1、第四章综合素质检测时间120分钟，满分150分。一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1(2014浙江杜桥中学期中)已知函数f(x)x3ax23x9在x3时取得极值，则a()A2B3C4D.5答案D解析f (x)3x22ax3，由条件知，x3是方程f (x)0的实数根，a5.2设M，m分别是函数f(x)在a，b上的最大值和最小值，若Mm，则f (x)()A等于0B小于0C等于1D不确定答案A解析Mm，f(x)在a，b上为常数，f (x)0.3(2014淄博市临淄区学分认定考试)下列函数中，x0是其极值点的函数是()Af(x)x
2、3Bf(x)cosxCf(x)sinxxDf(x)答案B解析对于A，f (x)3x20恒成立，在R上单调递减，没有极值点；对于B，f (x)sinx，当x(，0)时，f (x)0，故f(x)cosx在x0的左侧区间(，0)内单调递减，在其右侧区间(0，)内单调递增，所以x0是f(x)的一个极小值点；对于C，f (x)cosx10恒成立，在R上单调递减，没有极值点；对于D，f(x)在x0没有定义，所以x0不可能成为极值点，综上可知，答案选B.4(2013北师大附中高二期中)已知函数f(x)x3ax2x1在(，)上是单调函数，则实数a的取值范围是()A(，)(，)B(，)C(，)D，答案D解析f
3、(x)3x22ax1，f(x)在(，)上是单调函数，且f (x)的图像是开口向下的抛物线，f (x)0恒成立，4a2120，a，故选D.5(2014辽宁省协作校联考)若点P(a，b)在函数yx23lnx的图像上，点Q(c，d)在函数yx2的图像上，则(ac)2(bd)2的最小值为()A.B2 C2D8答案D解析设与直线yx2平行且与函数yx23lnx的图像相切的直线为yxm，且切点为(x0，y0)，yx23lnx，y|xx02x|xx02x01，x00，x01，y01，m2.切线方程为xy20，两平行线间距离d2，(ac)2(bd)2d28.6(2014天门市调研)已知函数f(x)asinxb
4、cosx在x时取得极值，则函数yf(x)是()A偶函数且图像关于点(，0)对称B偶函数且图像关于点(，0)对称C奇函数且图像关于点(，0)对称D奇函数且图像关于点(，0)对称答案D解析f(x)的图像关于x对称，f(0)f()，ba，f(x)asinxbcosxasinxacosxasin(x)，f(x)asin(x)asin(x)asinx.显然f(x)是奇函数且关于点(，0)对称，故选D.7(2014银川九中二模)已知f(x)x2sin(x)，f(x)为f(x)的导函数，则f(x)的图像是()答案A解析f(x)x2cosx，f(x)xsinx，1sinx1，且f (x)f (x)，f (x)
5、为奇函数，排除B、D；令g(x)xsinx，则g(x)cosx，当x(0，)时，g(x)0，可知方程无解，原函数没有巧值点；对于中的函数，要使f(x)f (x)，则lnx，由函数f(x)lnx与y的图像有交点知方程有解，所以原函数有巧值点；对于中的函数，要使f(x)f (x)，则tanx，即sinxcosx1，显然无解，所以原函数没有巧值点；对于中的函数，要使f(x)f (x)，则x1，即x3x2x10，设函数g(x)x3x2x1，g(x)3x22x10且g(1)0，显然函数g(x)在(1,0)上有零点，原函数有巧值点，故正确，选C.9(2013华池一中高二期中)若关于x的方程x33xm0在0
6、,2上有根，则实数m的取值范围是()A2,2B0,2C2,0D(，2)(2，)答案A解析令f(x)x33xm，则f (x)3x233(x1)(x1)，显然当x1时，f (x)0，f(x)单调递增，当1x1时，f (x)0得1x1，故选C.二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，将正确答案填在题中横线上)11(2014宁夏三市联考)经过点P(2,1)且与曲线f(x)x32x21相切的直线l的方程是_答案4xy70或y1解析设切点为(x0，x2x1)，由kf (x0)3x4x0，可得切线方程为y(x2x1)(3x4x0)(xx0)，代入点P(2,1)解得：x00或x02.当x00时切线
7、方程为y1；当x02时切线方程为4xy70.综上得直线l的方程是：4xy70或y1.12已知函数f(x)x3x2cxd有极值，则c的取值范围为_答案c0.解得c1e，从而f(x)maxf(1)1.14(2014沈阳质检)已知函数f(x)x(xa)(xb)的导函数为f(x)，且f(0)4，则a22b2的最小值为_答案8解析f(x)x(xa)(xb)，f(x)(xa)(xb)x(xa)(xb)，f(0)ab4，a22b22ab8.15(2014湖北重点中学高二期中联考)已知函数f(x)ax3ax22ax2a1的图像经过四个象限，则实数a的取值范围是_答案(，)解析f (x)ax2ax2aa(x1)
8、(x2)，由f(x)的图像经过四个象限知，若a0，则此时无解；若a0，则a，综上知，a0，且f(x)的极大值为5，极小值为1，求f(x)的解析式答案f(x)x33x21解析f(x)x3ax2b，f(x)3x22ax.令f(x)0，得x0或x.又a0，0.当x0时，f(x)0；当x0时，f(x)0.因为函数在单调区间0,2和4,5上具有相反的单调性，所以应有2a4，解得6a3.18用总长为14.8m的钢条制成长方体容器的框架，如果容器的底面的长比宽多0.5m那么高为多少时容器的容积最大？并求最大容积答案高1.2m最大容积1.8m3解析设容器面宽为xm，则长为(x0.5)m，高为(3.22x)m.
9、由，解得0x1.6.设容器的容积为f(x)m3，则有f(x)x(x0.5)(3.22x)2x32.2x21.6x，f(x)6x24.4x1.6.令f(x)0，即6x24.4x1.60，解得x1或x(舍去)在定义域(0,1.6)内只有一个点x1使f(x)0，且x1是极大值点，当x1时，f(x)取得最大值为1.8.此时容器的高为3.221.2m.因此，容器高为1.2m时，容器的容器最大，最大容积为1.8m3.19已知函数f(x)x33x29xa.(1)求f(x)的单调递减区间；(2)若f(x)在区间2,2上的最大值为20，求它在该区间上的最小值答案(1)(，1)和(3，)(2)最小值7解析(1)f
10、 (x)3x26x9.令f (x)0，解得x3，函数f(x)的单调递减区间为(，1)和(3，)(2)f(2)81218a2a，f(2)81218a22a，f(2)f(2)在(1,3)上f (x)0，f(x)在(1,2上单调递增又由于f(x)在2，1上单调递减，因此f(2)和f(1)分别是f(x)在区间2,2上的最大值和最小值于是有22a20，解得a2，f(x)x33x29x2.f(1)13927，即函数f(x)在区间2，2上的最小值为7.20(2014韶关市曲江一中月考)已知函数f(x)ax3cxd(a0)是R上的奇函数，当x1时，f(x)取得极值2.(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数
11、f(x)的单调区间和极大值；(3)证明：对任意x1、x2(1,1)，不等式|f(x1)f(x2)|4恒成立答案(1)f(x)x33x(2)增区间(，1)，(1，)；减区间(1,1)极大值2(3)略解析(1)f(x)是R上的奇函数，f(x)f(x)，即ax3cxdax3cxd，dd，d0(或由f(0)0得d0)f(x)ax3cx，f (x)3ax2c，又当x1时，f(x)取得极值2，即解得f(x)x33x.(2)f (x)3x233(x1)(x1)，令f (x)0，得x1，当1x1时，f (x)0，函数f(x)单调递减；当x1时，f (x)0，函数f(x)单调递增；函数f(x)的递增区间是(，1
12、)和(1，)；递减区间为(1,1)因此，f(x)在x1处取得极大值，且极大值为f(1)2.(3)由(2)知，函数f(x)在区间1,1上单调递减，且f(x)在区间1,1上的最大值为Mf(1)2.最小值为mf(1)2.对任意x1、x2(1,1)，|f(x1)f(x2)|Mm4成立即对任意x1、x2(1,1)，不等式|f(x1)f(x2)|4恒成立21在边长为60cm的正方形铁片的四角上切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子如图，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？答案箱底的边长是40cm时，容积最大，最大容积16000cm3解析设箱底边长为xcm，则箱高hc
13、m，得箱子容积V(x)x2h(0x60)，V(x)60x(0x0，即10，1，故选C.4f(x)x33x1在2,3上的最大值为()A3B1C24D19答案D解析f (x)3x23，由f (x)0得x1，当x2，1)时，f (x)0，当x(1,1)时，f (x)0，f(x)在2，1)和(1,3上单调递增，在(1,1)上单调递减，x1时，f(x)取到极大值f(1)3，x1时，f(x)取到极小值为f(1)1，又f(2)1，f(3)19，f(x)的最大值为19.5(2014浙江调研)如图，过函数yxsinxcosx图像上点(x，y)的切线的斜率为k，若kg(x)，则函数kg(x)的图像大致为()答案A
14、解析ysinxxcosxsinxxcosx，kg(x)xcosx，显然g(x)为奇函数，排除B、C.当0x00，排除D，故选A.6(2013河南安阳中学高二期末)f(x)是定义在(0，)上的非负可导函数，且满足xf (x)f(x)0，对任意正数a、b，若a0)，则F(x)xf (x)f(x)0，F(x)在(0，)上为减函数，0af(b)，即af(a)bf(b)，与选项不符；由于xf (x)f(x)0且x0，f(x)0，f (x)0，f(x)在(0，)上为减函数，0af(b)，bf(a)af(b)，结合选项知选A.7已知三次函数f(x)x3(4m1)x2(15m22m7)x2在R上是增函数，则m
15、的取值范围是()Am4B4m2C2m4D以上皆不正确答案D解析f (x)x22(4m1)x15m22m7，由题意得x22(4m1)x15m22m70恒成立，4(4m1)24(15m22m7)64m232m460m28m284(m26m8)0，2m4，故选D.8函数f(x)在定义域内可导，yf(x)的图像如图所示，则导函数yf (x)的图像可能为()答案D解析x0时，f(x)为增函数，所以导函数在x0时，原函数先增后减再增，所以导函数先大于零再小于零之后又大于零故D符合9(2014甘肃省金昌市二中、临夏中学期中)已知函数f(x)lnx，则函数g(x)f(x)f (x)的零点所在的区间是()A(0
16、,1)B(1,2)C(2,3)D(3,4)答案B解析由题可知g(x)lnx，g(1)10，选B.10如图所示是函数f(x)x3bx2cxd的大致图像，则xx等于()A.B.C.D4答案C解析由图像可知，函数f(x)过点(0,0)，(1,0)，(2,0)，所以f(x)x(x1)(x2)x33x22x.则f(x)3x26x2.因为x1，x2是极值点，所以x1x22，x1x2.所以xx(x1x2)22x1x2.二、填空题11(2014杭州七校联考)若函数f(x)x33bxb在区间(0,1)内有极值，则实数b的取值范围是_答案(0,1)解析f (x)3x23b，f(x)在(0,1)内有极值，f (x)
17、0在(0,1)内有解，0b2时f (x)0恒成立(其中f (x)是函数f(x)的导函数)，且f(4)0，则不等式(x2)f(x3)2时，f (x)0，f(x)在(2，)上单调递增，在(，2)上单调递减，又f(4)0，f(0)0，0x4时，f(x)0，x4时，f(x)0，由(x2)f(x3)0得(1)或(2)由(1)得x3；由(2)得2x0)，且g(x)f(x)2是奇函数(1)求a、c的值；(2)若函数f(x)有三个零点，求b的取值范围答案(1)a0，c2(2)(1，)解析(1)g(x)f(x)2是奇函数，g(x)g(x)对xR成立，f(x)2f(x)2对xR成立，ax2c20对xR成立，a0且
18、c2.(2)由(1)知f(x)x33bx2(b0)，f (x)3x23b3(x)(x)，令f (x)0得x，x(，)(，)(，)f (x)00f(x)增极大值减极小值增依题意有b1，故正数b的取值范围是(1，)18(2014福建安溪一中、养正中学联考)已知函数f(x)x3ax2bx5，若曲线f(x)在点(1，f(1)处的切线斜率为3，且x时，yf(x)有极值(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数f(x)在4,1上的最大值和最小值答案(1)f(x)x32x24x5(2)最大值13，最小值11解析f (x)3x22axb，(1)由题意得，解得经检验得x时，yf(x)有极小值，所以f(x)x32
19、x24x5.(2)由(1)知，f (x)3x24x4(x2)(3x2)令f (x)0，得x12，x2，f (x)，f(x)的值随x的变化情况如下表：x4(4，2)2(2，)(，1)1f (x)00f(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增函数值11134f()，f(2)13，f(4)11，f(1)4，f(x)在4,1上的最大值为13，最小值为11.19(2013海淀区高二期中)已知函数f(x)x32ax2bx，其中a、bR，且曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线斜率为3.(1)求b的值；(2)若函数f(x)在x1处取得极大值，求a的值答案(1)3(2)1解析(1)f (x)a2x24ax
20、b，由题意f (0)b3.(2)函数f(x)在x1处取得极大值，f (1)a24a30，解得a1或a3.当a1时，f (x)x24x3(x1)(x3)，x、f (x)、f(x)的变化情况如下表：x(，1)1(1,3)3(3，)f (x)00f(x)极大值极小值由上表知，函数f(x)在x1处取得极大值，符合题意当a3时，f (x)9x212x33(3x1)(x1)，x、f (x)、f(x)的变化情况如下表：x(，)(，1)1(1，)f (x)00f(x)极大值极小值由上表知，函数f(x)在x1处取得极小值，不符合题意综上所述，若函数f(x)在x1处取得极大值，a的值为1.20某地建一座桥，两端的
21、桥墩已建好，这两墩相距m米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩经测算，一个桥墩的工程费用为256万元；距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2)x万元假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素记余下工程的费用为y万元(1)试写出y关于x的函数关系式；(2)当m640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？答案(1)ym2m256(0xm)(2)9个解析(1)设需要新建n个桥墩，则(n1)xm，即n1，所以yf(x)256n(n1)(2)x256(1)(2)xm2m256(0xm)(2)由(1)知，f(x)mx(x512)令f(x)0，得x512，所以x64，当0x64时，f(x
22、)0，f(x)在区间(0,64)上为减函数；当640，f(x)在区间(64,640上为增函数所以f(x)在x64处取得最小值，此时n119.故需新建9个桥墩才能使y最小21(2013福州文博中学高二期末)设f(x)lnx，g(x)f(x)f (x)(1)求g(x)的单调区间和最小值；(2)讨论g(x)与g()的大小关系；(3)求a的取值范围，使得g(a)g(x)0成立答案(1)减区间(0,1)增区间(1，)最小值1(2)0xg()x1时，g(x)g()(3)(0，e)解析(1)由题设知g(x)lnx，g(x)，令g(x)0，得x1.当x(0,1)时，g(x)0，故(1，)是g(x)的单调递增区间，因此，x1是g(x)的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以最小值为g(1)1.(2)g()lnxx，设h(x)g(x)g()2lnxx，则h(x).当x1时，h(1)0，即g(x)g()当x(0,1)(1，)时，h(x)0，h(1)0，因此，h(x)在(0，)内单调递减当0xh(1)0，即g(x)g()，当x1时，h(x)h(1)0，即g(x)g()(3)由(1)知g(x)的最小值为1，所以g(a)g(x)0成立g(a)1，即lna1，从而得0ae，即a的取值范围为(0，e)