1、山东省聊城市某重点高中2013届高三下学期高考模拟试题（三）数学（文理）试题考试时间120分钟；满分150分第I卷（选择题）一选择题（共60分）1.（理）已知是上的减函数，那么的取值范围是A B C D（文）设函数定义在实数集R上，且当时=，则有 ABCD 2.若在曲线f（x，y）=0上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线f（x，y）=0的“自公切线”。下列方程：；，；对应的曲线中存在“自公切线”的有（ ）ABCD3.已知是两个正数的等比中项，则圆锥曲线的离心率为 A或 B C D或4.某几何体的正视图和侧视图均为如图1所示，则该几何体的俯视图不可能是A（1），（3）B（1），（3），（
2、4）C（1），（2），（3）D（1），（2），（3），（4）5.（文）设,则的值为（）A1B0CD （理）定义运算,如.已知,则( ) .6.执行如图所示的程序框图，若输入的值为2，则输出的值为（ ）A2 B3 C4 D57.我们把具有以下性质的函数 称为“好函数”：对于在定义域内的任意三个数，若这三个数能作为三角形的三边长，则也能作为三角形的三边长.现有如下一些函数： ， ，.其中是“好函数”的序号有（ ） A. B. C. D.8.设记不超过的最大整数为令则 （ ）是等差数列但不是等比数列 是等比数列但不是等差数列既是等差数列又是等比数列 既不是等差数列也不是等比数列9.在平面直角坐标系中
3、，横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，如果函数的图象恰好通过个整点，则称函数为阶整点函数.有下列函数 其中是一阶整点函数的是 ( ）ABCD10.给出下列命题：已知椭圆两焦点，则椭圆上存在六个不同点，使得为直角三角形；已知直线过抛物线的焦点，且与这条抛物线交于两点，则的最小值为2；若过双曲线的一个焦点作它的一条渐近线的垂线，垂足为为坐标原点，则；根据气象记录，知道荆门和襄阳两地一年中雨天所占的概率分别为20和18，两地同时下雨的概率为12，则荆门为雨天时，襄阳也为雨天的概率是60.其中正确命题的序号是( )ABCD11.设与是定义在同一区间a，b上的两个函数，若对任意a，b，都有成立，则称和在
4、a，b上是“紧密函数”.若与在1，2上是“紧密函数”，则m的取值范围是（ ）。 A0，1 B2，3C1，2 D1，312.下列四个命题：（1）函数f（x）在x0时是增函数，x0也是增函数，所以f（x）是增函数；（2）若函数f（x）ax2bx2与x轴没有交点，则b28a0且a0（3）y= x2一2x3的递增区间为：1. )（4）y1x和y表示相等函数其中正确命题的个数是（A、0B、1C、2D、3第II卷（非选择题）二填空题13.已知方程的三个实根可分别作为一椭圆、一双曲线、一抛物线的离心率，则的取值范围是 .14.已知集合是满足下列性质的函数的全体：存在非零常数k, 对定义域中的任意，等式恒成立
5、现有两个函数，则函数、与集合的关系为 15.四位同学在研究函数时，分别给出下面四个结论：函数 的图象关于轴对称； 函数的值域为 (1,1)；若则一定有；若规定, ，则 对任意恒成立 你认为上述四个结论中正确的有 16.（理）平面向量也叫二维向量，二维向量的坐标表示及其运算可以推广到n(n3)维向量，n维向量可用(x1，x2，x3，x4，xn)表示设(a1，a2，a3，a4，an)，(b1，b2，b3，b4，bn)，规定向量与夹角的余弦为cos.已知n维向量，当(1,1,1,1，1)，(1，1,1,1,1，1)时，cos等于_（文）下列5个判断：若在上增函数，则；函数只有两个零点；函数的值域是；
6、函数的最小值是1；在同一坐标系中函数与的图像关于轴对称。其中正确命题的序号是 。三解答题17（本小题满分14分） 已知f（x）=x-（a0），g（x）=2lnx+bx且直线y=2x2与曲线y=g（x）相切（1）若对1，+）内的一切实数x，小等式f（x）g（x）恒成立，求实数a的取值范围；（2）当a=l时，求最大的正整数k，使得对e，3（e=271828是自然对数的底数）内的任意k个实数x1，x2，xk都有成立；（3）求证：18.如图,直角梯形ABCD中,AB=BC且ABC的面积等于ADC面积的梯形ABCD所在平面外有一点P,满足PA平面ABCD,（1）求证:平面PCD平面;（2）侧棱上是否存在
7、点E,使得平面PCD?若存在,指出点E的位置并证明;若不存在,请说明理由（3）（理）求二面角的余弦值19.请你设计一个LED霓虹灯灯箱。现有一批LED霓虹灯箱材料如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形LED散片，边CD上有一以其中点M为圆心，半径为2cm的半圆形缺损，因此切去阴影部分（含半圆形缺损）所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD四个点重合于空间一点P，正好形成一个正四棱柱形状有盖的LED霓虹灯灯箱，E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=xcm.（1）用规格长宽高=外包装盒来装你所设计的LED霓虹灯灯箱，灯箱彼此间隔空隙至多0.5cm
8、，请问包装盒至少能装多少只LED霓虹灯灯箱（每只灯箱容积V最大时所装灯箱只数最少）?（2）若材料成本2元/cm2,霓虹灯灯箱销售时以霓虹灯灯箱侧面积S（cm2）为准，售价为2.4元/cm2.试问每售出一个霓虹灯灯箱可获最大利润是多少？20.（理）已知数列满足，且（n2且nN*）（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前n项之和，求,并证明：（文）已知递增的等比数列满足是的等差中项。（）求数列的通项公式；（）若是数列的前项和，求21.在平面直角坐标系中，已知向量，若（1）求动点的轨迹T的方程,并说明该方程表示的曲线的形状；（2）当时，已知、，点P是轨迹T在第一象限的一点，且满足，若点Q是轨迹T上不
9、同于点P的另一点，问是否存在以PQ为直径的圆G过点，若存在，求出圆G的方程，若不存在，请说明理由22.边长为2的正方体中,P是棱CC1上任一点,（1）是否存在满足条件的实数m,使平面面?若存在,求出m的值;否则,请说明理由（2）（理）试确定直线AP与平面D1BP所成的角正弦值关于m的函数,并求的值（文）是否存在实数m,使得三棱锥和四棱锥的体积相等?若存在,求出m的值;否则,请说明理由数学（文理）试卷答案一选择题1.（理）B（文）C由可知函数关于直线对称，所以，且当时，函数单调递增，所以，即，即选C.2.B 画图可知选B. x2y2=1 是一个等轴双曲线，没有自公切线；=，在 x= 和 x=处的
10、切线都是y=，故有自公切线=5sin（x+），cos=，sin=，此函数是周期函数，过图象的最高点的切线都重合，故此函数有自公切线由于，即 x2+2|x|+y23=0，结合图象可得，此曲线没有自公切线故答案为 B3.D 4.D 5.（文）B（理）A6.C第一次循环：，；第二次循环：，；第三次循环：，因此输出的，故选择C。7.B8.B9.D10.A11.A12.A二填空题13.14.15.16.（理） （文）三解答题17.解：（1）设点为直线与曲线的切点，则有 （*）， （*）由（*）、（*）两式，解得， 2分由整理，得，要使不等式恒成立，必须恒成立 设，当时，则是增函数，是增函数，5分因此，实
11、数的取值范围是 6分（2）当时，在上是增函数，在上的最大值为要对内的任意个实数都有成立，必须使得不等式左边的最大值小于或等于右边的最小值，当时不等式左边取得最大值，时不等式右边取得最小值，解得因此，的最大值为 10分（3）证明（法一）：当时，根据（1）的推导有，时，即 11分令，得， 化简得， 13分 14分18.（理）（1）证明：PA平面ABCD,CDPA又ABC的面积等于ADC面积的,在底面中，因为，所以，所以又因为，所以平面而CD平面PCD，平面PCD平面（理4分，文7分）（2）在上存在中点，使得平面，证明如下：设的中点是，连结BE，EF，FC，则，且由已知，所以又，所以，且，所以四边形
12、为平行四边形，所以因为平面，平面，所以平面（理8分，文14分）（理）（3）设为中点，连结，则又因为平面平面，所以平面过作于，连结，由三垂线定理可知所以是二面角的平面角设，则,在中，所以所以，即二面角的余弦值为（14分）19.（1），所以，当时，V递增，当时，V递减，所以，当x=20时，V最大.此时正四棱柱形灯箱底面边长，高为.用规格为外包装盒来装灯箱，彼此间隔空隙至多0.5cm，至少装下=125个灯箱.答：至少装下125个灯箱.（2）（）,所以x=15cm时侧面积最大，最大值是（cm2）此时获利最大，最大利润为（元）.答：每个灯箱最大利润720元.20.（理）（1）且nN*），,即(,且N*)
13、,（3分）所以，数列是等差数列,公差,首项，（5分）于是（7分）（2） （9分）得 （12分）（14分）（文）21.（1），得，即（1分）当时，方程表示两条与轴平行的直线；（2分）当时，方程表示以原点为圆心，以2为半径的圆；（3分）当01时，方程表示焦点在轴上的椭圆；（4分）当1时，方程表示焦点在轴上的椭圆；（5分）当0时，方程表示焦点在轴上的双曲线（6分）（2）由（1）知，轨迹T是椭圆，则、为椭圆的两焦点解法一：由椭圆定义得,联立解得，又，有,，P的纵坐标为1，把代入得或（舍去），（9分）设存在满足条件的圆，则，设，则，,，即,又，,或（12分）所以圆G的方程：或（13分）22.（1）存在满足条件的实数,使平面面,证明如下:连接AC、AC1,设对角线,则H是AC1中点,连接PH,则PH是的中位线,则PHAC,ACBD,ACBB1,故AC平面PH平面,而PH平面,平面面;（5分）（2）（理）在线段AA1上取一点G,使得A1G=m,连接D1G,BG,则易证D1,G,B,P四点共面设点A到平面D1BP的距离为h,则由可得（7分）在BGD1中,则则,则（10分）而故设AP与平面D1BP所成的角为,则,故（13分）（文）由条件易得,（9分）（10分）由可得可得,故存在实数使得三棱锥和四棱锥的体积相等（13分）
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