1、第六节抛物线(一) 选题明细表知识点、方法题号抛物线的定义及应用2,6,9,11,12抛物线的标准方程5,14抛物线的几何性质1,4,7,13,15直线与抛物线的位置关系3,8,10一、选择题1.设抛物线y2=8x上一点P到y轴的距离是4,则点P到该抛物线焦点的距离是(B)(A)4(B)6(C)8(D)12解析:如图所示,抛物线的准线l的方程为x=-2,F是抛物线的焦点,过点P作PAy轴,垂足是A,延长PA交直线l于点B,则|AB|=2,由于点P到y轴的距离为4,则点P到准线l的距离|PB|=4+2=6,所以点P到焦点的距离|PF|=|PB|=6.故选B.2.已知抛物线C: y2=x的焦点为F
2、,A(x0,y0)是C上一点,|AF|=x0,则x0等于(A)(A)1(B)2(C)4(D)8解析:作AM准线l(图略),根据抛物线定义|AF|=|AM|,因为抛物线方程为y2=x,则2p=1,p=,所以准线l方程为x=-,则有x0=x0+,所以x0=1.故选A.3.已知点P是抛物线x2=4y上的动点,点P在x轴上的射影是点Q,点A的坐标是(8,7),则|PA|+|PQ|的最小值为(C)(A)7(B)8(C)9(D)10解析:如图,抛物线的焦点为F(0,1),准线方程为y=-1.根据抛物线的定义知,|PF|=|PM|=|PQ|+1.所以|PA|+|PQ|=|PA|+|PM|-1=|PA|+|P
3、F|-1|AF|-1=-1=10-1=9,当且仅当点P在线段AF上时,等号成立,则|PA|+|PQ|的最小值为9.故选C.4.过抛物线y2=4x上点P作其准线的垂线,垂足为M,焦点为F,若PMF为正三角形,则点P的横坐标为(B)(A)2(B)3(C)(D)2解析:因为|PM|=|PF|,所以只要满足|MF|=|PF|,作FDPM于D(图略),则|PD|=|DM|=p=2,所以xP=3,故选B.5.点M(5,3)到抛物线y=ax2的准线的距离为6,那么抛物线的方程是(D)(A)y=12x2 (B)y=12x2或y=-36x2(C)y=-36x2(D)y=x2或y=-x2解析:分两类a0,a0)的
4、准线与曲线x2+y2-4x-5=0相切,则p的值为(A)(A)2(B)1(C)(D)解析:曲线的标准方程为(x-2)2+y2=9,其表示圆心为(2,0),半径为3的圆,又抛物线的准线方程为x=-,所以由抛物线的准线与圆相切得2+=3,解得p=2,故选A.7.已知F是抛物线y=x2的焦点,P是该抛物线上的动点,则线段PF中点的轨迹方程是(A)(A)x2=2y-1(B)x2=2y-(C)x2=y- (D)x2=2y-2解析:由抛物线方程y=x2得焦点F(0,1),设P(x0,y0),PF的中点M(x,y).由中点公式得所以又因为P(x0,y0)在抛物线y=x2上,所以2y-1=(2x)2,即x2=
5、2y-1.故选A.8.已知点A(0,2),抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,射线FA与抛物线C相交于点M,与其准线相交于点N,若=,则p的值等于(B)(A)(B)2(C)4(D)8解析:过点M作抛物线的准线的垂线,垂足为点M,则易得|MM|=|MF|,所以cos NMM=,则kAM=-tanNMM=-=-2,则直线AM的方程为y-2=-2x,令y=0得抛物线的焦点坐标F(1,0),则p=21=2,故选B.二、填空题9.(2018浙江高考模拟)抛物线y2=2x的准线方程是,若此抛物线上一点M到此抛物线焦点F的距离为1,则点M的横坐标为.解析:抛物线y2=2x的准线方程是x=-,设M的横坐
6、标为x0,由抛物线的定义可得x0+=1,所以x0=.答案:x=-10.过抛物线y2=2px(p0)上一定点P(x0,y0)(y00)作两条直线分别交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2),则当PA与PB的斜率都存在,且=-2时,直线PA与PB的斜率之和为.解析:设直线PA的斜率为kPA,PB的斜率为kPB,由=2px1,=2px0,两式相减得-=2p(x1-x0),得kPA=,同理kPB=.由=-2,得y1+y2=-2y0,故+=0,即kPA+kPB=0.故直线PA与PB的斜率之和为0.答案:011.已知点A(2,1),抛物线y2=4x的焦点是F,若抛物线上存在一点P,使得|PA|+|PF
7、|最小,则最小值为 ;此时P点的坐标为.解析:如图,过P-作PP1l于P1,则由抛物线的定义得|PP1|=|PF|,所以|PA|+|PF|=|PA|+|PP1|,由图形得当P,A,P1三点共线时,|PA|+|PP1|最小,又|PA|+|PP1|最小值为A到准线l的距离,此时最小值为3,此时点P的纵坐标为y=1,所以x=,即点P的坐标为(,1).答案:3(,1)12.已知抛物线y2=2px(p0)的焦点为F,准线为l,P为抛物线上一点,PAl,垂足为A.如果APF是边长为4的正三角形,则此抛物线的焦点坐标为,点P的横坐标xP=.解析:如图所示,设P(,y0),则|PA|=+=4,又在RtAMF中
8、,AFM=FAP=60,故tanAFM=,联立得,p=2,|y0|=2,故焦点坐标为(1,0),点P的横坐标为xp=3.答案:(1,0)313.(2018镇海5月模拟)已知抛物线y2=4x,焦点记为F,过点F作直线l交抛物线于A,B两点,则|AF|-的最小值为.解析:由题意知,抛物线y2=4x的焦点坐标为(1,0),当斜率k不存在时,易得|AF|=|BF|=2,则|AF|-=2-1=1.当斜率k存在时,设直线AB的方程为y=k(x-1),设A(x1,y1),B(x2,y2),由整理得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.则x1+x2=,x1x2=1,则x2=,根据抛物线性质可知,|AF|=x1
9、+1,|BF|=x2+1,|AF|-=(x1+1)-=(x1+1)-=,x10,设f(x)=,x0,所以f(x)在(0,-1)上单调递减,在(-1,+)上单调递增,所以当x=-1,f(x)取最小值,最小值为2-2,因为12-2,所以|AF|-最小值为2-2.答案:2-2三、解答题14.(2019全国卷)已知抛物线C:y2=3x的焦点为F,斜率为的直线l与C的交点为A,B,与x轴的交点为P.(1)若|AF|+|BF|=4,求l的方程;(2)若=3,求|AB|.解:设直线l:y=x+t,A(x1,y1),B(x2,y2).(1)由题设得F(,0),故|AF|+|BF|=x1+x2+,由题设可得x1
10、+x2=.由可得9x2+12(t-1)x+4t2=0,则x1+x2=-.从而-=,得t=-,所以l的方程为y=x-.(2)由=3可得y1=-3y2.由可得y2-2y+2t=0,所以y1+y2=2,从而-3y2+y2=2,故y2=-1,y1=3.代入C的方程得x1=3,x2=,故|AB|=.15.已知抛物线C:y2=2px(p0),F为抛物线C的焦点,A为抛物线C上的动点,过A作抛物线准线l的垂线,垂足为Q.(1)若点P(0,2)与点F的连线恰好过点A,且PQF=90,求抛物线方程;(2)设点M(m,0)在x轴上,若要使MAF总为锐角,求m的取值范围.解:(1)由题意知|AQ|=|AF|,因为PQF=90,所以A为PF的中点,因为F(,0),所以A(,1),且点A在抛物线上,代入得1=2pp=,所以抛物线方程为y2=2x.(2)设A(x,y),根据题意,MAF为锐角0且m,=(m-x,-y),=(-x,-y),0(x-m)(x-)+y20x2-(+m)x+y20,因为y2=2px,所以x2+(-m)x+0对x0都成立.令f(x)=x2+(-m)x+=(x+-)2+-(-)20,对x0都成立.若-0,即m时,只要使-(-)20成立,整理得4m2-20mp+9p20m,且m,所以m.若-0,即m0成立,得m0,所以0m且m.由得m的取值范围是(0,)(,).
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