1、江苏省常州市2021年春学期高一期末质量调研数 学202106注意事项及说明：本卷考试时间为120分钟，全卷满分为150分一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1已知复数z（i是虚数单位），则的虚部为A B C D2演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是A中位数 B平均数 C方差 D极差3在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若2BAC，且b2ac，
2、则ABC一定是A直角三角形 B钝角三角形 C等腰直角三角形 D等边三角形4魔方又叫鲁比克方块（Rubks Cube），是由匈牙利建筑学教授暨雕塑家鲁比克艾尔内于1974年发明的机械益智玩具，与华容道、独立钻石棋一起被国外智力专家并称为智力游戏界的三大不可思议三阶魔方可以看作是将一个各面上均涂有颜色的正方体的棱三等分，然后沿等分线把正方体切开所得，现将三阶魔方中1面有色的小正方体称为中心方块，2面有色的小正方体称为边缘方块，3面有色的小正方体称为边角方块，若从这些小正方体中任取一个，恰好抽到边角方块的概率为A B C D5已知，且(0，)，则的值为A B C D或6垂直于同一直线的两条不同的直线
3、平行；垂直于同一平面的两条不同的直线平行；平行于同一平面的两条不同的直线平行；平行于同一直线的两条不同的直线平行以上4个命题中，真命题的个数是A1 B2 C3 D47如右图，在三棱锥OABC中，点P，Q分别是OA，BC的中点，点D为线段PQ上一点，且，若记，则A B C D8如右图，在四棱锥PABCD中，已知PA底面ABCD，ABBC，ADCD，且BAD120，PAABAD2，则该四棱锥外接球的表面积为A B C D 第7题 第8题 第11题二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）9在复平面内，
4、下列说法正确的是A若复数z满足，则B若复数（i为虚数单位），则C若复数，则z为纯虚数的充要条件是m0D若复数z满足条件，则复数z对应点的集合是以原点O为圆心，分别以2和3为半径的两个圆所夹的圆环，且包括圆环的边界10黄种人群中各种血型的人所占的比例见下表：血型ABABO该血型的人所占比例0.280.290.080.35已知同种血型的人可以输血，O型血可以给任何一种血型的人输血，任何血型的人都可以给AB血型的人输血，其他不同血型的人不能互相输血下列结论正确的是A任找一个人，其血可以输给B型血的人的概率是0.64B任找一个人，B型血的人能为其输血的概率是0.29C任找一个人，其血可以输给O型血的人
5、的概率为1D任找一个人，其血可以输给AB型血的人的概率为111如右图，正方体ABCDA1B1C1D1中，P，Q分别为棱BC和CC1的中点，则下列说法正确的是AA1D平面AQPBBC1平面AQPC异面直线A1C与PQ所成角为90D平面AQP截正方体所得截面为等腰梯形12如右图，在等腰直角三角形ABC中，ABAC2，BAC90，E，F分别为AB，AC上的动点，设，其中，(0，1)，则下列说法正确的是A若，则B若，则与不共线C若，记三角形AEF的面积为S，则S的最大值为D若，且M，N分别是EF，BC边的中点，则 第12题的最小值为三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分请把答案填写在答题卡
6、相应位置上）13已知样本数据，的方差为2，则样本数据，的方差为 14 15甲、乙两队进行篮球决赛，采取三场二胜制（当一队赢得二场胜利时，该队获胜，决赛结束）根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主客主”设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队最终获胜的概率是 16在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若点P在边BC上，并且BP2PC，O为ABC的外心，则OP之长为 四、解答题（本大题共6小题，共计70分请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（本小题满分10分）甲、乙两人玩一种猜数游戏，每次由甲、乙各出1
7、到4中的一个数，若两个数的和为偶数算甲赢，否则算乙赢（1）若事件A表示“两个数的和为5”，求P(A)；（2）现连玩三次，若事件B表示“甲至少赢一次”，事件C表示“乙至少赢两次”，试问B与C是不是互斥事件？为什么？（3）这种游戏规则公平吗？试说明理由18（本小题满分12分）已知O是坐标原点，向量(2，3)，(6，1)，(x，0)（1）若，求实数x的值；（2）当取最小值时，求ABP的面积19（本小题满分12分）如右图，在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，且(0，)（1）求角C；（2）若D为BC边上的一点，且AD5，AB7，DB3，求AC的长20（本小题满分12分）如右图，AB是圆
8、O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，PO垂直于圆O所在的平面，且POOB2（1）若D为线段AC的中点，求证：平面PAC平面POD；（2）若ACBC，点E是线段PB上的动点，求CEOE的最小值21（本小题满分12分）螃蟹是金坛长荡湖的特产小刘从事螃蟹养殖和批发多年，有着不少客户小刘把去年采购螃蟹的数量x（单位：箱）在100，200)的客户称为“大客户”，并把他们去年采购的数量制成下表：采购数x100，120)120，140)140，160)160，180)180，200)客户数10105205已知去年“大客户”们采购的螃蟹数量占小刘去年总的销售量的（1）根据表中的数据完善右边的频率分布直方图，
9、并估计采购数在168箱以上（含168箱）的“大客户”人数； （2）估算小刘去年总的销售量（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（3）小刘今年销售方案有两种：不在网上销售螃蟹，则按去年的价格销售，每箱利润为20元，预计销售量与去年持平；在网上销售螃蟹，则需把每箱售价下调m元(2m5)，销售量可增加1000m箱问哪一种方案利润最大？并求出今年利润Y（单位：元）的最大值22（本小题满分12分）如右图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为直角梯形，ADBC，ADC90，ADCD3，BC4，PBC为正三角形，点M，N分别在线段AD和PC上，且设二面角PADB为，且（1）求证：PM平面BDN；（2）
10、求直线PM与平面PBC所成角的正弦值；（3）求三棱锥PABN的体积江苏省常州市2021年春学期高一期末质量调研数 学202106注意事项及说明：本卷考试时间为120分钟，全卷满分为150分一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1已知复数z（i是虚数单位），则的虚部为A B C D【答案】B【解析】z，所以，选B2演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是A中位数 B
11、平均数 C方差 D极差【答案】A【解析】根据中位数的定义，即可判断出不变的是中位数3在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若2BAC，且b2ac，则ABC一定是A直角三角形 B钝角三角形 C等腰直角三角形 D等边三角形【答案】D【解析】由2BAC，得B60，由余弦定理得b2a2c22accosBa2c2ac，因为b2ac，所以a2c2acac，故(ac)20，故ac，综上ABC是等边三角形4魔方又叫鲁比克方块（Rubks Cube），是由匈牙利建筑学教授暨雕塑家鲁比克艾尔内于1974年发明的机械益智玩具，与华容道、独立钻石棋一起被国外智力专家并称为智力游戏界的三大不可思议三阶魔方可
12、以看作是将一个各面上均涂有颜色的正方体的棱三等分，然后沿等分线把正方体切开所得，现将三阶魔方中1面有色的小正方体称为中心方块，2面有色的小正方体称为边缘方块，3面有色的小正方体称为边角方块，若从这些小正方体中任取一个，恰好抽到边角方块的概率为A B C D【答案】B【解析】一共有27个小正方体，其中边角方块共有8个，故恰好抽到边角方块的概率等于5已知，且(0，)，则的值为A B C D或【答案】C【解析】因为(0，)，所以0，因为，所以，所以2，故，所以0，所以6垂直于同一直线的两条不同的直线平行；垂直于同一平面的两条不同的直线平行；平行于同一平面的两条不同的直线平行；平行于同一直线的两条不同
13、的直线平行以上4个命题中，真命题的个数是A1 B2 C3 D4【答案】B【解析】长方体的长宽高能说明是错的，平行于同一平面的两条不同的直线可能平行，可能相交，也可能异面，故错，故选B7如右图，在三棱锥OABC中，点P，Q分别是OA，BC的中点，点D为线段PQ上一点，且，若记，则A B C D【答案】A【解析】8如右图，在四棱锥PABCD中，已知PA底面ABCD，ABBC，ADCD，且BAD120，PAABAD2，则该四棱锥外接球的表面积为A B C D【答案】B【解析】取AC中点E，过E作PA的平行线l，则球心O在直线l上，且能满足OAOP，易求得OAOP，所以S二、多项选择题（本大题共4小题
14、，每小题5分，共计20分在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）9在复平面内，下列说法正确的是A若复数z满足，则B若复数（i为虚数单位），则C若复数，则z为纯虚数的充要条件是m0D若复数z满足条件，则复数z对应点的集合是以原点O为圆心，分别以2和3为半径的两个圆所夹的圆环，且包括圆环的边界【答案】BD【解析】若，此时，A错误；若复数，则z为纯虚数的充要条件是m0，且n0，故C错误综上选BD10黄种人群中各种血型的人所占的比例见下表：血型ABABO该血型的人所占比例0.280.290.080.35已知同种血型的人可以输血，O型血可以给任何一种血型的人
15、输血，任何血型的人都可以给AB血型的人输血，其他不同血型的人不能互相输血下列结论正确的是A任找一个人，其血可以输给B型血的人的概率是0.64B任找一个人，B型血的人能为其输血的概率是0.29C任找一个人，其血可以输给O型血的人的概率为1D任找一个人，其血可以输给AB型血的人的概率为1【答案】AD【解析】任找一个人，B型血的人能为其输血的概率是0.37，故B错误；任找一个人，其血可以输给O型血的人的概率为0.35，故C错误综上选AD11如右图，正方体ABCDA1B1C1D1中，P，Q分别为棱BC和CC1的中点，则下列说法正确的是 AA1D平面AQPBBC1平面AQPC异面直线A1C与PQ所成角为
16、90D平面AQP截正方体所得截面为等腰梯形【答案】BCD【解析】因为A1D与AP不垂直，故A1D与平面AQP不垂直，A错误，其他选项均正确，故选BCD12如右图，在等腰直角三角形ABC中，ABAC2，BAC90，E，F分别为AB，AC上的动点，设，其中，(0，1)，则下列说法正确的是A若，则B若，则与不共线C若，记三角形AEF的面积为S，则S的最大值为D若，且M，N分别是EF，BC边的中点，则的最小值为【答案】ACD【解析】当，则与共线，故B说法错误，其他选项则均正确，故选ACD三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分请把答案填写在答题卡相应位置上）13已知样本数据，的方差为2，则样
17、本数据，的方差为 【答案】18【解析】由题意知，新的一组数据的方差是原来的9倍，故答案为1814 【答案】【解析】15甲、乙两队进行篮球决赛，采取三场二胜制（当一队赢得二场胜利时，该队获胜，决赛结束）根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主客主”设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队最终获胜的概率是 【答案】0.6【解析】P16在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若点P在边BC上，并且BP2PC，O为ABC的外心，则OP之长为 【答案】1【解析】，根据正弦定理得，故tanA，所以A60，所以BOC120，所以OBOC，OCB30，
18、又BP2PC，所以CP1，在OCP中，根据余弦定理，求得OP1四、解答题（本大题共6小题，共计70分请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（本小题满分10分）甲、乙两人玩一种猜数游戏，每次由甲、乙各出1到4中的一个数，若两个数的和为偶数算甲赢，否则算乙赢（1）若事件A表示“两个数的和为5”，求P(A)；（2）现连玩三次，若事件B表示“甲至少赢一次”，事件C表示“乙至少赢两次”，试问B与C是不是互斥事件？为什么？（3）这种游戏规则公平吗？试说明理由【解析】解：（1）易知样本点总数n16，且每个样本点出现的可能性相等事件A包含的样本点共4个：(1，4)，(2，3)，
19、(3，2)，(4，1)， 所以P(A)=0.25（2）B与C不是互斥事件. 理由：因为事件B与C可以同时发生，如甲赢一次，乙赢两次（3）这种游戏规则公平理由如下：和为偶数的样本点有:(1，1)，(1，3)， (2，2)，(2，4)，(3，1)，(3，3)， (4，2)，(4，4)，共8个，所以甲赢的概率为0.5，乙赢的概率为0.5，所以这种游戏规则公平18（本小题满分12分）已知O是坐标原点，向量(2，3)，(6，1)，(x，0)（1）若，求实数x的值；（2）当取最小值时，求ABP的面积【解析】解：（1）因为，所以， 又因为，所以，即 也即，解得或，则所求实数的值为或 （2）由（1）知，当时，
20、取最小值， 此时，则， 又在中，则， 的面积为19（本小题满分12分）如右图，在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，且(0，)（1）求角C；（2）若D为BC边上的一点，且AD5，AB7，DB3，求AC的长【解析】解：（1）因为，所以即， 由两角和与差的余弦公式得，又因为在中，所以， 又因为，所以（2）在中，由余弦定理得， 又因为，则，即， 在中，由正弦定理得，即20（本小题满分12分）如右图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，PO垂直于圆O所在的平面，且POOB2（1）若D为线段AC的中点，求证：平面PAC平面POD；（2）若ACBC，点E是线段PB上的动点，求CE
21、OE的最小值【解析】解：（1）在中，因为，为的中点，所以 又垂直于圆所在的平面，因为圆所在的平面，所以 因为，所以平面， 因为平面，所以平面平面 （2）在中，所以同理，所以 在三棱锥中，将侧面绕旋转至平面，使之与平面共面，如图所示当，共线时，取得最小值 又因为，所以垂直平分，即为中点从而，亦即的最小值为21（本小题满分12分）螃蟹是金坛长荡湖的特产小刘从事螃蟹养殖和批发多年，有着不少客户小刘把去年采购螃蟹的数量x（单位：箱）在100，200)的客户称为“大客户”，并把他们去年采购的数量制成下表：采购数x100，120)120，140)140，160)160，180)180，200)客户数101
22、05205已知去年“大客户”们采购的螃蟹数量占小刘去年总的销售量的（1）根据表中的数据完善右边的频率分布直方图，并估计采购数在168箱以上（含168箱）的“大客户”人数； （2）估算小刘去年总的销售量（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（3）小刘今年销售方案有两种：不在网上销售螃蟹，则按去年的价格销售，每箱利润为20元，预计销售量与去年持平；在网上销售螃蟹，则需把每箱售价下调m元(2m5)，销售量可增加1000m箱问哪一种方案利润最大？并求出今年利润Y（单位：元）的最大值【解析】解：（1）作出频率分布直方图，如图 根据上图，可知采购量在168箱以上(含168箱)的“大客户”人数为（2）
23、去年“大客户”所采购的螃蟹总数大约为(箱) 小刘去年总的销售量为(箱) （3）若不在网上销售螃蟹，则今年底小刘的收入为(元) 若在网上销售螃蟹，则今年年底的销售量为箱，每箱的利润，则今年年底小刘的收入为当时， 取得最大值256000 ，小刘今年年底收入的最大值为256000元22（本小题满分12分）如右图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为直角梯形，ADBC，ADC90，ADCD3，BC4，PBC为正三角形，点M，N分别在线段AD和PC上，且设二面角PADB为，且（1）求证：PM平面BDN；（2）求直线PM与平面PBC所成角的正弦值；（3）求三棱锥PABN的体积【解析】解：（1）证明：连接，交于，因为，所以，因为，所以，所以， 因为平面，平面，所以平面. （2）解：取中点，连接、，因为为正三角形，所以，因为为直角梯形，所以四边形为矩形，所以，因为，所以平面，所以平面平面，因为，所以平面，所以，所以， 设，由余弦定理得，于是，整理得，解得或（舍去），取中点，连接，因为，所以，又因为平面平面，所以平面，所以直线与平面所成角为.而， 所以直线与平面所成角的正弦值为. （3）因为，平面，平面，所以平面，所以的长也是点到平面的距离， ，