（）A1B2C3D0考点：圆与圆的位置关系及其判定 专题：综合题分析：根据题意可知，xy+c=0是线段AB的垂直平分线，由垂直得到斜率乘积为1，而直线xy+c=0的斜率为1，所以得到过A和B的直线斜率为1，利用A和B的坐标表示出直线AB的斜率等于1，列出关于m的方程，求出方程的解即可得到m的值，然后利用中点公式和m的值求出线段AB的中点坐标，把中点坐标代入xy+c=0中即可求出c的值，利用m和c的值求出m+c的值即可解答：解：由题意可知：直线xy+c=0是线段AB的垂直平分线，又直线xy+c=0 的斜率为1，则=1，且+c=0，由解得m=5，把m=
15、5代入解得c=2，则m+c=52=3故选C点评：此题考查学生掌握两圆相交时两圆心所在的直线是公共弦的垂直平分线，掌握两直线垂直时斜率所满足的关系，灵活运用中点坐标公式化简求值，是一道综合题二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）11（5分）若两个球的表面积之比是4：9，则它们的体积之比是8：27考点：球的体积和表面积 专题：空间位置关系与距离分析：设出两个球的半径分别不是球的表面积和体积，由题意求出半径的比，体积比是半径比的立方解答：解：设两个球的半径分别为R，r，则表面积之比是4R2：4r2=4：9，所以R：r=2：3，球的体积之比为=8：27；故答案为：8：27点评：本题考查了球的表
16、面积告诉和体积公式的运用，两个球的表面积之比等于半径的平方比，体积之比等于半径的立方比，属于基础题12（5分）底面直径和高都是4cm的圆柱的侧面积为16cm2考点：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积 专题：计算题分析：根据所给的圆柱的底面直径和高，先做出圆柱的底面圆的周长，根据矩形的面积等于长乘以宽，用圆柱的底面圆的周长乘以圆柱的高，得到圆柱的侧面积解答：解：圆柱的底面直径和高都是4cm，圆柱的底面圆的周长是22=4圆柱的侧面积是44=16，故答案为：16点评：本题考查圆柱的侧面积，题目包含的运算比较简单，是一个基础题，这种题目一般不会单独出现，要和其他的知识点结合13（5分）已知直线l1：x+
17、2y+1=0与直线l2：4x+ay2=0垂直，那么l1与l2的交点坐标是（，）考点：直线的一般式方程与直线的垂直关系；两条直线的交点坐标 专题：计算题；直线与圆分析：由两条直线垂直，建立关于a的方程并解之，得a=2，直线l2方程为4x2y2=0再将直线l1的方程和l2的方程联解，即可得到所求交点的坐标解答：解：直线l1：x+2y+1=0与直线l2：4x+ay2=0垂直14+2a=0，解之得a=2，直线l2方程为4x2y2=0由，联解得x=，y=，得交点坐标为（，）故答案为：（，）点评：本题给出互相垂直的两条直线，求它们的交点坐标，着重考查了两条直线平行或垂直的判定、求两条相交直线的交点坐标等知
18、识，属于基础题14（5分）圆x2+y24x4y10=0上的点到直线x+y14=0的最大距离与最小距离之差是6考点：直线与圆的位置关系 专题：计算题；数形结合分析：把圆的方程化为标准方程，找出圆心坐标和圆的半径，过圆心M作已知直线的垂线，与圆分别交于A和B点，垂足为C，由图形可知|AC|为圆上点到已知直线的最大距离，|BC|为圆上点到已知直线的最小距离，而|AC|BC|等于圆的直径，由圆的半径即可求出直径，即为最大距离与最小距离之差解答：解：把圆的方程化为标准方程得：（x2）2+（y2）2=18，圆心M坐标为（2，2），半径|AM|=|BM|=3，过M作出直线x+y14=0的垂线，与圆M交于A、
19、B两点，垂足为C，如图所示：由图形可得|AC|为圆上点到直线x+y14=0的最大距离，|BC|为圆上点到直线x+y14=0的最小距离，则最大距离与最小距离之差为|AC|BC|=|AB|=2|AM|=6故答案为：6点评：此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，点到直线的距离公式，利用了数形结合的思想，其中找出|AC|为圆上点到直线x+y14=0的最大距离，|BC|为圆上点到直线x+y14=0的最小距离是解本题的关键15（5分）直线x+2y=0被曲线x2+y26x2y15=0所截得的弦长等于4考点：直线与圆的位置关系 专题：综合题；数形结合分析：根据圆的方程找出圆心坐标和半径，过
20、点A作AC弦BD，可得C为BD的中点，根据勾股定理求出BC，即可求出弦长BD的长解答：解：过点A作AC弦BD，垂足为C，连接AB，可得C为BD的中点由x2+y26x2y15=0，得（x3）2+（y1）2=25知圆心A为（3，1），r=5由点A（3，1）到直线x+2y=0的距离AC=在直角三角形ABC中，AB=5，AC=，根据勾股定理可得BC=2，则弦长BD=2BC=4故答案为：4点评：本题考查学生灵活运用垂径定理解决实际问题的能力，灵活运用点到直线的距离公式及勾股定理化简求值，会利用数形结合的数学思想解决数学问题，是一道综合题16（5分）如图，在三棱锥PABC中，PA底面ABC，BAC=90，
21、F是AC的中点，E是PC上的点，且EFBC，则=1考点：棱锥的结构特征 专题：计算题；函数的性质及应用分析：在三棱锥PABC中，由PA底面ABC，BAC=90，知AB平面APC，所以PAEF，由此能求出解答：解：在三棱锥PABC中，PA底面ABC，BAC=90，AB平面APC，EF平面PAC，EFAB，EFBC，EF底面ABC，PAEF，F是AC的中点，E是PC上的点，E是PC的中点，=1故答案为：1点评：本题考查直线与平面垂直的判定定理和直线与平面垂直的性质定理的应用，是基础题解题时要认真审题，仔细解答三、解答题（共5小题，共70分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）17（12分）直线l
22、经过两点（2，1），（6，3）（1）求直线l的方程；（2）圆C的圆心在直线l上，并且与x轴相切于（2，0）点，求圆C的方程考点：直线的一般式方程；圆的标准方程 专题：计算题分析：（1）先求出直线l的斜率，再代入点斜式然后化为一般式方程；（2）由题意先确定圆心的位置，进而求出圆心坐标，再求出半径，即求出圆的标准方程解答：解：（1）直线l经过两点（2，1），（6，3），直线l的斜率k=，（2分）所求直线的方程为y1=（x2），即直线l的方程为x2y=0（5分）（2）由（1）知，圆C的圆心在直线l上，可设圆心坐标为（2a，a），（6分）圆C与x轴相切于（2，0）点，圆心在直线x=2上，a=1，（9分
23、）圆心坐标为（2，1），半径r=1，（11分）圆C的方程为（x2）2+（y1）2=1（12分）点评：本题考查了求直线方程和圆的方程的基本题型，以及对基本公式的简单应用18（12分）已知ABC三边所在直线方程为AB：3x+4y+12=0，BC：4x3y+16=0，CA：2x+y2=0，求AC边上的高所在的直线方程考点：直线的一般式方程与直线的垂直关系；两条直线的交点坐标 专题：计算题分析：先解方程组解出B的坐标，再由高线BD和CA垂直，斜率之积等于1，求出高线的斜率，点斜式写高线的方程，并化为一般式解答：解：由 得B（4，0），设AC边上的高为BD，由BDCA，可知 BD的斜率等于 =，用点斜式
24、写出AC边上的高所在的直线方程为 y0=（x+4 ），即 x2y+4=0点评：本题考查求两直线的交点坐标的方法，用点斜式求直线的方程19（14分）如图，已知ABC是正三角形，EA、CD都垂直于平面ABC，且EA=AB=2a，DC=a，F是BE的中点，求证：（1）FD平面ABC； （2）AF平面EDB考点：直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定 专题：综合题分析：（1）要证FD平面ABC，可以通过证明FDMC实现而后者可以通过证明CDFM，CD=FM，证明四边形FMCD是平行四边形而得出（2）要证AF平面EDB，可以通过证明AFEB，AFFD实现AFEB易证，而AFFD可通过CM面EAB，结
25、合CMFD证出解答：证明（1）F分别是BE的中点，取BA的中点M，FMEA，FM=EA=aEA、CD都垂直于平面ABC，CDEA，CDFM，又CD=a=FM四边形FMCD是平行四边形，FDMC，FD平面ABC，MC平面ABCFD平面ABC（2）因M是AB的中点，ABC是正三角形，所以CMAB又 EA垂直于平面ABCCMAE，又 AEAB=A，所以CM面EAB，AF面EABCMAF，又CMFD，从而FDAF，因F是BE的中点，EA=AB所以AFEBEB，FD是平面EDB内两条相交直线，所以AF平面EDB点评：本题考查空间直线和平面的位置关系，考查空间想象能力、转化、论证能力20（14分）如图，在
26、正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F、G分别是CB、CD、CC1的中点，（1）求证：平面AB1D1平面EFG；（2）求证：平面AA1C面EFG考点：平面与平面垂直的判定；平面与平面平行的判定 专题：证明题分析：（1）连接BD、BC1，正方体ABCDA1B1C1D1中利用对角面BB1D1D是平行四边形得到B1D1BD，再利用三角形BCD的中位线得到EFBD，从而得到EFB1D1结合直线与平面平行的判定定理，得到EF平面AB1D1，同理可得EG平面AB1D1最后用平面与平面平行的判定定理，可以证出平面AB1D1平面EFG；（2）利用正方体的侧棱垂直于底面，得到AA1平面ABCD，从而AA1EF
27、，再利用正方形ABCD中，对角线AC、BD互相垂直且EFBD，得到ACEF，结合直线与平面垂直的判定定理，得到EF平面AA1C，最后用平面与平面垂直的判定定理，可得平面AA1C面EFG解答：解：（1）连接BD、BC1正方体ABCDA1B1C1D1中，BB1DD1且BB1=DD1四边形BB1D1D是平行四边形，B1D1BD又BCD中，E、F分别是CB、CD的中点EFBDEFB1D1又EF平面AB1D1，B1D1平面AB1D1EF平面AB1D1，同理可得EG平面AB1D1EFEG=E，EF、EG平面EFG平面AB1D1平面EFG（2）AA1平面ABCD，EF平面ABCD，AA1EF正方形ABCD中
28、，ACBD且EFBDACEFAA1AC=A，AA1、AC平面AA1CEF平面AA1CEF面EFG平面AA1C面EFG点评：本题以正方体中的平面与平面平行、平面与平面垂直为例，考查了平面与平面平行的判定定理和平面与平面垂直的判定定理，属于中档题21（18分）已知圆C：（x1）2+y2=9内有一点P（2，2），过点P作直线l交圆C于A、B两点（1）当l经过圆心C时，求直线l的方程；（2）当弦AB被点P平分时，写出直线l的方程；（3）当直线l的倾斜角为45时，求弦AB的长考点：直线和圆的方程的应用；直线的一般式方程 专题：计算题；综合题分析：（1）求出圆的圆心，代入直线方程，求出直线的斜率，即可求直
29、线l的方程；（2）当弦AB被点P平分时，求出直线的斜率，即可写出直线l的方程；（3）当直线l的倾斜角为45时，求出直线的斜率，然后求出直线的方程，利用点到直线的距离，半径，半弦长的关系求弦AB的长解答：解：（1）已知圆C：（x1）2+y2=9的圆心为C（1，0），因直线过点P、C，所以直线l的斜率为2，直线l的方程为y=2（x1），即2xy2=0（2）当弦AB被点P平分时，lPC，直线l的方程为y2=（x2），即x+2y6=0（3）当直线l的倾斜角为45时，斜率为1，直线l的方程为y2=x2，即xy=0圆心到直线l的距离为，圆的半径为3，弦AB的长为点评：本题是基础题，考查直线与圆的位置关系，计算直线的斜率，点到直线的距离；直线与圆的特殊位置关系的应用是本题的关键
