1、课时素养评价 三十七分 层 抽 样 (15分钟30分)1.某单位有老年人28人,中年人54人,青年人81人,为了调查他们的身体情况,需从中抽取一个容量为36的样本,则合适的抽样方法是()A.简单随机抽样B.抽签法C.直接运用分层抽样D.先从老年人中剔除1人,然后再用分层抽样【解析】选C.因为总体由差异明显的三部分组成,所以考虑用分层抽样.因为总人数为28+54+81=163,样本容量为36,按照抽样比进行分层抽样,老年人、中年人和青年人中应抽取的人数分别为286,5412,8118.2.我国古代数学名著九章算术中有如下问题,“今有北乡8 758人,西乡有7 236人,南乡有8 356人,现要按
2、人数多少从三个乡共征集487人,问从各乡征集多少人.”在上述问题中,需从南乡征集的人数大约是()A.112B.128C.145D.167【解析】选D.从南乡征集的人数大约是8 356167.3.甲校有3 600名学生,乙校有5 400名学生,丙校有1 800名学生,为统计三校学生某方面的情况,计划采用分层随机抽样法抽取一个容量为90的样本,应在这三校分别抽取学生()A.30人,30人,30人B.30人,45人,15人C.20人,30人,40人D.30人,50人,10人【解析】选B.先求抽样比=,然后各层按抽样比分别抽取,甲校抽取3 600=30(人),乙校抽取5 400=45(人),丙校抽取1
3、 800=15(人).【补偿训练】 某实验中学共有职工150人,其中高级职称的职工15人,中级职称的职工45人,普通职员90人,现采用分层抽样的方法抽取容量为30的样本,则抽取的高级职称、中级职称、普通职员的人数分别为()A.5,10,15B.3,9,18C.3,10,17D.5,9,16【解析】选B.分层抽样是按比例抽取的,设抽取的高级职称的职工、中级职称的职工、普通职员的人数分别为a,b,c,则=,解得a=3,b=9,c=18.4.甲、乙两套设备生产的同类型产品共4 800件,采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测,若样本中有50件产品由甲设备生产,则乙设备生产的产品总
4、数为_件.【解析】设乙设备生产的产品总数为x件,由已知得:=,解得x=1 800.答案:1 800【补偿训练】为了调查某省各城市PM2.5的值,按地域把36个城市分成甲、乙、丙三组,对应的城市数分别为6,12,18.若用分层抽样的方法抽取12个城市,则乙组中应抽取的城市数为_.【解析】乙组城市数占总城市数的比例为=,样本容量为12,故乙组中应抽取的城市数为12=4.答案:45.某一个地区共有5个乡镇,人口3万人,其人口比例为32523,从3万人中抽取一个容量为300的样本,分析某种疾病的发病率,已知这种疾病与不同的地理位置及水土有关,问应采取什么样的方法?并写出具体过程.【解析】因为疾病与地理
5、位置和水土均有关系,所以不同乡镇的发病情况差异明显,因而采用分层抽样的方法.具体过程如下:第一步,将3万人分为5层,其中一个乡镇为一层.第二步,按照各层的个体数占总体的个体数的比求得各乡镇应抽取的人数分别为60,40,100,40,60.第三步,按照各层抽取的人数随机抽取各乡镇应抽取的样本.第四步,将300人合到一起,即得到一个样本. (30分钟60分)一、单选题(每小题5分,共20分)1.“民以食为天,食以安为先”,食品安全是关系人们身体健康的大事.某店有四类食品,其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别有40种、10种、30种、20种,现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测.
6、若采用分层抽样的方法抽取样本,则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是()A.4B.5C.6D.7【解析】选C.设抽样比为k,k=,所以抽取植物油类与果蔬类食品种数之和是10+20=2+4=6.2.某中学有高中生3 000人,初中生2 000人,男、女生所占的比例如图所示.为了解学生的学习情况,用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本,已知从高中生中抽取女生21人,则从初中生中抽取的男生人数是()A.12B.15C.20D.21【解析】选A.由扇形图,得该中学有高中生3 000人,其中男生人数为3 00030%=900,女生人数为3 00070%=2 100,初中生2 000人,其中男
7、生人数为2 00060%=1 200,女生人数为2 00040%=800,用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本,已知从高中生中抽取女生21人,则=,解得n=50,所以从初中生中抽取的男生人数为50=12.3.当前,国家正分批修建经济适用房以解决低收入家庭住房紧张的问题.已知甲、乙、丙三个社区现分别有低收入家庭360户、270户、180户,若第一批经济适用房中有90套住房用于解决这三个社区中90户低收入家庭的住房问题,采用分层抽样的方法决定各社区户数,则应从甲社区中抽取低收入家庭的户数为()A.40B.30C.20D.36【解析】选A.抽样比为=,则应从甲社区中抽取低收入家庭的户数
8、为360=40.4.从某地区15 000位老人中按性别分层抽取一个容量为500的样本,调查其生活能否自理的情况如表所示.则该地区生活不能自理的老人中男性比女性多的人数约为()A.60B.100C.15 00D.2 000【解析】选A.由分层抽样方法知所求人数为15 000=60.【补偿训练】 学校进行数学竞赛,将考生的成绩分成90分以下、90120分、120150分三种情况进行统计,发现三个成绩段的人数之比依次为531,现用分层抽样的方法抽取一个容量为m的样本,其中分数在90120分的人数是45,则此样本的容量m的值为()A.75B.100C.125D.135【解析】选D.由三个成绩段的人数之
9、比依次为531及分数在90120分的人数是45可知,=,解得m=135.二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)5.为了保证分层抽样时,每个个体等可能地被抽取,下列说法不正确的是()A.每层的个体数必须一样多B.每层抽取的个体数相等C.每层抽取的个体可以不一样多,但必须满足抽取ni=n(i=1,2,k)个个体,其中k是层数,n是抽取的样本容量,Ni是第i层所包含的个体数,N是总体容量D.只要抽取的样本容量一定,每层抽取的个体数没有限制【解析】选ABD.每层的个体数不一定都一样多,所以选项A不正确;又因为由于每层的容量不一定相等,每层抽同样多的个体,
10、从整个总体来看,各层之间的个体被抽取的可能性显然就不一样了,所以选项B不正确;对于第i层的每个个体,它被抽到的可能性与层数i无关,即对于每个个体来说,被抽入样本的可能性是相同的,所以选项C正确;每层抽取的个体数是有限制的,所以选项D不正确.6.某单位老年人、中年人、青年人的人数分布如表,用分层抽样的方法抽取17人进行单位管理问卷调查,若抽到3位老年人,则抽到的中年人的人数为()类别人数老年人15中年人?青年人40A.抽到8位青年人B.抽到6位中年人C.中年人有6人D.中年人有30人【解析】选ABD.设该单位的中年人的人数为x,则由题表可知,=,解得x=30.因此在抽取的17人中,中年人的人数为
11、30=6.由抽样比可知抽到的青年人为8人.【补偿训练】 某工厂生产A,B,C,D四种不同型号的产品,产品的数量之比依次为23 51,现用分层抽样的方法抽取一个容量为n的样本,若样本中A型号有16件,那么此样本的容量n为_.【解析】依题意得,=,所以=,解得n=88,所以样本容量为88.答案:88三、填空题(每小题5分,共10分)7.古代科举制度始于隋而成于唐,完备于宋、元.明代则处于其发展的鼎盛阶段.其中表现之一为会试分南卷、北卷、中卷,按比例录取,其录取比例为1172.若明宣德五年会试录取人数为100.则中卷录取人数为_.【解析】由题意,明宣德五年会试录取人数为100,则中卷录取人数为100
12、=10.答案:10【补偿训练】 某公司生产三种型号的轿车,产量分别为1 200辆,6 000辆和2 000辆.为检验该公司的产品质量,现用分层抽样的方法抽取46辆轿车进行检验,这三种型号的轿车依次应抽取的辆数为_.【解析】设三种型号的轿车依次应抽取x辆,y辆,z辆,则有解得答案:6,30,108.某企业三月中旬生产A,B,C三种产品共3 000件,根据比例分配的分层抽样的结果,企业统计员制作了如下的统计表格:产品类型ABC产品数量(件)1 300样本容量130由于不小心,表格中A,C两种产品的有关数据已被污染看不清楚了,统计员只记得A产品的样本容量比C产品的样本容量多10,根据以上信息,可得C
13、产品的数量是_件.【解析】抽样比为1301 300=110,即每10个产品中抽取1个个体,又A产品的样本容量比C产品的样本容量多10,故C产品的数量是(3 000-1 300)-100=800(件).答案:800四、解答题(每小题10分,共20分)9.一批产品中有一级品100个,二级品60个,三级品40个,用分层抽样法从这批产品中抽取一个容量为20的样本.请利用分层抽样的方法抽取,写出抽样过程.【解析】第一步,确定抽样比,因为100+60+40=200,所以=;第二步,确定各层抽取的样本数,一级品:100=10,二级品:60=6,三级品:40=4;第三步,采用简单随机抽样的方法,从各层分别抽取
14、样本;第四步,把抽取的个体组合在一起构成所需样本.10.某校高一年级有24个班,共1 000名学生,他们参加了一次数学测试.学校统计了所有学生的成绩,得到下列统计图.(1)求该校高一年级学生本次测试成绩的平均数;(2)假设随机抽取300名学生,按照比例分配的分层抽样的方法,试估计高一年级本次测试成绩的平均数.【解析】(1)由题意并结合扇形统计图,可知男生共有1 00060%=600(名),女生有1 00040%=400(名).由成绩平均数条形图可得,该校高一年级学生本次测试成绩的平均数=(80600+82.5400)1 000=81.(2)随机抽取300名学生,采用比例分配的分层抽样的方法,则
15、男生样本数为300=180,女生样本数为300=120.故样本平均数为(18080+12082.5)300=81.根据样本平均数来估计总体平均数,可得高一年级本次测试成绩的平均数为81.1.某工厂的三个车间在12月份共生产了3 600双皮靴,在出厂前要检查这批产品的质量,决定采用分层抽样的方法进行抽样,若从一、二、三车间抽取的产品数分别为a,b,c,且2b=a+c,则第二车间生产的产品数为()A.800B.1 000C.1 200D.1 500【解析】选C.由2b=a+c,得第二车间生产的产品数为3 600=3 600=1 200.2.为了对某课题进行研究,从A,B,C三所高校中用分层抽样法抽
16、取若干名教授组成研究小组,其中高校A有m名教授,高校B有72名教授,高校C有n名教授(其中0m72n).(1)若A,B两所高校中共抽取3名教授,B,C两所高校中共抽取5名教授,求m,n.(2)若高校B中抽取的教授数是高校A和C中抽取的教授总数的,求三所高校的教授的总人数.【解析】(1)因为0m72n,A,B两所高校中共抽取3名教授,B,C两所高校中共抽取5名教授,所以高校B中抽取2人,所以高校A中抽取1人,高校C中抽取3人,所以=,解得m=36,n=108.(2)因为高校B中抽取的教授数是高校A和C中抽取的教授总数的,所以(m+n)=72,解得m+n=108,所以三所高校的教授的总人数为m+n+72=180.
