1、北京市房山区2021届高三数学一模试题（含解析）一、选择题（共10小题）.1若集合M2，1，1，集合N0，1，则MN等于（）A2，1，0，1B2，1，1C2，1，0D12下列函数中，值域为0，+）且为偶函数的是（）AycosxBy|x+1|Cyx2Dyxx33已知a，bR，且ab，则下列各式中一定成立的是（）ABa3b3Cabb2D2|a|2|b|4将函数f（x）sin2x的图象向左平移个单位得到函数yg（x）的图象，则函数g（x）的图象的一条对称轴方程为（）AxBxCxDx5“十三五”期间，我国大力实施就业优先政策，促进居民人均收入持续增长下面统计图反映了20162020年我国居民人均可支配
2、收入（单位：元）情况根据图中提供的信息，下列判断不正确的是（）A20162020年，全国居民人均可支配收入每年都超过20000元B20172020年，全国民人均可支配收入均逐年增加C根据图中数据估计，2015年全国居民人均可支配收入可能高于20000元D根据图中数据预测，2021年全国居民人均可支配收入一定大于30000元6已知双曲线C：1（a0，b0）的离心率为，则点M（3，0）到双曲线C的渐近线的距离为（）A2BCD27“a21”是“直线x+ay1与ax+y1平行”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件8在矩形ABCD中，AC与BD相交于点O，E是线段O
3、D的中点，若m+n，则mn的值为（）AB1C1D9已知等差数列an的前n项和为Sn，且S7S8，S8S9S10，则下面结论错误的是（）Aa90BS15S14Cd0DS8与S9均为Sn的最小值10祖暅是我国南北朝时代伟大的科学家，他在实践的基础上提出了体积计算的原理：“幂势既同，则积不容异”意思是，如果两个等高的几何体在同高处截得的截面面积恒等，那么这两个几何体的体积相等此即祖暅原理利用这个原理求球的体积时，需要构造一个满足条件的几何体，已知该几何体三视图如图所示，用一个与该几何体的下底面平行相距为h（0h2）的平面截该几何体，则截面面积为（）A4B4h2C（2h2）D（4h2）二、填空题共5小
4、题，每小题5分，共25分。11若i为虚数单位则 12二项式（x）6的展开式中的常数项是 13抛物线C：y28x的焦点为F，则点F的坐标为 ，若抛物线上一点A到y轴的距离为2，则|AF| 14设a0，b0，则使得命题“若lg（a+b）0，则lg（ab）0”为假命题的一组a，b的值是 15设函数f（x）的定义域为D，若对任意xD，存在yD，使C（C为常数）成立，则称函数f（x）在D上的“半差值”为C下列四个函数中，满足所在定义域上“半差值”为2的函数是 （填上所有满足条作的函数序号）yex（x+1）；yx31；ylog2x；ysinx三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明
5、过程。16如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，已知ABBC1，AC，BB12，E为CC1上一点，且EC（）求证：平面ABE平面B1BCC1；（）求直线A1C与平面ABE所成角的正弦值17在ABC中，B，b，再从条件、条件、条件这三个条件中选择一个作为已知，求：（）sinC的值；（）ABC的面积条件：AB边上的高为；条件：cosA；条件：a118单板滑雪U型池比赛是冬奥会比赛中的一个项目，进入决赛阶段的12名运动员按照预赛成绩由低到高的出场顺序轮流进行三次滑行，裁判员根据运动员的腾空高度、完成的动作难度和效果进行评分，最终取单次最高分作为比赛成绩现有运动员甲，乙二人在2021赛季单板滑雪U型池
6、世界杯分站比赛成绩如表：分站运动员甲的三次滑行成绩运动员乙的三次滑行成绩第1次第2次第3次第1次第2次第3次第1站80.2086.2084.0380.1188.400第2站92.8082.1386.3179.3281.2288.60第3站79.10087.5089.1075.3687.10第4站84.0289.5086.7175.1388.2081.01第5站80.0279.3686.0085.4087.0487.70假设甲、乙二人每次比赛成绩互独立（）从如表5站中随机选取1站，求在该站运动员甲的成绩高于运动员乙的成绩的概率；（）从如表5站中任意选取2站，用X表示这2站中甲的成绩高于乙的成绩的
7、站数，求X的分布列和数学期望；（）假如从甲、乙2人中推荐1人参加2022年北京冬奥会单板滑雪U型池比赛，根据以上数据信息，你推荐谁参加，并说明理由（注：方差s2（x1）2+（x2）2+（xn）2，其中为x1，x2，xn的平均数）19已知函数f（x）2x32x2+3（）求曲线yf（x）在点（0，f（0）处的切线方程；（）若x（0，+），求证：f（x）2x+1；（）设h（x）8x234，是否存在唯一的自然数m，使得h（x）与f（x）的图象在区间（m，m+1）上有两个不同的公共点？若存在，试求出m的值，若不存在，请说明理由20已知椭圆C：+1（ab0）过点（2，0），离心率为（）求椭圆C的方程；（）
8、设点M为椭圆C的上顶点，A，B是椭圆C上两个不同的动点（不在y轴上），直线MA，MB的斜率分别为k1，k2，且k1k23，求证：直线AB过定点N（0，）21对于数列an，记bnmaxa1，a2，an（n1，2，3，），其中maxa1，a2，ak表示a1，a2，ak这k个数中最大的数并称数列bn是an的“控制数列”，如数列1，2，3，2的“控制数列”是1，2，3，3（）若各项均为正整数的数列an的“控制数列”为1，3，4，4，写出所有的an；（）设anan22n（nN*）（i）当a0时，证明：存在正整数m，使，是等差数列；（）当a2，2时，求的值（结果可含a）参考答案一、选择题共10小题，每小题
9、4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1若集合M2，1，1，集合N0，1，则MN等于（）A2，1，0，1B2，1，1C2，1，0D1解：依据并集的概念和集合元素的互异性得：MN2，1，0，1故选：A2下列函数中，值域为0，+）且为偶函数的是（）AycosxBy|x+1|Cyx2Dyxx3解：ycosx的值域1，1，不符合题意；y|x+1|为非奇非偶函数，不符合题意；yxx3为奇函数，不符合题意；yx20且为偶函数，符合题意故选：C3已知a，bR，且ab，则下列各式中一定成立的是（）ABa3b3Cabb2D2|a|2|b|解：对于A，当a0b时，故A不一定成立；对于B
10、，ab，则a3b3，故B一定成立；对于C，当a0b时，ab0b2，故C不一定成立；对于D，当0ab时，|a|b|，则2|a|2|b|，故D不一定成立故选：B4将函数f（x）sin2x的图象向左平移个单位得到函数yg（x）的图象，则函数g（x）的图象的一条对称轴方程为（）AxBxCxDx解：将函数f（x）sin2x的图象向左平移个单位得到函数yg（x）sin（2x+）的图象，令 2x+k+，求得x+，kZ，则令 k0，可得函数g（x）的图象的一条对称轴为x，故选：C5“十三五”期间，我国大力实施就业优先政策，促进居民人均收入持续增长下面统计图反映了20162020年我国居民人均可支配收入（单位：
11、元）情况根据图中提供的信息，下列判断不正确的是（）A20162020年，全国居民人均可支配收入每年都超过20000元B20172020年，全国民人均可支配收入均逐年增加C根据图中数据估计，2015年全国居民人均可支配收入可能高于20000元D根据图中数据预测，2021年全国居民人均可支配收入一定大于30000元解：对于选项A：由图可知，20162020年，全国居民人均可支配收入每年都超过20000元，所以选项A正确，对于选项B：由图可知，20172020年，全国民人均可支配收入均逐年增加，所以选项B正确，对于选项C：由图可知，2016年全国民人均可支配收入临近25000元，上一年也就是2015
12、年全国民人均可支配收入可能高于20000元，所以选项C正确，对于选项D：由图可知，2020年全国民人均可支配收入高于30000元，下一年也就是2021年全国民人均可支配收入可能大于30000元，说一定大于30000元太绝对，所以选项D错误，故选：D6已知双曲线C：1（a0，b0）的离心率为，则点M（3，0）到双曲线C的渐近线的距离为（）A2BCD2解：由题意可得e，则ba，所以双曲线的渐近线方程为yx，即yx，所以点M（3，0）到双曲线C的渐近线的距离为，故选：B7“a21”是“直线x+ay1与ax+y1平行”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解：当a0
13、时，两直线分别为x1与y1，此时两直线不平行，当a0时，若两直线平行，则，由得a21，得a1或a1，当a1时，不成立，当a1时，成立，即a1，则“a21”是“直线x+ay1与ax+y1平行”的必要不充分条件，故选：B8在矩形ABCD中，AC与BD相交于点O，E是线段OD的中点，若m+n，则mn的值为（）AB1C1D解：如图所示，由已知可得，又，所以m，所以mn，故选：A9已知等差数列an的前n项和为Sn，且S7S8，S8S9S10，则下面结论错误的是（）Aa90BS15S14Cd0DS8与S9均为Sn的最小值解：因为等差数列an，S7S8，S8S9S10，所以S7S8a80，S9S8a90，S
14、10S9a100，即a80，a90，a100，d0，故A正确，C错误；S15S14a150，即S15S14，故B正确；由a80，a90，a100可知S8与S9均为Sn的最小值，D正确故选：C10祖暅是我国南北朝时代伟大的科学家，他在实践的基础上提出了体积计算的原理：“幂势既同，则积不容异”意思是，如果两个等高的几何体在同高处截得的截面面积恒等，那么这两个几何体的体积相等此即祖暅原理利用这个原理求球的体积时，需要构造一个满足条件的几何体，已知该几何体三视图如图所示，用一个与该几何体的下底面平行相距为h（0h2）的平面截该几何体，则截面面积为（）A4B4h2C（2h2）D（4h2）解：由已知得到几
15、何体为一个圆柱挖去一个圆锥，底面半径为2，高为2，截面为圆环，大圆半径为2，设小圆半径为r，则，所以rh，所以截面圆环的面积为4h2（4h2）；故选：D二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。11若i为虚数单位则i解：，故答案为：i12二项式（x）6的展开式中的常数项是160解：二项式（x）6中，Tr+1x6r（2）rx62r，令62r0，解得r3，所以展开式中的常数项是T4（2）3820160故答案为：16013抛物线C：y28x的焦点为F，则点F的坐标为（2，0），若抛物线上一点A到y轴的距离为2，则|AF|4解：由抛物线的方程可得p4，所以焦点F的坐标为（2，0），准线方程为：x2，若
16、抛物线上一点A到y轴的距离为2，则点A到准线的距离为2+24，由抛物线的定义可得|AF|4，故答案为：（2，0），414设a0，b0，则使得命题“若lg（a+b）0，则lg（ab）0”为假命题的一组a，b的值是a1，b【解答】解当a1，b时，lg（a+b）lg0，而lg（ab）lg0，故答案为：a1，b15设函数f（x）的定义域为D，若对任意xD，存在yD，使C（C为常数）成立，则称函数f（x）在D上的“半差值”为C下列四个函数中，满足所在定义域上“半差值”为2的函数是（填上所有满足条作的函数序号）yex（x+1）；yx31；ylog2x；ysinx解：由题意可得，对定义域中的任意x，存在 y
17、，使得f（y）f（x）4由于值域为R，故满足；对于，yex（x+1），yex（x+2），当x（，2）时，y0，当x（2，+）时，y0，yex（x+1）在（，2）上单调递减，在（2，+）上单调递增，则当x2时，函数取得最小值为，此时不存在自变量y，使得其函数值为，不满足；对于ysinx，x时，函数值为1，此时不存在自变量y，使得函数值为5，故不满足，故答案为：三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。16如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，已知ABBC1，AC，BB12，E为CC1上一点，且EC（）求证：平面ABE平面B1BCC1；（）求直线A1C与平面ABE所成角
18、的正弦值解：（）证明：由直三棱柱的性质知，BB1平面ABC，AB平面ABC，BB1AB，ABBC1，AC，ABBC，又BB1BCB，BB1、BC平面B1BCC1，AB平面B1BCC1，AB平面ABE，平面ABE平面B1BCC1（）以B为原点，BA，BC，BB1所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A（1，0，0），B（0，0，0），C（0，1，0），E（0，1，），A1（1，0，2），（1，1，2），（1，0，0），（0，1，），设平面ABE的法向量为（x，y，z），则，即，令z2，则x0，y1，（0，1，2），设直线A1C与平面ABE所成角为，则sin|cos，|，故直
19、线A1C与平面ABE所成角的正弦值为17在ABC中，B，b，再从条件、条件、条件这三个条件中选择一个作为已知，求：（）sinC的值；（）ABC的面积条件：AB边上的高为；条件：cosA；条件：a1解：若选：AB边上的高为（）过点C作AB边上的高，垂足为D，则，因为B，所以ABD，在BCD中，BDCDcot，BC1，在RtACD中，AC，则AD，在ABC中，ABADBD2，由正弦定理可得，解得；（）若选：cosA（）过点C作AB边上的高，垂足为D，在RtACD中，所以，CD，故BC1，在ABC中，ABADBD2，由正弦定理可得，解得；（）若选：a1在RtBCD中，BCa1，CBD，故BD，CD，
20、在RtACD中，AC，则AD，在ABC中，ABADBD2，由正弦定理可得，解得；（）18单板滑雪U型池比赛是冬奥会比赛中的一个项目，进入决赛阶段的12名运动员按照预赛成绩由低到高的出场顺序轮流进行三次滑行，裁判员根据运动员的腾空高度、完成的动作难度和效果进行评分，最终取单次最高分作为比赛成绩现有运动员甲，乙二人在2021赛季单板滑雪U型池世界杯分站比赛成绩如表：分站运动员甲的三次滑行成绩运动员乙的三次滑行成绩第1次第2次第3次第1次第2次第3次第1站80.2086.2084.0380.1188.400第2站92.8082.1386.3179.3281.2288.60第3站79.10087.50
21、89.1075.3687.10第4站84.0289.5086.7175.1388.2081.01第5站80.0279.3686.0085.4087.0487.70假设甲、乙二人每次比赛成绩互独立（）从如表5站中随机选取1站，求在该站运动员甲的成绩高于运动员乙的成绩的概率；（）从如表5站中任意选取2站，用X表示这2站中甲的成绩高于乙的成绩的站数，求X的分布列和数学期望；（）假如从甲、乙2人中推荐1人参加2022年北京冬奥会单板滑雪U型池比赛，根据以上数据信息，你推荐谁参加，并说明理由（注：方差s2（x1）2+（x2）2+（xn）2，其中为x1，x2，xn的平均数）解：（）由题意可知，甲乙两人在五
22、站中最好的成绩依次为：甲：86.20，92.80，87.50，89.50.86.00；乙：88.40，88.60，89.10，88.20，87.70，所以5站中随机选取1站，在该站运动员甲的成绩高于运动员乙的成绩的概率为；（）由题意可得，X的可能取值为0，1，2，所以P（X0），P（X1），P（X2），所以X的分布列为：X 0 1 2 P 期望为E（X）；（）由可知（），甲：86.20，92.80，87.50，89.50.86.00；乙：88.40，88.60，89.10，88.20，87.70，所以甲的平均成绩为88.4，乙的平均成绩也为88.4，又甲的方差为（86.2088.40）2+（9
23、2.8088.40）2+（87.5088.40）2+（89.5088.40）2+（86.0088.40）26.3960，乙的方差为（88.4088.40）2+（88.6088.40）2+（89.1088.40）2+（88.2088.40）2+（87.7088.40）20.2120，所以乙的成绩更为稳定，故推荐乙参加19已知函数f（x）2x32x2+3（）求曲线yf（x）在点（0，f（0）处的切线方程；（）若x（0，+），求证：f（x）2x+1；（）设h（x）8x234，是否存在唯一的自然数m，使得h（x）与f（x）的图象在区间（m，m+1）上有两个不同的公共点？若存在，试求出m的值，若不存在，
24、请说明理由解：（）f（x）2x32x2+3的导数为f（x）6x24x，可得切线的斜率为f（0）0，又f（0）3，则切线的方程为y3；（）证明：因为x（0，+），所以f（x）2x12x32x2+32x12（x3x2x+1）2x2（x1）（x1）2（x1）2（x+1）0，所以f（x）2x+1；（）由f（x）h（x），得2x32x2+38x234，即2x310x2+370，设g（x）2x310x2+37，g（x）6x220x，当0x时，g（x）0，g（x）递减，当x或x0时，g（x）0，g（x）递增，可得g（x）在x0处取得极大值37，在x处，取得极小值，当m3时，m+14，可得g（3）1，g（4）
25、5，而g（）0，可得g（x）在（3，4）内有两个实根x1，x2，且x1（3，），x2（，4），所以存在唯一的自然数m3，使得h（x）与f（x）的图象在区间（3，4）上有两个不同的公共点20已知椭圆C：+1（ab0）过点（2，0），离心率为（）求椭圆C的方程；（）设点M为椭圆C的上顶点，A，B是椭圆C上两个不同的动点（不在y轴上），直线MA，MB的斜率分别为k1，k2，且k1k23，求证：直线AB过定点N（0，）解：（）根据题意可得，解得c1，b23，所以椭圆的方程为+1（）证明：由（）知，得M（0，），设A（x1，y1），B（x2，y2），所以k1，k2，因为k1k23，所以3，所以（y1）（
26、y2）3x1x2，设直线AB的方程为ykx+t，联立，得（3+4k2）x2+8ktx+4t2120，由（8kt）24（3+4k2）（4t212）48（t234k2）0，得t23+4k2，所以x1+x2，x1x2，因为y1kx1+t，y2kx2+t，所以（kx1+t）（kx2+t）（kx1+t）+（kx2+t）+33x1x2，所以k2x1x2+kt（x1+x2）+t2k（x1+x2）+2t+33x1x2，所以k2+（ktk）+t22+30，所以9t2+456t0，解得t，或t（舍），所以ykx，所以直线AB过定点（0，）21对于数列an，记bnmaxa1，a2，an（n1，2，3，），其中max
27、a1，a2，ak表示a1，a2，ak这k个数中最大的数并称数列bn是an的“控制数列”，如数列1，2，3，2的“控制数列”是1，2，3，3（）若各项均为正整数的数列an的“控制数列”为1，3，4，4，写出所有的an；（）设anan22n（nN*）（i）当a0时，证明：存在正整数m，使，是等差数列；（）当a2，2时，求的值（结果可含a）解：（）数列an的各项为：1，3，4，1，1，3，4，2，1，3，4，3，1，3，4，4，（）（i）当a0时，f（x）ax22x的对称轴为x，当x时单调递增，由于n1，2，3，所以当m+1，nm时，有anbn，由于an2是等差数列，所以存在正整数m，使，是等差数列（ii）f（x）ax22x的对称轴x，由于n1，2，3，a1a2，a24a4，a39a6，a416a8，当a时，此时a1a2最大，由于bnmaxa1，a2，an（n1，2，3），所以b1b2b3b4a1a2，所以（a2）（），当a时，b1b2b3a1a2，b4a4，所以，当a时，a2a13a20，a3a18a40，b1b2a1a2，a3b3，b4a4，所以，当a（，1时，a2a13a20，故bnan，所以10a8，当a（1，2时，f（x）开口向上，对称轴为x1，所以单调递增，所以bnan，则10a8，综上所述，