1、核心素养测评六十五 圆锥曲线与其他知识的交汇问题1. 已知椭圆C:+=1(ab0)的一个焦点为F(1,0),点P在C上.(1)求椭圆C的方程.(2)若直线l:y=x+m与椭圆C相交于A,B两点,问y轴上是否存在点M,使得ABM是以M为直角顶点的等腰直角三角形?若存在,求点M的坐标;若不存在,说明理由.【解析】(1)由题意可得c=1,点P在C上,所以+=1,又a2=b2+c2=b2+1,解得a2=4,b2=3,所以椭圆C的方程为+=1.(2)假设y轴上存在点M,使ABM是以M为直角顶点的等腰直角三角形,设A,B,线段AB的中点为N,由 ,消去y可得7x2+8mx+4m2-12=0,=64m2-2
2、8=480,解得m20)的左焦点F与抛物线C2:y2=-2px(p0)的焦点重合,M是C1与C2在第二象限内的交点,抛物线的准线与x轴交于点E,且|ME|=. (1)求椭圆C1及抛物线C2的方程.(2)过E作直线l交椭圆C1于A,B两点,则在椭圆的长轴上是否存在点N,使得为定值?若存在,求出点N的坐标及定值;若不存在,请说明理由.【解析】(1)由两曲线焦点重合,知=,由椭圆的对称性,知E为椭圆的右焦点,连接MF,由椭圆的定义知|MF|+|ME|=4,则|MF|=4-=.设M(xM,yM),过点M作准线的垂线,垂足为H,由抛物线的定义知|MF|=|MH|=,因而yM=,xM=-,代入+=1中,得
3、+=1,与=联立,得p=2,b2=3,所以椭圆的方程为+=1,抛物线的方程为y2=-4x.(2)由(1)知E(1,0),若直线l的斜率存在,设直线方程为y=k(x-1),由得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),所以x1+x2=,x1x2=.假设点N存在,其坐标为(m,0),其中-2m2,=(x1-m,y1)(x2-m,y2)=(x1-m)(x2-m)+k(x1-1)k(x2-1)=(1+k2)x1x2-(m+k2)(x1+x2)+m2+k2=(1+k2)-(m+k2)+m2+k2=.若为定值,则满足=,得m=,定值为-.当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=1,不妨设其与椭圆+=1的交点为A1,B1,-,又N,0,则=-,-,-=-,综上,在椭圆的长轴上存在点N,0,使得=-,为定值.
