1、19. 3 正方形1了解正方形的有关概念，理解并掌握正方形的性质和判定定理；(重点)2会利用正方形的性质和判定进行相关的计算和证明(难点)一、情境导入如图所示，把可以活动的矩形框架ABCD的BC边平行移动，使矩形的邻边AD，DC相等，观察这时矩形ABCD的形状如图所示，把可以活动的菱形框架ABCD的A变为直角，观察这时菱形ABCD的形状图中图形的变化可判断矩形ABCD特殊的四边形是什么四边形？图中图形变化可判断菱形ABCD特殊的四边形是什么四边形？经过观察，你发现既是矩形又是菱形的图形是什么四边形？引入正方形的定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形是正方形注意：正方形既是特殊的矩
2、形，又是特殊的菱形，即：有一组邻边相等的矩形是正方形或有一个角是直角的菱形是正方形二、合作探究探究点一：正方形的性质【类型一】 利用正方形的性质求角度 四边形ABCD是正方形，ADE是等边三角形，求BEC的大小解析：等边ADE可以在正方形的内部，也可以在正方形的外部，因此本题分两种情况解：当等边ADE在正方形ABCD外部时，如图，ABAE，BAE9060150，AEB15.同理可得DEC15.BEC60151530；当等边ADE在正方形ABCD内部时，如图，ABAE，BAE906030，AEB75.同理可得DEC75.BEC360757560150.综上所述，BEC的大小为30或150.易错提
3、醒：因为等边ADE与正方形ABCD有一条公共边，所以边相等本题分两种情况：等边ADE在正方形的外部或在正方形的内部【类型二】 利用正方形的性质求线段长 如图，正方形ABCD的边长为1cm，AC为对角线，AE平分BAC，EFAC，求BE的长解析：线段BE是RtABE的一边，但由于AE未知，不能直接用勾股定理求BE，由条件可证ABEAFE，问题转化为求EF的长，结合已知条件易求解解：四边形ABCD为正方形，B90，ACB45，ABBC1cm.EFAC，EFAEFC90.又ECF45，EFC是等腰直角三角形，EFFC.BAEFAE，BEFA90，AEAE，ABEAFE，ABAF1cm，BEEF.FC
4、BE.在RtABC中，AC(cm)，FCACAF(1)cm，BE(1)cm.方法总结：正方形被对角线分成4个等腰直角三角形，因此在正方形中解决问题时常用到等腰直角三角形的性质【类型三】 利用正方形的性质证明线段相等 如图，已知过正方形ABCD的对角线BD上一点P，作PEBC于点E，PFCD于点F.求证：APEF.解析：由PEBC，PFCD知四边形PECF为矩形，故有EFPC，这时只需说明APCP，由正方形对角线互相垂直平分可知APCP.证明：连接AC，PC.四边形ABCD为正方形，BD垂直平分AC，APCP.PEBC，PFCD，BCD90，四边形PECF为矩形，PCEF，APEF.方法总结：(
5、1)在正方形中，常利用对角线互相垂直平分证明线段相等；(2)无论是正方形还是矩形，经常连接对角线，这样可以使分散的条件集中探究点二：正方形的判定【类型一】 先证明是矩形再证明是正方形 已知：如图所示，在RtABC中，C90，BAC，ABC的平分线交于点D，DEBC于点E，DFAC于点F.求证：四边形CEDF是正方形解析：欲证明四边形CEDF是正方形，先根据C90，DEBC，DFAC，证明四边形CEDF是矩形，再证明一组邻边相等即可证明：过点D作DGAB于点G.DFAC，DEBC，DFCDEC90.又C90，四边形CEDF是矩形(有三个角是直角的四边形是矩形)AD平分BAC，DFAC，DGAB，
6、DFDG.同理可得DEDG，DEDF.四边形CEDF是正方形(有一组邻边相等的矩形是正方形)方法总结：正方形的判定方法有很多，可以先证明它是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直【类型二】 先证明是菱形再证明是正方形 已知：如图，点E，F，P，Q分别是正方形ABCD的四条边上的点，并且AFBPCQDE.求证：(1)EFFPPQQE；(2)四边形EFPQ是正方形解析：(1)证明DFEAPFBQPCEQ，即可证得EFFPPQQE；(2)由EFFPPQQE，可判定四边形EFPQ是菱形又由APFBQP，易得FPQ90，即可证得四边形EFPQ是正方形证明：(1)四边形ABCD是正方形，ABCD90
7、，ABBCCDAD.AFBPCQDE，DFAPBQCE.在APF和DFE和CEQ和BQP中，APFDFECEQBQP(SAS)，EFFPPQQE；(2) EFFPPQQE，四边形EFPQ是菱形APFBQP，AFPBPQ.AFPAPF90，APFBPQ90，FPQ90，四边形EFPQ是正方形方法总结：此题考查了正方形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质注意解题的关键是证得APFDFECEQBQP.探究点三：正方形的性质和判定的综合运用 如图，EG，FH过正方形ABCD的对角线的交点O，且EGFH.求证：四边形EFGH是正方形解析：已知EGFH，要证四边形EFGH为正方形，可先证四边形的对角线E
8、G，HF互相平分，结合垂直得出四边形EFGH为菱形，再由对角线相等可得四边形EFGH为正方形.根据题意可通过三角形全等来证OEOHOGOF.证明：四边形ABCD为正方形，OBOC，ABOBCO45，BOC90COHBOH.EGFH，BOEBOH90，COHBOE，CHOBEO，OEOH.同理可证：OEOFOG，OEOFOGOH.又EGFH，四边形EFGH为菱形EOGOFOHO，即EGHF，四边形EFGH为正方形方法总结：对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形 探究点四：正方形、菱形、矩形与平行四边形的综合运用 如图，ABC中，点P是AC边上一个动点，过P作直线EFBC，交ACB的平分线于点E
9、，交ACB的外角ACD的平分线于点F.(1)请说明：PEPF；(2)当点P在AC边上运动到何处时，四边形AECF是矩形？为什么？(3)在(2)的条件下，ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？为什么？(4)当点P在边AC上运动时，四边形BEFC可能是菱形吗？请说明理由解：(1)CE平分BCA，12.EFBC，E1，E2，EPPC.同理PFPC，EPPF；(2)当点P在AC中点时，四边形AECF是矩形PAPC，PEPF，四边形AECF是平行四边形又ECFBCD90，平行四边形AECF是矩形；(3)当ACB90时，四边形AECF是正方形ACB90，ACBC.EFBC，ACEF，矩形AECF是正方形；(4)四边形BEFC不可能是菱形ECF90，EFCF，四边形BEFC不可能是菱形三、板书设计1正方形的性质；2正方形的判定；3正方形的性质和判定的综合运用；4正方形、菱形、矩形与平行四边形的综合运用经历正方形性质和判定的探索过程，发展学生初步的综合推理能力，主动探究的学习习惯，逐步掌握说理的基本方法理解特殊的平行四边形之间的内在联系，培养学生辩证看问题的观点.
