1、第2讲 不等式的证明 基础题组练1(2020南阳模拟)已知函数f(x)|2x1|x1|.(1)解不等式f(x)3；(2)记函数g(x)f(x)|x1|的值域为M，若tM，证明：t213t.解：(1)依题意，得f(x)于是f(x)3或或解得1x1.即不等式f(x)3的解集为x|1x1(2)证明：g(x)f(x)|x1|2x1|2x2|2x12x2|3，当且仅当(2x1)(2x2)0时，取等号，所以M3，)要证t213t，即证t23t10.而t23t1.因为tM，所以t30，t210，所以0.所以t213t.2(2020榆林模拟)已知函数f(x)|x1|x1|.(1)求函数f(x)的最小值a；(2
2、)根据(1)中的结论，若m3n3a，且m0，n0，求证：mn2.解：(1)f(x)|x1|x1|x1(x1)|2，当且仅当(x1)(x1)0即1x1时取等号，所以f(x)min2，即a2.(2)证明：假设mn2，则m2n，m3(2n)3.所以m3n3(2n)3n326(1n)22.由(1)知a2，所以m3n32.矛盾，所以mn2.3(2020宣城模拟)已知函数f(x)|2x1|x2|，集合Ax|f(x)3(1)求集合A；(2)若实数s，tA，求证：.解：(1)函数f(x)|2x1|x2|首先画出yf(x)与y3的图象如图所示可得不等式f(x)3的解集A.(2)证明：因为实数s，tA，所以s，t
3、.所以1t2(1t2)(s21)0，所以，所以0，b0，abm，证明：.解：(1)|2x|2x1|2x(2x1)|1，当且仅当2x(2x1)0即0x时取等号，故m1.所以实数m的取值范围为1，)(2)证明：由题知ab1，又(a2b2ab)(ab)2，所以(ab).综合题组练1设不等式|x1|x1|1.解：(1)由已知，令f(x)|x1|x1|由|f(x)|2得1x1，即Ax|1x1，只需证|1abc|abc|，只需证1a2b2c2a2b2c2，只需证1a2b2c2(1a2b2)，只需证(1a2b2)(1c2)0，由a，b，cA，得1ab1，c20恒成立综上，1.2已知函数f(x)k|x3|，k
4、R，且f(x3)0的解集为1，1(1)求k的值；(2)若a，b，c是正实数，且1，求证：a2b3c9.解：(1)因为f(x)k|x3|，所以f(x3)0等价于|x|k，由|x|k有解，得k0，且解集为k，k因为f(x3)0的解集为1，1因此k1.(2)证明：由(1)知1，因为a，b，c为正实数，所以a2b3c(a2b3c)3332229.当且仅当a2b3c时，等号成立因此a2b3c9.3已知函数f(x)ax2bxc(a，b，cR)，当x1，1时，|f(x)|1.(1)求证：|b|1；(2)若f(0)1，f(1)1，求实数a的值解：(1)证明：由题意知f(1)abc，f(1)abc，所以bf(1
5、)f(1)因为当x1，1时，|f(x)|1，所以|f(1)|1，|f(1)|1，所以|b|f(1)f(1)|f(1)|f(1)|1.(2)由f(0)1，f(1)1可得c1，b2a，所以f(x)ax2(2a)x1.当a0时，不满足题意，当a0时，函数f(x)图象的对称轴为x，即x.因为x1，1时，|f(x)|1，即|f(1)|1，所以|2a3|1，解得1a2.所以0，故|f|a(2a)1|1.整理得|1|1，所以111，所以20，又a0，所以0，所以0，所以a2.4(2019高考全国卷)设x，y，zR，且xyz1.(1)求(x1)2(y1)2(z1)2的最小值；(2)若(x2)2(y1)2(za)2成立，证明：a3或a1.解：(1)由于(x1)(y1)(z1)2(x1)2(y1)2(z1)22(x1)(y1)(y1)(z1)(z1)(x1)3(x1)2(y1)2(z1)2，故由已知得(x1)2(y1)2(z1)2，当且仅当x，y，z时等号成立所以(x1)2(y1)2(z1)2的最小值为.(2)证明：由于(x2)(y1)(za)2(x2)2(y1)2(za)22(x2)(y1)(y1)(za)(za)(x2)3(x2)2(y1)2(za)2，故由已知得(x2)2(y1)2(za)2，当且仅当x，y，z时等号成立因此(x2)2(y1)2(za)2的最小值为.由题设知，解得a3或a1.
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