1、核心素养测评七十八 参数方程1.(10分)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为sin=m.(1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程.(2)若曲线C1与曲线C2有公共点,求实数m的取值范围.【解析】(1)由曲线C1的参数方程为(为参数),可得其直角坐标方程为y=x2(-2x2),由曲线C2的极坐标方程为sin=m,可得其直角坐标方程为x-y+m=0.(2)联立曲线C1与曲线C2的方程,可得x2-x-m=0,所以m=x2-x=-,因为-2x2,曲线C1与曲线C2有公共点,所以-m6.2.(10分)在平
2、面直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(为参数,0,2),曲线C2的参数方程为(t为参数).(1)求曲线C1,C2的普通方程.(2)求曲线C1上一点P到曲线C2的距离的最大值.【解析】(1)由题意知,曲线C1的普通方程为x2+=1,曲线C2的普通方程为x+y+2=0.(2)设点P的坐标为(cos ,3sin ),则点P到直线C2的距离d=,所以当sin=1,即=时,dmax=2,即点P到曲线C2的距离的最大值为2.3.(10分)已知曲线C的极坐标方程是=4cos .以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线l的参数方程是(t为参数).(1)将曲线C的极坐标方
3、程化为直角坐标方程.(2)若直线l与曲线C相交于A,B两点,且|AB|=,求直线l的倾斜角的值.【解析】(1)由=4cos 得2=4cos .因为x2+y2=2,x=cos ,y=sin ,所以曲线C的直角坐标方程为x2+y2-4x=0,即(x-2)2+y2=4.(2)将代入曲线C的方程得(tcos -1)2+(tsin )2=4,化简得t2-2tcos -3=0.设A,B两点对应的参数分别为t1,t2,则所以|AB|=|t1-t2|=,所以4cos2=2,cos =,=或.4.(10分)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(为参数).以坐标原点为极点,以x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为sin=2.(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程.(2)设点P在C1上,点Q在C2上,求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标.【解析】(1)C1的普通方程为+y2=1,C2的直角坐标方程为x+y-4=0.(2)由题意,可设点P的直角坐标为(cos ,sin ).因为C2是直线,所以|PQ|的最小值即为P到C2的距离d()的最小值,d()=.当且仅当=2k+(kZ)时,d()取得最小值,最小值为,此时P的直角坐标为.
